2021年江西省宜春市第七中学高三数学理期末试题含解析

2021年江西省宜春市第七中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是方程的两个根，则的值为（

）A.-3 B.-1 C.1 D.3参考答案：A试题分析：由tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解：∵tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2,则tan（α+β）=-3，故选A.考点：两角和与差的正切函数公式点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．2.下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略3.函数f（x）=的大致图象为（）A． B．C． D．参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】根据lnx的符号判断f（x）的符号，得出答案．【解答】解：当0＜x＜1时，lnx＜0，∴f（x）＜0，当x＞1时，ln＞0，∴f（x）＞0，故选A．4.椭圆两个焦点分别是F1、F2圆上任意一点，则的取值范围是A． B． C． D．参考答案：C5.设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略6.已知，，则（

）A．

B．

C.

D．或参考答案：B7.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，则公差d等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出公差d．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，∴，解得a1=7，d=﹣2，∴公差d等于﹣2．故选：B．8.已知向量，则

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C因为，解得可知5，选C

9.“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y+a2﹣a+3=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：D考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆．分析：两条直线平行，A1B2﹣A2B1=0，且A1C2﹣A2C1≠0，求出充要条件，再判断即可．解答：解：由两直线平行的充要条件可得A1B2﹣A2B1=0…（1），且A1C2﹣A2C1≠0…（2），代入（1）解得a=3或一2，但a=3不适合（2），从而“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y+a2﹣a+3=0互相平行”的既不充分也不必要条件．故选D．点评：本题考查两条直线平行的判定，是基础题．10.如果执行如图所示的框图，输入，则输出的数等于（

）A．B．C．D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是

参考答案：【知识点】二分法求方程的近似解.L1(0,3)

解析：由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解得：0＜a＜3，故实数a的取值范围是（0，3），故答案为：（0，3）【思路点拨】由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．12.若tan20°+msin20°=，则m的值为

．参考答案：4考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得可得m=，再利用两角和差的正弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，运算求得结果．解答： 解：由于tan20°+msin20°=，可得m=====4，故答案为4．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，属于中档题．13.设a∈（0，]，则点f（a）=（cosx﹣sin2x）dx取最大值时，则a=．参考答案：【考点】定积分．【分析】先根据定积分的定义表示出∫0a（cosx﹣sin2x）dx，然后利用三角函数中辅助角公式进行化简，即可求出最值，从而求出此时的a的值．【解答】解：∫0a（cosx﹣sin2x）dx=（sinx+cos2x）|0a=sina+cos2a﹣（sin0+cos0）=sina+（1﹣2sin2a）﹣=﹣sin2a+sinα=﹣（sina﹣）2+，当a=时，∫0a（cosx﹣sin2x）dx取最大值．故答案为：14.已知变量x，y满足约束条件则z=4x·2y的最大值为

。参考答案：略15.已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中0＜a＜b＜c＜d，则abcd的取值范围

．参考答案：（16，24）【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】先画出函数f（x）=的图象，再根据条件数形结合，即可求出其范围．【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：若a、b、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），不妨令a＜b＜c＜d，则log2a=﹣log2b，c∈（2，4），d∈（6，8），故ab=1，cd∈（16，24），故abcd∈（16，24），故答案为：（16，24）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，由题意正确画出图象和熟练掌握对数函数的图象是解题的关键．16.若实数x，y满足，则x＋2y的值域为＿＿＿＿参考答案：可行域如图.设则.易知点，为最优解.,,又可行域过原点，.

17.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则其外接球的体积为__________．参考答案：；

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.若数列的前项和为，对任意正整数都有记．（Ⅰ）求,的值；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）令，数列的前项和为，证明:对于任意的,都有．参考答案：解：（Ⅰ）由，得，解得．

，得，解得．

（Ⅱ）由

……①，

当时，有……②，

①－②得：，数列是首项，公比的等比数列，．（Ⅲ）证明:由（2）有.. 略19.参考答案：解析：（I）由得直线的斜率为，故的方程为，点坐标为（3分）设，则由得整理，得（6分）（Ⅱ）如图，由题意知直线的斜率存在且不为零，设方程为①将①代入，整理，得由得设则②（9分）令，则，由此可得且由②知，即解得又与面积之比的取值范围是20.2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型(“小绿车”、“小黄车”)采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费0.5元(不足30分钟的部分按30分钟计算)；“小黄车”每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算)．有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次)．设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，三人租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．(I)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；(Ⅱ)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．参考答案：(I)由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A.则答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为.................................4分(Ⅱ)可能取值有2,

2.5，3,

3.5，4；

；；

................................................................................................................9分甲、乙、丙三人所付的租车费用之和的分布列为

....................................................................................11分所以.....................................12分21.（本小题满分13分）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．参考答案：见解析考点：随机变量的期望与方差随机变量的分布列古典概型解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则所以选出的3名同学来自班级的概率为．

（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，则；

；

；

．

所以随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望．

22.南充市招商局2015年开年后加大招商引资力度，现已确定甲、乙、丙三个招商引资项目，一位投资商投资开发这三个项目的概率分别为0.4,0.5,0.6，且投资商投资哪个项目互不影响。

(1)求该投资商恰投资了其中两个项目的概率；．

（2）用X表示该投资商投资的项目数与没有投资的项目数之差的绝对值，求X的分布列和

数学期望E（X）．参考答案：（l）；（2）

【知识点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．K1K6解析：（1）分别设“投资甲”、“投资乙”、“投资丙”为事件,已知相互独立，互不影响，,则恰投资两