常微分方程课件

常微分方程课件第一页，共四十五页，编辑于2023年，星期日IV积分曲线与向量场表示区域D一条光滑曲线，称之为方程的积分曲线.设D为平面上的区域，考虑微分方程方程的通解当C变动时，表示区域D的

一族曲线，称之为积分曲线族.第二页，共四十五页，编辑于2023年，星期日第三页，共四十五页，编辑于2023年，星期日转化初等积分法解分离变量方程可分离变量方程第二章第四页，共四十五页，编辑于2023年，星期日分离变量方程的解法:设y＝(x)是方程①的解,

两边积分,得

①则有恒等式

②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y＝(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.第五页，共四十五页，编辑于2023年，星期日例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)第六页，共四十五页，编辑于2023年，星期日例2.

解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为第七页，共四十五页，编辑于2023年，星期日例3.

求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:第八页，共四十五页，编辑于2023年，星期日练习:解法1故有积分(C为任意常数)所求通解:(试用适当的变量代换)解法2分离变量即(C<0

)第九页，共四十五页，编辑于2023年，星期日例4.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原第十页，共四十五页，编辑于2023年，星期日例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t

足够大时第十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期日综合例题

已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解:因积分与路径无关,故有即因此有第十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期日思考与练习求下列方程的通解:提示:(1)分离变量(2)方程变形为可分离变量方程的求解方法分离变量后积分;根据定解条件定常数.第十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期日例6.有高1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度h随时间t的变解:由水力学知,水从孔口流出的流量为即求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在内水面高度由h降到第十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期日对应下降体积因此得微分方程定解问题:将方程分离变量:第十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期日两端积分,得利用初始条件,得因此容器内水面高度h与时间t有下列关系:第十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期日齐次方程一、齐次方程

二、可化为齐次方程第二章第十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期日一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:第十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期日例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,

y=0也是方程的解)(C为任意常数)第十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期日例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然

x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.第二十页，共四十五页，编辑于2023年，星期日可得OMA=OAM=例3.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而AO于是得微分方程:第二十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期日利用曲线的对称性,不妨设y>0,积分得故有得

(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)

第二十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期日顶到底的距离为

h,说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得第二十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期日(h,k为待二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k

(齐次方程)定常数),第二十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期日求出其解后,即得原方程的解.原方程可化为令(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程第二十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期日例4.求解解:令得再令Y＝X

u,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:第二十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期日得C=1,故所求特解为练习:若方程改为如何求解?提示:第二十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期日找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法1)根据几何关系列方程2)根据物理规律列方程3)根据微量分析平衡关系列方程

(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤第二十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期日线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程第二章第二十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期日一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程;第三十页，共四十五页，编辑于2023年，星期日对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得第三十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期日例1.解方程

解:先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为第三十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期日例2.求方程的通解.解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量,

y为

自变量的一阶线性方程第三十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期日在闭合回路中,所有支路上的电压降为0例3.有一电路如图所示,电阻

R和电∼解:列方程.已知经过电阻R的电压降为Ri

经过L的电压降为因此有即初始条件:由回路电压定律:其中电源求电流感L都是常量,第三十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期日∼解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得第三十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期日暂态电流稳态电流∼因此所求电流函数为解的意义:第三十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期日二、伯努利(Bernoulli)方程

伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)第三十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期日例4.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:（原方程一特解:y=0）第三十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期日内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利方程第三十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期日思考与练习判别下列方程类型:提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程第四十页，共四十五页，编辑于2023年，星期日综合题1.求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有利用公式可求出第四十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期日2.设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解定解问题利用通解公式,得利用得故有第四十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期日2)再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3)原问题的解为第四十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期日求所满足的微分方程.例.已知曲线上点

P(x,y)处的法线与x

轴交点为

Q解:

如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标即点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,第四十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期日(雅各布第一·