变质量动量定理

变质量动量定理第一页，共三十页，编辑于2023年，星期日§6－1变质量质点的运动微分方程1.变质量质点的运动微分方程设作用于质点系的外力为质点系在瞬时t的动量为质点系在瞬时t+dt的动量为根据动量定理得将上式展开得第二页，共三十页，编辑于2023年，星期日略去高阶微量并以dt除各项得或（6－1）式中是微小质量dm在并入前对于质点m得相对速度令（6－2）则式（6－1）改写为（6－3）第三页，共三十页，编辑于2023年，星期日上式称为变质量质点的运动微分方程式中m是变量是代数量因具有力的量纲且与喷气方向相反称为反推力2.常用的几种质量变化规律（1）质量按线性规律变化设变化规律为（6－4）式中皆为常数该式代表质量随时间呈线性变化由知其反推力为（6－5）可见当为常数时反推力也为常量且与方向相反第四页，共三十页，编辑于2023年，星期日（2）质量按指数规律变化设变化规律为（6－6）式中皆为常数由知其反推力为（6－7）令表示仅在反推力作用下变质量质点的加速度（6－8）则当为常量时也是常量即由反推力引起的加速度为常量第五页，共三十页，编辑于2023年，星期日例6－1设火箭在真空中运动且不受任何外力作用方向与火箭运功方向相反单级火箭其喷射出的气体相对于速度的大小不变此问题称齐奥尔科夫斯基第一类问题对这一问题变质量质点的运动微分方程（6－3）在运动方向上的投影为或（a）设初始时刻t=0时将式（a）积分得（b）第六页，共三十页，编辑于2023年，星期日设火箭燃烧终了时质量为速度为v令（c）称N为质量比（有些资料取为质量比）令（b）称为火箭的特征速度它代表这一级火箭在初始速度的基础上所能增加的速度由式（d）可得（c）称此式为齐奥尔科夫斯基公式它表明在已知时欲使火箭达到特征速度所应具备的质量比第七页，共三十页，编辑于2023年，星期日如果火箭在真空中且处于均匀重力场内沿铅直方向向上运动称为齐奥尔科夫斯基第二类问题与第一问题的区别是有均匀重力作用运动微分方程（6－3）在铅直方向上的投影为（f）设初始时刻t=0时且为常量将式（f）积分得（g）第八页，共三十页，编辑于2023年，星期日例6－2单级火箭具有重大的缺欠任何时候火箭的反推力不仅要使有效载荷产生加速度二级火箭及多级火箭而且也要使庞大的壳体产生同样的加速度这就限制火箭速度的提高多级火箭可以克服这一缺欠那就是燃料装得越多其壳体也就越大当前一级火箭燃料燃烧终了时连同其壳体一起抛弃后一级火箭开始工作二级火箭由3部分组成第一级火箭第二级火箭和载荷第九页，共三十页，编辑于2023年，星期日设第一级火箭总质量为其内携带燃料的质量为且第二级火箭总质量为其内携带燃料的质量为载荷的质量为设燃料从火箭喷出的相对速度=常数方向与火箭速度方向相反每秒喷出的燃料质量也为常数火箭由静止开始运动略去重力由例6.1式（b）可得第一级火箭的燃料全部喷射完时火箭的速度为（a）当第二级火箭的燃料也全部喷射完时速度为（b）第十页，共三十页，编辑于2023年，星期日如果取则由式（a）及（b）可得如果用单级火箭仍采用上面的参数所求得的速度就要低的多设二级火箭的总质量（不含载荷质量）为常量则的不同分配将影响火箭的速度将式（a）代入式（b）记则是的函数为求的最大值将其对求导并令化简并只取M/P幂级数展开的首项得（d）第十一页，共三十页，编辑于2023年，星期日满足式（c）的将使达到最大值将式（c）代入式（a）（b）略去及的高次项可得（d）如果取则如果仍用则由式（d）可得这显然比时的要大得多下面讨论多级火箭设各级火箭的质量分别为各级火箭内的燃料质量为第十二页，共三十页，编辑于2023年，星期日载荷质量为各级火箭喷射气体的相对速度方向都与火箭速度方向相反大小分别为不计重力则由例6－1式（b）可以求得第i级火箭在燃料喷射完毕时所增加的速度令（e）则得第n级火箭燃料燃烧完毕时的速度（f）第十三页，共三十页，编辑于2023年，星期日利用拉格朗日乘子法可以求得满足下式的将使火箭的总质量为最小值（g）式中λ为拉格朗日乘子将式（g）代入式（f）设皆为已知则可以求得λ再将求得的λ代入式（g）即可得如果有则用上面方法可以求得（h）第十四页，共三十页，编辑于2023年，星期日（i）式（i）表明欲使火箭总质量为最小火箭中每一级火箭燃烧完毕所增加的速度值应相同即欲使火箭达到给定的最终速度使火箭总质量为最小值的条件是火箭中每一级燃料燃烧完毕时所增加的速度必须相同满足这一条件时总质量为（j）第十五页，共三十页，编辑于2023年，星期日利用相等这一条件可以求得多级火箭中各级火箭之间的质量分配例如二级火箭（n=2）三级火箭（n=3）如图所示横坐标n代表火箭级数纵坐标代表火箭总质量与载荷质量之比第十六页，共三十页，编辑于2023年，星期日欲将人造地球卫星送入轨道火箭的最终速度应达到设按上面公式可以求得火箭总质量的最小值：一级火箭（n=1）（即不可能达到7.8km/s）二级火箭（n=2）三级火箭（n=3）四级火箭（n=4）五级火箭（n=5）n级火箭（n→∞）第十七页，共三十页，编辑于2023年，星期日§6－2变质量质点的运动学普遍定理研究变质量质点的动量动量矩及动能的变化规律所使用的动量定理、动量矩定理及动能定理统称变质量质点的动力学普遍定理1.变质量质点的动量定理（6－9）将式（6－2）（6－3）代入式（6－9）得（6－10）第十八页，共三十页，编辑于2023年，星期日记并入（或放出）质量的绝对速度为即则式（6－10）可写为（6－11）记（6－12）称为由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力将其代入式（6－11）得（6－13）第十九页，共三十页，编辑于2023年，星期日式（6－13）称为变质量质点动量定理的微分形式：变质量质点的动量对时间的导数等于作用其上的外力与由于并入（或放出）质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和将式（6－13）积分设t=0时质点质量为速度为得（6－14）式（6－14）称为变质量质点动量定理的积分形式如果并入或放出质量的绝对速度则式（6－13）成为第二十页，共三十页，编辑于2023年，星期日此式与不变质量质点的动量定理形式相同但其m=m(t)是变量将其积分有显然即使也不是常量2.变质量质点的动量矩定理变质量质点对任一点O的动量矩为（6－15）式中为从点O指向该质点的矢径点O为定点第二十一页，共三十页，编辑于2023年，星期日将变质量质点动量定理的微分形式（6－13）代入可得（6－16）式（6－16）称变质量质点的动量矩定理：变质量质点对某定点的动量矩对时间的导数等于作用于质点上外力的合力对该点之矩与由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和3.变质量质点的动量定理变质量质点动量定理的微分形式（6－13）可以写成（6－17）第二十二页，共三十页，编辑于2023年，星期日将上式各项点乘得由于因此上式可写为（6－18）或（6－19）式（6－18）或（6－19）称变质量质点的动能定理：变质量质点动能的微分与放出（或并入）的元质量由于其牵连速度而具有的动能的代数和等于作用于质点上外力合力的元功与由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力所作的元功之和第二十三页，共三十页，编辑于2023年，星期日由于即因此式（6－18）也可以写成为（6－20）因此变质量质点的动能定理也可以这样叙述：变质量质点动能的微分与并入（或放出）的元质量由于牵连运动而具有的动能之差等于作用于质点上外力的合力与反推力所作的元功之和第二十四页，共三十页，编辑于2023年，星期日例6－3图为传送砂子的装置然后流出斜面设砂子以流量q=常数（kg/s）从大漏斗中流下斜面上砂子是定常流动砂子从漏斗铅直流下其质量保持不变不计摩擦求倾角应为多少以速度流下倾角为θ的传送带上并沿斜面下滑l长度若使砂子在斜面上的速度为常数第二十五页，共三十页，编辑于2023年，星期日解：研究传送带上的砂子由变质量质点的动能定理式（6－18）有式中为漏斗流入到传送带上的砂子质量元为从传送带上流出的砂子质量元为流出时的绝对速度有常数将这些关系式代入前式得第二十六页，共三十页，编辑于2023年，星期日式中s为砂子沿传送带方向的位移由于流量q质量m及斜面长度l之间有关系：或因此有即得第二十七页，共三十页，编辑于2023年，星期日例6－4设小方块长度极短初始静止小方块最外端在桌边总长度为l的一排方块放在图所示水平桌面上求在如下两种情况下当小方块已经有一半离开桌面时总质量为数量很多相邻的小方块互相接触而不连接如图加一水平的常力留在桌面上的小方块的速度（1）忽略桌面上的摩擦力（2）桌面与小方块间的动滑动摩擦因数为f第二十八页，共三十页，编辑于2023年，星期日解：研究仍在桌面上的一