常用统计分布

常用统计分布第一页，共十八页，编辑于2023年，星期日6/18/20231第一节超几何分布

适用：小群体的两分变量。假定总体为K个成功类、（N-K）个为失败类

1.超几何分布为离散型随机变量的概率分布，它的数学形式是第二页，共十八页，编辑于2023年，星期日6/18/202322.超几何分布的数学期望值和方差如果用，则有第三页，共十八页，编辑于2023年，星期日6/18/20233

[例]以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与变异数。

[解]由题意可知：N＝8．K＝3，N―K＝5．n＝5，代入(8．1)式，故概率分布如下：

由，，代入(8．4)式、(8．5)式得（1）（2）X0123合计P=(X=x)1/5615/5630/5610/5656/56第四页，共十八页，编辑于2023年，星期日6/18/202343.关于超几何分布的近似

设某校有l000名大学生，其中有外国留学生10、名，现从该校学生中任抽2人，求抽到外国留学生的概率分布。

[解]抽到外国留学生人数X服从N＝1000、K＝10、n＝2的超几何分布，根据(8．1)式得

第五页，共十八页，编辑于2023年，星期日6/18/20235

由于＝0．002＜0．1，用二项分布近似

计算有，由(8．6)式得

两种方法计算结果比较一下，仅在小数点后第5位上才出现误差。当然在＞0．1时，如此计算误差会比较大。另外，二项分布的计算量仍不算小，有时还可以将二项分布近似为泊松分布，这一点我们将在下一节讨论。

第六页，共十八页，编辑于2023年，星期日6/18/20236第二节泊松分布

适用：稀有事件的研究。一个事件的平均发生次数是大量实验的结果，在这些试验中，此事件可能发生，但是发生的概率非常小。

泊松分布亦为离散型随机变量的概率分布，随机变量X为样本内成功事件的次数。若λ为成功次数的期望值，假定它为已知。而且在某一时空中成功的次数很少，超过5次的成功概率可忽不计，那么X的某一具体取值x（即稀有事件出现的次数）的概率分布为第七页，共十八页，编辑于2023年，星期日6/18/20237泊松分布的性质：x的取值为零和一切正整数；图形是非对称的，但随着的λ增加，图形变得对称；泊松分布的数学期望和方差均为λ。第八页，共十八页，编辑于2023年，星期日6/18/20238

[例]某城市50天交通事故的频数分布如表所示，试求泊松理论分布。X01234合计P0.44930.35950.14380.03830.00911.0000理论频（50хPi)22.418.07.21.90.550.0一天交通事故数0123合计天数f23177350

[解]由资料知查泊松分布表，得理论分布

将实测频数与理论频数比较，可知题中所述稀有事件是满足泊松分布的。

≥第九页，共十八页，编辑于2023年，星期日6/18/20239第三节卡方分布卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布，主要用于列联表检验。

1.数学形式设随机变量X1，X2，…Xk，相互独立，且都服从同一的正态分布N(μ，σ2)。那么，我们可以先把它们变为标准正态变量Z1，Z2，…Zk，k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布（分布）的随机变量（读作卡方），且我们把随机变量的概率分布称为分布，其概率密度记作。其中k为卡方分布的自由度，它表示定义式中独立变量的个数。

第十页，共十八页，编辑于2023年，星期日6/18/202310

关于卡方分布的分布函数，附表7对不同的自由度k及不同的临界概率α(0＜α＜1)，给出了满足下面概率式的的值(参见图)。注意写法的含义：它表示自由度为k的卡方分布，当其分布函数

时，其随机变量的临界值(参见图)。具体来说，在假设检验中，它表示在显著性水平α上卡方分布随机变量的临界值。

第十一页，共十八页，编辑于2023年，星期日6/18/202311[解]查卡方分布表(附表7)得

[例]试求下列各值：[例]已知k＝5，＝15，求临界概率α。[解]查卡方分布表，在表中自由度为5的横行中找到与15最接近的数值是15．086，得到α的近似值为0．01。由此可知≈0．01．

第十二页，共十八页，编辑于2023年，星期日6/18/202312式中：σ2代表总体方差，自由度为n―l。

2.卡方分布的性质

(1)恒为正值。

(2)卡方分布的期望值是自由度k，方差为2k。卡方分布取决于自由度k，每一个可能的自由度对应一个具体的卡方分布。卡方分布只与自由度有关，这就给卡方分布的实际应用带来很大方便。分布由正态分布导出，但它之所以与正态分布的参数μ和σ无关，是因为标准正态变量Z与原来的参数无关。

(3)卡方分布具有可加性

(4)利用卡方分布可以推出样本方差S2的分布第十三页，共十八页，编辑于2023年，星期日6/18/202313所以，样本方差S2落在3．3和8．7之间的概率约为90％。

3.样本方差的抽样分布

[例]由一正态总体抽出容量为25的一随机样本，已知σ2＝6，求样本方差S2在3．3到8．7之间的概率。

[解]已知n＝25，σ2＝6，由得

第十四页，共十八页，编辑于2023年，星期日6/18/202314第四节F分布

F分布是连续性随机变量的另一种重要的小样本分布，可用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是否相等。还是方差分析和正交设计的理论基础。

1.数学形式设和相互独立，那么随机变量

服从自由度为(k1，k2)的F分布。其中，分子上的自由度k1叫做第一自由度，分母上的自由度k2叫做第二自由度。

第十五页，共十八页，编辑于2023年，星期日6/18/202315我们把随机变量F的概率分布称为F分布，其概率密度记作。本书附表8，对不同自由度(k1，k2)及不同的临界概率α(0＜α＜1)，给出满足下列概率式的Fα(k1，k2)的值(参见图)。注意写法的含义：它表示自由度为

(k1，k2)的F分布，当其分布函数

时，其随机变量F的临界值(参见图)。具体来说，在假设检验中，它表示在显著性水平α上F分布随机变量F的临界值。

第十六页，共十八页，编辑于2023年，星期日6/18/202316

[例]试求下列各值：

如果和

是两个独立随机样本的方差，样本来源于具有相同方差σ2的两个正态总体，样本容量分别为n1和n2，那么根据(8．22)式，随机变量F服从于自由度为(n1―1和n2―1)的F分布。