线代课及历年卷课件行列式

1.1

二阶与三阶行列式1.2

n

阶行列式行列式的性质行列式按行（列）展开克莱默法则第一章

行列式基本要求:熟练掌握二、三阶行列式的定义与计算方法;了解n阶行列式的定义,理解和熟练掌握行列式的基本运算性质,会计算简单的n阶行列式;3 理解和掌握克拉默法则（Cramer’s

rule).行列式——determinant21

x1

+

a22

x2

=

b2

.用消元法解二元线性方程组aa11

x1

+

a12

x2

=

b1

,1)2)a11a22

x1

+

a12a22

x2

=

b1a22

,·a22:·a12

:a12a21

x1

+

a12a22

x2

=

b2a12

,一、二阶行列式的引入第一节二阶与三阶行列式两式相减消去x2，得（a11a22

-

a12a21）x1

=

b1a22

-

a12b2;（a11a22

-

a12a21）x1

=

b1a22

-

a12b2;类似地，消去x1，得（a11a22

-

a12a21）x2

=

a11b2

-

b1a21

,当a11a22

-a12a21

„0

时，方程组的解为11

22

12

211a

a

-

a

ab1a22

-

a12b2x

=.

（3）11

22

12

212，

xa

a

-

a

a=

a11b2

-

b1a21由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表(4)a11

a12a21

a22(5)a11

a12a21

a22行列式，并记作表达式a11a22

-a12a21称为数表（4）所确定的二阶即aa12

2111

22a11

a1221

22-

a

a

.=

a

aa11a12a22a21主对角线副对角线对角线法则=

a11a22

-

a12a21

.二阶行列式的计算若记a

aD

=

11 12

,a21

a2221x1

+

a22

x2

=

b2

.a11

x1

+

a12

x2

=

b1

,对于二元线性方程组a系数行列式21

x1

+

a22

x2

=

b2

.aa11

x1

+

a12

x2

=

b1

,2221b

a1

a12

,bD

=21

x1

+

a22

x2

=

b2

.aa11

x1

+

a12

x2

=

b1

,112a21

b2a b1

.D

=则二元线性方程组的解为,11a11

a12a21

a22ba122

a22b1DD=x

=注意

分母都为原方程组的系数行列式..12112a21

a22a

ab1b2a11Dx=

D2

=

a21例11

22

x

+

x

3

x1

-

2

x

2

=

12

,=

1.求解二元线性方程组解3

-

2D

=2

1=

3

-

(-4)

=

7

„

0,1

1112D

=-

2=

14,23

12D

=2

1=

-21,11\

x

=D

7D

14D= =

2,

x2=

D27=

-

21

=

-3.二、三阶行列式(5)a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33设有9个数排成3行3列的数表(6)-

a11a23a32

-

a12a21a33

-

a13a22a31,=

a11a22a33

+

a12a23a31

+

a13a21a3231

32

33232221a

aa

aaa记a11

a12

a13（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.列标行标对角线法则a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33元素的乘积冠以负号．说明1

对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．=

a11a22a33

+

a12a23a31

+

a13a21a32-

a13a22a31

-

a12a21a33

-

a11a23a32

.注意

红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三a31

x1

+

a32

x2

+

a33

x3

=

b3

;21

x1

+

a22

x2

+

a23

x3

=

b2

,如果三元线性方程组a的系数行列式a11

a12

a13a22

a23a31

a32

a33D

=

a21„

0,三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.利用三阶行列式求解三元线性方程组

a11

x1

+

a12

x2

+

a13

x3

=

b1

,a31

x1

+

a32

x2

+

a33

x3

=

b3

;21

x1

+

a22

x2

+

a23

x3

=

b2

,a

a11

x1

+

a12

x2

+

a13

x3

=

b1

,b3b1D1

=

b2若记232221a31

a32

a33a12

a13a22

a23

,a32

a33a11

a12

a13D

=

a

a

a或

1

2

b

b

b1

a31

x1

+

a32

x2

+

a33

x3

=

b3

;21

x1

+

a22

x2

+

a23

x3

=

b2

,a

a11

x1

+

a12

x2

+

a13

x3

=

b1

,a23

,b1D1

=

b2记b3a23

,a12

a13a22a32

a33a12

a13a22a32

a33b3b1D1

=

b2即a31

x1

+

a32

x2

+

a33

x3

=

b3

;21

x1

+

a22

x2

+

a23

x3

=

b2

,a

a11

x1

+

a12

x2

+

a13

x3

=

b1

,a11

a12

a13a22

a23a31

a32

a33D

=

a21a31

x1

+

a32

x2

+

a33

x3

=

b3

;21

x1

+

a22

x2

+

a23

x3

=

b2

,a

a11

x1

+

a12

x2

+

a13

x3

=

b1

,a33a31a13a11b1D2

=

a21

b2

a23

,b3得a31

x1

+

a32

x2

+

a33

x3

=

b3

;21

x1

+

a22

x2

+

a23

x3

=

b2

,a

a11

x1

+

a12

x2

+

a13

x3

=

b1

,232221a31

a32

a33a11

a12

a13D

=

a

a

aa31

x1

+

a32

x2

+

a33

x3

=

b3

;21

x1

+

a22

x2

+

a23

x3

=

b2

,a

a11

x1

+

a12

x2

+

a13

x3

=

b1

,a33a31a13a11b1D2

=

a21

b2

a23

,b3得a31

x1

+

a32

x2

+

a33

x3

=

b3

;a

a11

x1

+

a12

x2

+

a13

x3

=

b1

,22212b3a31

a32b1a11

a1221

x1

+

a22

x2

+

a23

x3

=

b2

,

D3

=

a

a

b

.则三元线性方程组的解为:,DD11x

=2Dx

=

D2

,3Dx

=

D3

.a11D

=

a21a31a12a22a32a13a23a33D1b1=

b2b3a12a22a32a13a23

,a33a11b1a13a11a12b1D2

=

a21b2a23

,D3=

a21a22b2

.a31b3a33a31a32b31

2 -

4D

=

-

2

2

1-

3

4 -

2计算三阶行列式例２解

按对角线法则，有D

=

1

·

2

·(-2)

+

2

·1

·(-3)

+

(-4)

·(-2)

·

4-

1

·1

·

4

-

2

·(-2)

·(-2)

-

(-4)

·

2

·(-3)=

-4

-

6

+

32

-

4

-

8

-

24=

-14.x21

1

1例3

求解方程

2

3

x

=

0.4

9解

方程左端D

=

3

x2

+

4

x

+

18

-

9

x

-

2

x2

-

12=

x2

-

5

x

+

6,由x2

-5x

+6

=0

解得x

=2

或x

=3.例4

解线性方程组1

2

32

x

+

x

+

-3

x

=

1,

x1

-

2

x2

+

x3

=

-2,

-

x1

+

x2

-

x3

=

0.解

由于方程组的系数行列式1

-

2

1D

=

2

1-

1

1

-

1-

3

=

1·1·

-

1)+

-

2)·

-

3)·

-

1)+

1·

2

·1

-

1·1·

-

1)-

-

2)·

2

·

-

1)-

1·

-

3)·1=

-5

„

0,同理可得-

2

-

2

11

-

2

12

1-

1

0

-

1-

3

=

-5,

D2

=-

3

=

-10,D1

=

1

10

1

-

11

-

2

-

2D3

=

2

1

1-

1

1

0=

-5,故方程组的解为:11DDx

=2D=

1,

x

=

D2

=

2,3Dx

=

D3

=

1.二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.二阶与三阶行列式的计算

对角线法则.21

22a

aa11

a12=

a11a22

-

a12a21=

a11a22a33

+

a12a23a31

+

a13a21a32-

a11a23a32

-

a12a21a33

-

a13a22a31,a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33三、小结一、全排列及其逆序数引例解用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？1

2

31

2

3百位3种放法十位31

2

1个位1

232种放法1种放法种放法.共有3

·

2

·1

=

6第二节n阶行列式问题定义1把n

个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？由n

个不同地正整数组成的一个有序数n

组，称为一个n元排列。n

个不同的元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.P3

=

3

2 1

=

6.(n

-

1)

(n

-

2)

3

2 1

=

n!.由引例同理

Pn

=

n在一个排列i1

i2

it

is

in

)中，若数it>is

则称这两个数组成一个逆序.定义2我们规定各元素之间有一个标准次序,

n个不同的自然数，规定由小到大为标准排列或自然排列.一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如

排列32514

中，逆序数为3+1+0+1+0=5.方法1分别计算出排在1,2,

,n

-1,n前面比它大的数码之和即分别算出1,2,

,n

-1,n

这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.计算排列逆序数的方法排列的奇偶性方法2分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例1

求排列32514的逆序数.解

在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;3

2

5

1

40

1

0

3

1于是排列32514的逆序数为t

=

0

+

1

+

0

+

3

+

1=

5.定义3

将一个n元排列中某两个数的位置互换，而其余数不动，就得到另一个排列，这样的变换称为对换。4213

t

=

0

+1+

2

+1

=

41243

t

=

0

+

0

+

0

+1

=1对换会改变排列的奇偶性？定理1

对换一次改变排列的奇偶性。证明：（1）对换的两数相邻。设n元排列为当i>j

时，当i<j

时，a1a2

alijb1b2

bm其逆序数为t1

，将相邻两数i，j对换，得到新排列a1a2

al

jib1b2

bm其逆序数为t2

，于是t2

=t1

-1t2

=t1

+1所以，一次相邻对换改变排列的奇偶性。（2）一般情况。设n元排列为a1a2

alib1b2

bm

jc1c2

cp将两数i，j对换，得到新排列a1a2

al

jb1b2

bmic1c2

cpb1

,b2

,,bm

对换，后，再将（3）中的j依次和 作m＋1次对换而得。这样由（1）经2m＋1次相邻对换可得到排列（2），由前面证明可知，排列（2）和（1）奇偶性不同。

证毕i,

b1

,

b2

,,

bm（2）可看作是由（1）把i依次和即作了m次相邻对换得到的排列a1a2

al

b1b2

bmijc1c2

cp全排列及其逆序数小结n

个不同的元素的所有排列种数为n!.排列具有奇偶性.计算排列逆序数常用的方法有2

种.对换一次改变排列的奇偶性二、n阶行列式的定义三阶行列式a11

a12

a13a22a31

a32

a33D

=

a21a23

=

a11a22a33

+

a12a23a31

+

a13a21a32-a13a22a31

-a11a23a32

-a12a21a33说明三阶行列式共有6

项，即3!项．每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．a13

a21a32例如 列标排列的逆序数为t

312)=1+1

=

2,a11a23

a32列标排列的逆序数为t

132)=1+0

=1,偶排列+正号奇排列

-

负号,21

22

23-=\1

p1

2

p2

3

p3ta

a

.( 1)

aa31

a32

a33aa

aa11

a12

a13ta2nanna1na

a

.1

p1

2

p2

npn(-1)

aa11

a12a

a

D

=

21

22

an1

an

2记作的代数和由n2

个数组成的n

阶行列式等于所有取自不同行不同列的n

个元素的乘积定义4数

aij

称为行列式

det(aij

)

的元素．简记作det(aij

).或aijnnpna

a

at

(p

p

p

)p1

p2pn1

21

p1

2

p2an1

an2

ann(-1)=其中p1

p2

pn

为自然数1，2，，n

的一个排列t

为这个排列的逆序数．a11

a12

a1na

a

aD

=

21

22

2n说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、n

阶行列式是n!项的代数和;3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n

个元素的乘积;4、一阶行列式a

=a

不要与绝对值记号相混淆;nanp5、a1

p

a2

p1

2的符号为(-1)t

(p1

p2

pn

)例2

计算行列式0001002003004000a1

p

a2

p

a3

p

a4

p1

2

3

4若p1

„411

p

a

=

0,从而这个项为零，所以

p1只能等于4,

同理可得p2

=

3,

p3

=

2,

p4

=

1解

分析展开式中项的一般形式是0001002003004000=

(-

1)t

(4321)1

2

3

4

=

24..即行列式中不为零的项为a14

a23

a32

a41例3

计算上三角行列式ann0

0

a11

a12

a1n0

a22

a2na1

p

a2

p

anp

.1

2

npn

=

n,

pn-1

=

n

-

1,

pn-3

=

n

-

3,

p2

=

2,

p1

=

1,所以不为零的项只有a11a22

ann

.ann0

0

a11

a12

a1n0

a22

a2n\nna

a

a11

22t

(12n

)=

(-

1)=

a11a22

ann

.解

分析展开式中项的一般形式是例41234042100560008=

?D

=11

22

33

441234042100560008=

a

a

a

aD

==

1

4

5 8

=

160.同理可得下三角行列式anna11a210

0

0a22

0

0an1

an

2

an

3=

a11a22

ann

.lnl22l1l2

ln

.n(n-1)=

(-

1)=

l1l2

ln

;lnl1l2例5

证明对角行列式（主对角线以外全为0的行列式）和次对角行列式l1lnl

2l1n1a

a1n

2,n-1=

(-

1)t

n

n-1)21]a2l1l2

ln

.n(n-1)=

(-

1)证明若记第一式是显然的,下面证第二式.li

=ai

,n-i

+1

,

则依行列式定义an

1a1

na

2

,n

-1=证毕定理2

n阶行列式的一般项可以记为a

ijD

=in

j

na

ai2

j

2i1

j1(-1)

t

(

i1i2in

)+t

(

j1

j2

jn

)

ainni1i2

ini11

i2

2(-1)

a

a

at

(

i1i2in

)证明略，见书上Page31推论

n阶行列式也可以定义为1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.2、n

阶行列式共有n!项，每项都是位于不同行、不同列的n个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.三、小结性质1定义：行列式DT

称为行列式D

的转置行列式.a1na2nan2

anna11

a12a21

a22an1=设D第三节行列式的性质an1an2

anna11

a21a12

a22a1n

a2nDT

=DT

=

D一、行列式的性质证明DTbn1

bn

2

bnnb1nb2n令bij

=

a

ji

,

记

D

=

det(

aij

)的转置行列式b11

b12b21

b22=npnb

b

b1

2

n1

p1

2

p2(-1)=t(

p

p

p

)=

(-1)t

(

p1

p2

pn

)

a

a

ap11

p2

2

pnn(根据上节定理2的推论)=D.性质1

DT

=

D性质1说明：行列式的行与列的地位是对称的，即凡对行成立的的性质对列也成立。因此，我们下面着重以行来介绍行列式的性质。D

=

det(aij

)n

=性质2

互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明由行列式定义

ai1

ai

2

ain

,ak1

ak

2

akn

an1

an

2

anna11

a12

a1nD1交换D的i,k行，得D112111nannan1

an

2ainai1

ai

2aknak1

ak

2a

a

a

=

,

(

)nnjnijkkjia

a

a

a1

i

k1

j1-1=t(

j

j

j

j

)njnkjiijka

a

a

a1

i

k

n1

j1(-1)=t(

j

j

j

j

)njna

aij

akj

ak

i1

k

i

n

_1

j1+(-1)=t(

j

j

j

j

)

1t

(

j1

jk

ji

jn

)=

-(-1)t

(

j1

ji

jk

jn

)(-1)根据定理一，对换一次改变行列式得奇偶性，即：njn1

k

i

na1

j

aij

akj

a1

k

i(-1)t(

j

j

j

j

)上式=－＝－D即：D1＝－D

。任意互换行列式的两行（列），行列式变号！证毕！njnkjiijka

a

a

a1

i

k

n1

j1(-1)=t(

j

j

j

j

)njnijkkjia

a

a

a1

i

k

n1

j1(-1)=t(

j

j

j

j

)例如证明1

0

12

1

23

7

4互换相同的两行，有

D

=

-D,

\D

=

0.1c

«

c32r

«

r1

0

1-

3

7 4

,2

1

20

1

12

-

1

2 2

.7

3

4推论

如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.1

0

12

1

23

7

4an1

an2

annai

2

ain

.推论1

用数k乘行列式D等于D中某一行（列）所有元同乘以数k。npnipi(ka

)a1

p1左=

(-1)t

aaip

ai

npn1

p1=

k

(-

1)t

a=右.annan1

an2i1

i

2

in

i1

性质3行列式某行（列）的公因子可以提到行列式符号的外面，即：a11

a12

a1n

a11

a12

a1nk

aka

ka=

k

a证明0-

3-

3628-

1207-

134180-

92例：0

-

3

-

3

62

1

4

-

6

07

-

1

3

418

0

-

9

20

-

3

-

3

31

4

-

6

02

·

2

·7

-

1

3

218

0

-

9

10

-

3

-

1

34

·

3

·

1

4

-

2 0

=

7

-

1

1

218

0

-

3

1r2

‚

2c4

‚

2c3

‚

3an1

an2

annkai1

kai

2

kainai1

ai

2

aina1n证明a11

a12annainaink

an1

an2ai1

ai

2ai1

ai

2a1na11

a12根据性质2的推论，=0.rj

‚

k推论2

行列式中如果有两行（列）对应元素成比例,则此行列式为零．性质4若行列式的第i行（列）的每一个元素都可以表示为两数之和，则该行列式可表示为两个行列式之和，即：=a1na2nannani

ann

an1

a1n

a2na1ia2ia11

a12a21

a22

an1

an2a11a21an1a11

ann

a2n

.

a1n

(a1i

+

a1i

)

(a2i

+

a2¢i

)

(ani

+

an¢i

)

a¢nia1ia2¢ia21+(1):(2):=a1nain

+

ai¢nanna11

a12

ai1

+

ai¢1

ai

2

+

ai¢2

an1

an2a11a12a1na11a12a1nai1ai

2ain+

ai¢1ai¢2ai¢n

.an1an2annan1an2ann性质5

把行列式的第j行（列）元的k倍加到第i行（列）的对应元上，行列式的值不变，即：

a2

ja1

ja1ia2iania11a21an1jia2n

;aa1na2nanna1nannanja1

ja2

janja1121an1

(a1i

+ka1

j

)

(a2i

+ka2

j

)

(ani

+kanj

)

c

+kck

·

ji(1)

:

c

+

k

·cannaina

jnan1

an2a

j1

a

j

2

ai1

ai

2a1na11

a12

×k+ri

+krja1na12a11ai1

+

ka

j1

ai

2

+

ka

j

2

ain

+

ka

jn

a

j1

a

j

2

a

jn

an1

an2

ann(2)

:

ri

+

k

·

rj说明：使用行列式性质时，为了使过程清晰醒目，约定如下记号：ri

«

rj

(ci

«

c

j

)kri

(kci

)ri

+

krj

(ci

+

kcj

)例１1-

12-

31-

33-

79-

5计算D

=204-

213-

57-

1464-

410-

102计算行列式的基本方法:ri

+

krj

.二、行列式性质应用举例三角化.计算行列式的主要手段:·

3¯解r2

+

3r11-

12-

31-

33-

79-

5例１计算D

=204-

213-

57-

1464-

410-

1021

-

1

2

-

3

1D0

0

-

1

0

-

22

0

4

-

2

13

-

5

7

-

14

64

-

4

10

-

10

2·

-

2)¯·

-

2)¯3)¯r3

-

2r1解r2

+

3r1D1-

12-

3100-

10-

2204-

213-

57-

1464-

410-

1021-12-

31·

-00-10-

20204-13-

57-1464-

410-102

4

1r

-

3r·

-

4)3)¯r3

-

2r11-12-

31·

-00-10-

20204-13-

57-1464-

410-1021-12-

3100-10-

20204-1¯0-

21-

534-

410-102

4

1r

-

3r·

-

4)1-12-

3100-10-

20204-1¯0

-

2

1

-

5

34

-

4

10

-10

2r5

-

4r11-12-

3100-10-

20204-10-

21-

530022-

2r

«

r1-12-310-21-530204-100-10-20022-2

2 4

-¯r5

-

4r11-12-

3100-10-

20204-10-

21-

530022-

20

0

-1

0

-20

0

2

2

-21

-1

2

-3

10

-2

1

-5

3

3

2

-r

+

r¯r

«

r1-12-310-21-530204-100-10-20022-2

2 4

-¯0

01

-12r4+

r3·

-

2)¯0

0

-1

0

-20

0

2

2

-21

-1

2

-3

10

-2

1

-5

3

3

2

-r

+

r¯0

01

-121

-1

2

-3

10

-2

1

-5

30

0

1

-1

2-0

0

0

-1

00

0

2

2

-2r5

-

2r3·4¯r4+

r3·

-

2)¯0

-2

1

-5

30

0

1

-1

21

-1

2

-3

1-0

0

0

-1

00

0

2

2

-201

-1

2

-3

10

-2

1

-5

3-

0

0

1

-1

20

0

0

-1

00

0 4

-6

5 4

-r

+

4r=

-

-

2)-1)-

6)

=

12.1

-1

2

-3

10

-2

1

-5

3-

0

0

1

-1

2r5

-

2r3·4¯00

0

0

-1

00

0 4

-61-12-

310-

21-

53001-12000-100000-

6a

+

n

-

1

)bbb

ba

+

(n

-

1

)bab

ba

+

(n

-

1

)bba

b

a

+

(n

-

1

)bbb

aD

=abb

bbab

b例2

计算

n

阶行列式

D

=

bba

b

bbb

a解

将第2,3,,

n

列都加到第一列得

1

b

b

a1

b

b

b1

a

b

b=

[a

+

(n

-

1)b]

1

b

a

b1

01

01

a

-

b======

[a

+

(n

-

1

)b]1

0

a

-

bc

j

-

bc1

0

a

-

b0

0j

=

2,,n

=[a+(n-1)b](a-b)n-1.例3,0a1ka11b1nbnnc11cn1akkc1k

b11

cnk

bn1设D

=ak1akka1ka11D1

=

ak1bnnb1n

,b11

,

D2

=

bn1D

=

D1

D2

.证明问题：是不是所有的行列式都可以化为三角行列式？证明pkk0p11设为

D1

=

pk1对D1

作运算ri

+krj

,把D1

化为下三角形行列式对D2

作运算ri

+krj

,把D2

化为下三角形行列式qnn0q11设为

D2

=

qn1=

p11

pkk

;=

q11

qnn

.,0qnnpkkd1k

q11

dnk

qn1d11dn1p11

D

=

pk1对

D

的前

k

行作运算

ri

+

krj，再对后

n

列作运算

ci

+

kc

j

,把

D

化为下三角形行列式q11

qnn故

D

=

p11

pkk=

D1

D2

..960001/

20000ab-

227cd031ef04-

1例4

计算D5

=解:9

6D5

=

1/

2

00

3

10

4

-

1-

2

2

7=

-33

14

-

1-

2=

(-3) (-2) (-7)

=

-42.◆行列式的5个性质3个推论注意:

行列式中行与列具有同等的地位,

行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.◆计算行列式常用方法：利用定义;利用性质.三、小结性质1

行列式与它的转置行列式相等。性质2

任意互换行列式的两行（列），行列式变号。

推论如果行列式有两行（列）完全相同，行列式为0。性质3行列式某行（列）的公因子可以提到行列式符号的外面。推论用数k乘以行列式D等于D中某一行（列）所有元素同乘以数k。推论若行列式的任意两行（列）对应元成比例，则行列式为0。性质4

若行列式的第i行（列）的每一个元都可表示为两数之和，则该行列式可表示为两个行列式之和。性质5把行列式的第j行（列）元的k倍加到第i行（列）的对应元上，行列式的值不变。-

a11a23a32

-

a12a21a33

-

a13a22a31,=

a11a22a33

+

a12a23a31

+

a13a21a3232

333122

2321a11

a12

a13例如

a

a

aa

a

aa22a33

-

a23a32=

a11a23a31

-

a21a33

)+

a12a21a32

-

a22a31

)+

a1332

33a11

aa22

a23=

a第四节

行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式=

a11

A11

+

a12

A12

+

a13

A13

.3331a12

aa21

a23-

a3231a13

aa21

a22+

a阶行列式叫做元素

a

ij

的余子式，记作

M

.ij(

)ijijM

，i

+

j记

A

=

-

1叫做元素的代数余子式．ija例如24232221a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44a

a

a

aa11

a12

a13

a14D

=41

42

44a

a

aa11

a12

a14M

23

=

a31

a32

a342323A=

(-

1)2+3

M23=

-M

.定义5：在n

阶行列式中，把元素a

ij

所在的第

i

行和第

j列划去后，留下来的元按原来的次序构成n

-1代数余子式的乘积，即D

=

aij

A．ij引理

一个

n

阶行列式，如果其中第

i

行所有元素除

aij外都为零，那末这行列式等于aij

与它的a11

a12

a13

a14a

a

a

aD

=

21

22

23

240

0

a33

0a41

a42

a43

a44=

a33

A33例如a11

a12

a14=

(-

1)3+3

a

a

a

a

.33

21

22

24a41

a42

a44二、行列式按行(列)展开证当

aij

位于第一行第一列时,

ann

an1

an22n2221a110

0a

a

aD

=即有D

=

a11

M11

.又111111A

=

(-

1)1+1

M

=

M

,从而D

=

a11

A11

.对于一般情形,njnnjnnjnaa

aj1

j2

jn2

nj1

j2

jn2

j211a11a2

j

a21

j1

2

j2=

a(-1)==(-1)t(

j2

jn

)aj1

j2

jnt(1

j

j

)(-1)t(j1

j2

jn

)a把D的第i行依次与第i

-1行,第i

-2行,第1行对调,

D

=a11

a1

j

a1n

0

aaiijj

0

an1

anj

ann0aaiijj0得D

=

(-

1)i

-1

ai

-1,1ai

-1,

jai

-1,nan1anjann对于一般情形,设再把D的第j列依次与第j

-1列,第j

-2列,第1列对调,

得

0

0

ai

-1,

j-1

ai

-1,n

anj

an,

j-1

ann(-

1)j-1

ai

-1,

jD

=

(-

1)i

-1aaiijj0aaiijj0得D

=

(-

1)i

-1

ai

-1,1ai

-1,

jai

-1,nan1anjannanj

0

0

ai

-1,

j-1

ai

-1,n

an,

j-1

ann=

(-

1)i

+

j-2

ai

-1,

jaaiijjanj

0

0

ai

-1,

j-1

ai

-1,n

an,

j-1

ann(-

1)j-1

ai

-1,

jD

=

(-

1)i

-1aaiijjaaiijj00=

(-

1)i

+

j-2

ai

-1,

jai

-1,

j-1ai

-1,nanjan,

j-1annaaiijj00=

(-

1)i

+

j

ai

-1,

jai

-1,

j-1ai

-1,nanjan,

j-1annaaiijj00=

(-

1)i

+

j

ai

-1,

jai

-1,

j-1ai

-1,nanjan,

j-1ann=

(-

1)i

+

jaij

Mij=

aij

Aij

.定理３n阶行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即n(i

=

1,2,,

n),证anna1na11

a12

D

=

ai1

+

0

++

0 0

+

ai

2

++

0

0

++

0

+

ain

an1

an2

D

=

aij

Aij

=

ai1

Ai1

+

ai

2

Ai

2

+

+

ain

Ainj

=1n(

j

=

1,2,,

n).D

=

aij

Aij

=

a1

j

A1

j

+

a2

j

A2

j

+

+

anj

Anji

=1an1

an2a11

a12=

ai1ann

ann

an1

an2ai

2a1na1n

a11

a12

0

0

+

0

0

nnainn2n1a1na11

a12

++

0

0

a

a

a=

ai1

Ai1

+

ai

2

Ai

2

+

+

ain

Ain

.i

=

1,2,,

n)说明：计算行列式时，直接利用定理3展开行列式，通常并不能减少计算量，除非某一行（列）含有较多的零元，因此计算行列式时，应先运用行列式性质，将某一行（列）尽可能多得化为零，然后使用行列式的展开。例1-

5

1

32

0

1

-

11

-

5

3

-

33

1

-

1

2D

=-

5

-

5

3

05

1

-

1

1-

11

1

3

-

10

0

1

0-

4

c1

+

-

2)c34

3c

+

c511-

11

1

-

1-

5-

50=

(-1)3+35

1

12

0-

5

-

5

02-

5

-

5=

(-1)1+3

-

6=

40.

2

1

-

6r

+

r定理4

n阶行列式任一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即jnj

1naaa

nna

n

1a

1

na

in

,a

11a

i

1+

+

a

jn

A

jn

=

=

a

j

1

A

j

1D

=

a

jk

A

jkk

=

1i

„

j;i

„

j.ai1

Aj1

+

ai

2

Aj

2

+

+

ain

Ajn

=

0,a1iA1

j

+

a2i

A2

j

+

+

ani

Anj

=

0,证

当

i

„

j

时,

把行列式

D

=

det(aij

)

按第

j

行展开,有ia

nna

aa

n

1a

1

na

11a

n

1

a

nna

1

na

11

a

+a

+

aj====a

i

1

a

in

r

+

r

a

i

1

a

in

j

1

jn i

1

j

1

ina

jnnk

=1=

(aik

+

a

jk

)Ajkn

nn=

aik

Ajk

+

ajk

Ajkk

=1

k

=1k

=1按j

行展开：=

(aik

+

a

jk

)Ajkn所以：aik

Ajk

=

0k

=1另一条同理可证。证毕！★关于代数余子式的重要性质:nn

aik

Ajk

=

Ddijk

=1ij0,当i

„j.d

=1,当i

=j，

aki

Akj

=

Ddij

,k

=1证

用数学归纳法1

1x1

x2

D2

==

x2

-

x1=

(

xi

-

x

j

),2‡i

>

j‡1\

当n

=2

时（1）式成立．例2证明范德蒙德(Vandermonde)行列式=1

2n‡i

>

j‡1i

jnn(

x

-

x

).xn-1xn-1

xn-1x

2x

2x

2D

=n211

1

1x1

x2

xn(1)1n

n-

x

)xn-2

(

xxn-2

(

x

-

x

)2

2

1xn-2

(

x

-

x

)

3

3

1