多变量统计过程控制

多变量统计过程控制第一页，共二十八页，编辑于2023年，星期日

统计过程实施步骤：⑴构画流程图。画过程流程图，并标注组成过程的各个阶段。其次研究过程中的数据流向与数据储存。⑵确定问题。确定过程变量，收集变量数据并加以分析。⑶过程探索。收集过程信息，建立经验或者理论模型，选定统计过程控制图并决定采用哪些变量，最后实施统计过程控制。统计过程控制类型筛选性：通过抽样检查检测过程输出，筛选出不合格产品。预防性：通过过程控制防止不合格产品产生的方法。第二页，共二十八页，编辑于2023年，星期日主元分析

主元分析可以用来实现下列目标：数据简化、数据压缩、建模奇异值检测、变量选择、分类和预报。其中得分向量之间是相互正交的，负荷向量之间相互正交且长度为1，由此可得数据矩阵X的变化体现在主元所对应的负荷向量方向上。

第三页，共二十八页，编辑于2023年，星期日数据矩阵X的主元计算方法方法一:利用X的协方差矩阵计算主元第一步：数据矩阵X的负荷向量实际上是其协方差矩阵的特征向量。故需先求出协方差矩阵特征值的特向量。第二步：由于X的负荷向量相互正交且长度为1.故需要对所得上面特征向量进行正交化，单位化。

第三步：根据可求得数据矩阵的各个得分向量，即X的各个主元。

第四页，共二十八页，编辑于2023年，星期日方法二：非线性迭代部分最小二乘算法（NIPALS）利用NIPALS算法分别计算矩阵的各个主元。

NIPALS算法步骤为：①从X中任选一列Xj，并记为t1，即t1=Xj;②计算p1：;③将p1的长度归一化：;④计算t1：;

⑤将步骤②中的t1与步骤④中的t1作比较，如果它们一样，则算法已收敛，计算停止，如果它们不一样，回到步骤②，以④中的t1代替②中的t1继续计算，知道算法收敛为止。上述算法只是针对第一个主元而言的，对于计算其他主元，算法是一样的，只要将算法中的X矩阵变为相应的误差矩阵即可。第五页，共二十八页，编辑于2023年，星期日利用主元分析清除数据中测量噪声

式中E为误差矩阵。因而数据X可以近似地表示为：

通过对数据矩阵进行主元分析可以计算出矩阵的各个主元，用前k个主元来表示数据X不仅可以起到压缩数据维数的作用，还可以很好起到清除噪声的作用。

第六页，共二十八页，编辑于2023年，星期日应用主元分析压缩数据维数实例用MatIab指令按下列表达式产生一组四维数据：从上述数学描述式可以看出，这四个变量之间是线性相关的。对这些数据进行主几分析，得到数据的协方差短阵的特征值为：

539．46，73.32，0，0

这说明数据维数可以压缩为两维。与前两个特征值对应的特征向员为：

[0．3078—0．15370．76930．53831][一0．4754—0．6551—0．29570．5073]

因此，主元分析足对数据进行维数压缩的有效工具，它对分析和研究过程以及对过程进行监控是非常实用的.第七页，共二十八页，编辑于2023年，星期日模型的建立

通过过程所积累的数据和实验所得到的数据，一般的线性模型可以表达为：

由在生产过程中得到的一组输入输出观测值，来寻求最佳模型参数，使得模型预测的输出值与实际测量的输出值之间的误差达到最小。这个寻找最佳模型参数的过程称为线性回归。当模型具有多个输出变量时，这个过程被称为多元线性回归。第八页，共二十八页，编辑于2023年，星期日用多元回归算法求模型最佳参数将实测输出值表达为模型预测值加上误差值所要求的最佳模型参数就是要求误差值最小，即E最小。也可表示为最小。记

，求J最小值如下：第九页，共二十八页，编辑于2023年，星期日用主元回归计算模型参数

用X的前k个主元来代替那些原始输入变量进行回归分析，这样便得到下面的主元回归模型PCR。式中为主元回归模型参数。利用最小二乘法计算得到由于，所以，从上式中可以看出

此式即为通过主元回归得到模型参数的计算式。第十页，共二十八页，编辑于2023年，星期日单变量统计过程控制过程变化的类型工业过程中所存在的各种各样的变化根据其产生原因大概分为四类。统计过程控制的重要作用之一是监测、区分过程变化，帮助人们寻找过程变化的原因。这通常是利用各种控制图来实现的。

`过程变化原因分类外界因素引起的变化。如环境温度、湿度等。过程本身原因引起的变化。如催化剂老化等。可在生产中找到原因的变化。如原材料变化等。噪声变化。随机变化。第十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期日

对于简单的正态随机变化，可以用下面的模型来描述：

过程参数变化还会引起额外的变化，较复杂的过程模型为：其中表示组间方差。过程变化的简单模型第十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期日分析过程变化的图形方法图形方法是帮助寻找过程变化的最简单、最方便的工具。比如可以用直方图、散布图以及正态分布图来分析过程变化。下面介绍两种图形分析方法。⑴滑动平均方法当数据随时间波动很大时，往往不容易观测其变化趋势。将数据利用滑动平均方法进行平滑后，便可容易地从数据图形中找到它们的周期性变化或变化趋势等。

经一次平滑后经两次平滑后第十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期日⑵累积和图方法累积和控制图不仅可以迅速检测出生产过程小偏移，而且可以确定偏移的大小，易于定位变化点。累积和图中的各点代表累积值。

累积和图第十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期日过程能力

⑴过程能力指数产品性能指标的界限与其标准差是决定过程能力的两个重要因素，它们的比值被定义为过程指数上式中得分母代表了99.7%的分布范围。当产品性能指标不服从正态分布时，可以将上式的分母换为代表99.7%的分布范围的值。一般取为1.3～1.6之间。过程表现指数第十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期日过程能力的初级分析包括以下几个阶段：

⑴将整个过程作为一个系统来分析并列出它的变量；⑵在过程的特定点采集数据；⑶数据分析。在第一阶段，至少需要有一个过程流程图。过程中的变量还可以分为以几类：输入变量，如与输入材料的性质、数量相关的变量；过程变量，如过程的温度、压力和周期等；产品变量，如产品性能指标、强度等。

在完成过程的初步分析后，要建立Shewhart控制图或累积和图等等，并将它们投入运行。在运用中人们能借助于这些控制图来发现过程中存在的问题并控制或消除这些问题。这些控制措施将会改变过程的特性。因此过一段时间后需要重新分析过程能力并更新控制图。右图为建立统计过程控制的过程。

第十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期日统计控制图

统计控制图方法是统计过程控制中的最基本最典型的方法。应用单变量控制图可以监视生产运行参数和质量指标的变化，分析生产过程状态。统计控制图的种类很多，典型的控制图包括均值图、范围图、累积和图、移动平均图、指数加权移动平均图和指数加权方差图等。统计控制图能够区分偶然因素和系统因素这两种因素，反映和控制系统因素造成的质量波动，检测并消除这些异常因素对过程的影响，从而提高产品质量。应用单变量控制图可以监视过程运行参数和质量指标，分析生产过程状态。建立Shawhart统计控制图一般包括以下几个部分工作。

采集数据过程能力分析计算过程均值和方差确定采样组数和采样频率选定控制图类型计算控制限和警告限第十七页，共二十八页，编辑于2023年，星期日⑵图

用来控制过程均值的Shawhart控制图称为图。建立图取决于对过程均值及均值标准差的估计。它包括以下几步：第一步：估计过程均值、过程变化性以及组均值的标准误差（）；第二步：选定控制图的尺寸，使靠近中央，控制图包括大约；第三步：标出控制限或；第四步：标出警告限或。

第十八页，共二十八页，编辑于2023年，星期日⑶范围图

范围图可用于控制过程的分散度。建立范围图的方法有两种：范围法和方法。

①建立范围图的范围方法包括以下几步。第一步：利用过程能力研究数据，或选用至少20组新的数据来计算平均范围。第二步：选择范围图尺度，从零到大约所观测的范围的2倍。第三步：标定控制限和警告限：低控制限，高控制限，低警告限，高警告限。其中至为取决于子组大小的常数，可从相应表中查出。

②方法的步骤如下：第一步：利用过程能力研究数据，或至少选用20组新的数据来计算；第二步：利用表5.7中的因子乘以来计算控制限和警告限，选择范围图尺度时，应使它大约高出控制限的50%。范围图的解释规则同图的解释规则一样，当范围低于控制限时，可能出现了以下情况：过程的分散度被减少，范围图需要重新标定；测量仪表失灵；计算错误。第十九页，共二十八页，编辑于2023年，星期日⑷标准差图可以建立类似于范围图的标准差图。标准差图利用表5.8中所给因子来计算控制限和警告限：低控限，高控制限，低警告限，高警告限。对标准差图的解释和对范围图的解释一样。当每组采样中得数据多余8时，标准差图比范围图更为有效。

第二十页，共二十八页，编辑于2023年，星期日⑸适用于“每次一个数据”的Shawhart控制图

移动范围图可以按以下步骤建立。第—步：决定范围所包括的采样点数k，这通常是由实际情况而定。第二步：对于每次一个的数据，利用k个采样点的移动范围来估计过程的标准差对于分组或分块的数据，估计组均值的标难差。第三步:选择图形范围为从零到两倍所观测到的最大范围。第四步:标定控制限：低控制限，高控制限其中和见表5.6。第五步:将移动范图(即每k个连续采样点的变化范围)标绘在图上。

第二十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期日⑹移动平均图

当切组采样只包括一两个采样值时，移动平均图往往很有用。在移动平均图中，将K组采样值的均值分别标出。移动平均图的建立包括以下几步。第一步，对于每次一到两个的数据：计算过程均值，利用移动方法计算过程标准差，选择一个适当。第二步，选择适当的图形尺度使在中央,并使图形覆盖大约,k为组数。第三步，将控制限标为入。下列条件都满足时，移动平均图是非常有效的：①每组包括很少的采样值；②过程的真正均值变化非常缓慢；③过程的分散度是比较平稳的。

第二十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期日⑺指数加权移动平均图(EWMA图)

EWMA图对过程为“每次一个数据”酌情况，或需要高精度来检测小的变化时非常有效。EWMA图的建立包括下列几步。第一步，计算过程均值及其标准差。第二步，选择一个在0.1到0.5间的P值，作为当前时刻数据的权重。第三步，选择一个初姑值(＝)，作为整体均值或目标值。第四步，计算并标出移动均值：其中又是组均值或每次一个的数据。

第五步，将控制限标绘在，其中见表5.14。第二十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期日控制图的选择

将几种主要控制图的优缺点概括如下：图优点：①能有效地检测过程平均水平的突变；②可靠并韧“泛应用；③容易理解c缺点：①不能很快地检测出过程均值的偏移；②不容易检测出过程均值的小变化。移动平均图优点：①比图能更好地检测出过程均值的小偏移；②能用于“每次一个”的数据以及小采样的数据。缺点：检测过程均值突变时有滞后。

EWMA图优点：①能很好地检测出小的偏移；②能够用于“每次一个数据”的数据以及小采样组的数据。缺点：检测过程突变时有滞后。在具体应用时，可根据各种控制图的优缺点来具体选择控制图。第二十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期日多变量统计过程控制单变量统计控制，如Shawhart图、累积和图以及EWMA图等，常用于监测少量的质量变量及与质量有关的过程变量。单变量统计过程控制只考虑单一变量的变化幅度，不涉及到多个质量指标间的相互关联关系。在实际生产中，衡量产品质量指标的测量变量可能不止一个，而这些变量之间往往是相互关联的。在这种情况下，对这些变量单独进行统计控制往往会导致生产过程中的异常情况不容易被确认．统计分析的结果得不到明确的解释，甚至会误误导操作人员。

第二十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期日多变量控制的主元模型

在实施多变量控制时，需要建立一个反映过程正常运行的主元模型。假设为收集到的过程正常运行数据，先将X作如下标准化

这个主元模型在i时刻的平方预测误差SPE可以写为第二十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期日多变量统计控制图常用的多变量统计控制图有平方预测误差图（SPE）图、图、主元得分图、