2022-2023学年山西省长治市沁源县沁源第三中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年山西省长治市沁源县沁源第三中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，，，则（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】,故故选：C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题．2.已知是单位圆上的动点,且,单位圆的圆心为,则

（）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.一平面截一球得到直径为cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是A．12cm3

B.36cm3

C．cm3

D．cm3参考答案：B略4.设命题p：函数y=在定义域上为减函数；命题q：?a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，+=3，以下说法正确的是（）A．p∨q为真 B．p∧q为真 C．p真q假 D．p，q均假参考答案：D【考点】复合命题的真假．【分析】根据反比例函数的单调性知，它在定义域上没有单调性，所以命题p是假命题；根据a+b=1得b=1﹣a，带入，看能否解出a，经计算解不出a，所以命题q是假命题，即p，q均假，所以D是正确的．【解答】解：函数y=在（﹣∞，0），（0，+∞）上是减函数，在定义域{x|x≠0}上不具有单调性，∴命题p是假命题；由a+b=1得b=1﹣a，带入并整理得：3a2﹣3a+1=0，∴△=9﹣12＜0，∴该方程无解，即不存在a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，，∴命题q是假命题；∴p，q均价，∴p∨q为假，p∧q为假；故选D．5.已知向量，，则是的(

)

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件参考答案：A略6.若函数为奇函数，则的值为（

）A．2

B．1

C．-1

D．0参考答案：B7.已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=（） A．3 B．2 C．5 D．参考答案：D【考点】复数求模． 【分析】通过复数的相等求出a、b，然后求解复数的模． 【解答】解：=1﹣bi， 可得a=1+b+（1﹣b）i，因为a，b是实数， 所以，解得a=2，b=1． 所以|a﹣bi|=|2﹣i|==． 故选：D． 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．8.设{an}是等差数列，从{a1，a2，a3，···，a20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（A）90个

（B）120个

（C）160个

（D）180个参考答案：D略9.若，，均为单位向量，且?=﹣，=x+y（x，y∈R），则x+y的最大值是（）A．2 B． C． D．1参考答案：A【考点】平面向量的综合题；平面向量的基本定理及其意义．【分析】由题设知==x2+y2﹣xy=1，设x+y=t，y=t﹣x，得3x2﹣3tx+t2﹣1=0，由方程3x2﹣3tx+t2﹣1=0有解，知△=9t2﹣12（t2﹣1）≥0，由此能求出x+y的最大值．【解答】解：∵，，均为单位向量，且?=﹣，=x+y（x，y∈R），∴==x2+y2﹣xy=1，设x+y=t，y=t﹣x，得：x2+（t﹣x）2﹣x（t﹣x）﹣1=0，∴3x2﹣3tx+t2﹣1=0，∵方程3x2﹣3tx+t2﹣1=0有解，∴△=9t2﹣12（t2﹣1）≥0，﹣3t2+12≥0，∴﹣2≤t≤2∴x+y的最大值为2．故选A．10.两个正数m，n的等差中项是5，等比中项是4。若m>n,则椭圆的离心率e的大小为

.参考答案：答案：

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知O是外心，若，则

参考答案：12.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为

．参考答案：13.如右图放置的边长为2的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点P（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是，则的最小正周期为

；

在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为

.(说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动。)参考答案：8略14.（坐标系与参数方程选做题）已知直线（

为参数）的公共点个数为

个参考答案：015.在的展开式中，若第项的系数为，则

.参考答案：3略16.某调查机构就某单位一千多名职工的月收入进行调查，现从中随机抽出100名，已知抽到的职工的月收入都在元之间，根据调查结果得出职工的月收入情况残缺的频率分布直方图如下图（图左）所示，则该单位职工的月收入的平均数大约是

元。参考答案：290017.已知点在椭圆上运动，则最小值是

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知F1（﹣2，0）、F2（2，0）是椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆上的点，且?的最大值为2．（1）求椭圆的方程；（2）过左焦点的直线l交椭圆于M、N两点，且||?||sinθ=cosθ，求l的方程（其中∠MON=θ，O为坐标原点）参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得c=2，设P（m，n），则=（﹣2﹣m，﹣n），=（2﹣m，﹣n），运用向量的数量积的坐标表示和椭圆的性质，结合两点的距离公式，即可得到最大值a2﹣4，进而得到a，b，即可得到椭圆方程；（2）椭圆的左焦点为F1（﹣2，0），则直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程得：（3k2+1）x2+12k2x+12k2﹣6=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1?x2=，结合向量的数量积的定义和三角形的面积公式，解方程可得k，由此能求出l的方程．解答： 解：（1）由题意可得c=2，设P（m，n），则=（﹣2﹣m，﹣n），=（2﹣m，﹣n），则?=m2+n2﹣4，当P为长轴的端点时，P到原点的距离最大，且为a，即有a2﹣4=2，即a=，即有b==，则椭圆方程为+=1；（2）椭圆的左焦点为F1（﹣2，0），则直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程得：（3k2+1）x2+12k2x+12k2﹣6=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1?x2=，∵?==||?||cosθ≠0，∴||?||sinθ=，即S△OMN=，∵|MN|=?|x1﹣x2|=，原点O到m的距离d=，则S△OMN=|MN|?d=??=，解得k=±，∴l的方程为y=±（x+2）．点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．19.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元米，中间两道隔墙建造单价为248元米，池底建造单价为80元平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价参考答案：设污水处理池的宽为x米，则长为米，则总造价

当且仅当当长为16.2米，宽为10米时吗，总造价最低，，最低总造价为38880元。20.（13分）（2015?万州区模拟）函数f（x）=（m＞0），x1，x2∈R，当x1+x2=1时，f（x1）+f（x2）=．（1）求m的值；（2）解不等式f（log2（x﹣1）﹣1）＞f（（x﹣1）﹣）．参考答案：【考点】：对数函数图象与性质的综合应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：（1）由得，代入x1+x2=1化简可得或2﹣m=0；从而解m；（2）由（1）知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，故不等式可化为，从而解得．解析：（1）由得，，∴，∵x1+x2=1，∴，∴或2﹣m=0；∵，而m＞0时2﹣m＜2，∴，∴m=2．（2）由（1）知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，由得，，∴，∴不等式的解集为．【点评】：本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．21.函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数是单函数．下列命题：①函数（xR）是单函数；②若为单函数，且，则；③若f：A→B为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；④函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数．其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）参考答案：①③略22.（13分）在测试中，客观题难度的计算公式为，其中Pi为第i题的难度，Ri为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：题号12345考前预估难度Pi0.60.4测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号12345实测答对人数161614144（Ⅰ）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设为第i题的实测难度，请用Pi和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由20人中答对第5题的人数为4人，求出第5题的实测难度为0.2，由此能估计240人中实测答对人数．（Ⅱ）X的可能取值是0，1，2．分别求出相应概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅲ）将抽样的20名学生中第i题的实测难度，作为240名学生第i题的实测难度．由题设条件推导出该次测试的难度预估是合理的．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为．[（2分）]所以，估计240人中有240×0.2=48人实测答对第5题．[（3分）]（Ⅱ）X的可能取值是0，1，2．[（4分）]；

；

．[（7分）]X的分布列为：X012P[（8分）]．[（10分）]（Ⅲ）将抽样的20名学生中第i题的实测难度，作为240名学生第i题的实测难度．定义统计量，其中Pi为第i题的预估难度．并规定：若S＜0.05，则称本次测试的难度预估合