河南省信阳市师院附属中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析

河南省信阳市师院附属中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线=1（a＞0，b＞0），A1，A2是实轴顶点，F是右焦点，B（0，b）是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点p1（i=1，2），使得△PiA1A2（i=1，2）构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是（）A．（，+∞） B．（，+∞） C．（1，） D．（，）参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线BF的方程为bx+cy﹣bc=0，利用直线与圆的位置关系，结合a＜b，即可求出双曲线离心率e的取值范围．【解答】解：由题意，F（c，0），B（0，b），则直线BF的方程为bx+cy﹣bc=0，∵在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i=1，2），使得△PiA1A2（i=1，2）构成以线段A1A2为斜边的直角三角形，∴＜a，∴e4﹣3e2+1＜0，∵e＞1，∴e＜∵a＜b，∴a2＜c2﹣a2，∴e＞，∴＜e＜．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．2.下列四个命题，其中为真命题的是A．命题“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”的逆否命题是“若x≠2或x≠－2，则x2≠4”B．若命题p：所有幂函数的图像不过第四象限，命题q：所有抛物线的离心率为1，则命题“p且q”为真C．若命题p：x∈R，x2－2x＋3>0，则：x0∈R，x－2x0＋3<0[D．若a>b，则an>bn(n∈N*)参考答案：B3.设,若，则的值为（

）A．

B．

C．

D． 参考答案：B4.在等比数列中，、是方程的两个根，则的值为(

)A. B. C. D.参考答案：B5.已知命题，命题，则下列说法正确的是

(

)

A．是的充要条件

B．是的充分不必要条件

C．是的必要不充分条件

D．是的既不充分也不必要条件参考答案：B6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(

)

A．15

B．20

C．30

D．60参考答案：C7.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.设函数若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝()A．－3

B．±3

C．－1

D．±1参考答案：D略9.已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足，则点P一定为三角形ABC的(

)A．AB边中线的中点 B．AB边中线的三等分点（非重心）C．重心 D．AB边的中点参考答案：B【考点】三角形五心．【专题】证明题．【分析】根据O是三角形的重心，得到三条中线上对应的向量的模长之间的关系，根据向量加法的平行四边形法则，求出向量的和，根据共线的向量的加减，得到结果．【解答】解：设AB的中点是E，∵O是三角形ABC的重心，∴=（+2）∵∴==∴P在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心．故选B．【点评】本题考查三角形的重心，考查向量加法的平行四边形法则，考查故选向量的加减运算，是一个比较简单的综合题目，这种题目可以以选择或填空出现．10.已知函数则（

）A．

B．2

C．4

D．11参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，机车甲、乙分别停在A，B处，且AB=10km，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，甲沿北偏东60°的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为千米．参考答案：【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】由原题求出AD，BC，利用余弦定理求解即可．【解答】解：甲的速度为4千米/小时，移动100分钟，可得AD=千米．甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，乙沿正北方向移动，移动100分钟，可得BC=千米，AC=10﹣=千米．∠DAC=120°，CD==．（千米）．故答案为：．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．12.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧上的动点，则的最小值为．参考答案：5﹣2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：首先以A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，可设P（cosθ，sinθ），从而可表示出，根据两角和的正弦公式即可得到=5﹣2sin（θ+φ），从而可求出的最小值．解答：解：如图，以A为原点，边AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则：A（0，0），C（2，2），D（0，2），设P（cosθ，sinθ）；∴?（﹣cosθ，2﹣sinθ）=（2﹣cosθ）（﹣cosθ）+（2﹣sinθ）2=5﹣2（cosθ+2sinθ）=sin（θ+φ），tanφ=；∴sin（θ+φ）=1时，取最小值．故答案为：5﹣2．点评：考查建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，由点的坐标求向量坐标，以及数量积的坐标运算，两角和的正弦公式．13.函数的定义域为参考答案：【知识点】函数的定义域.B1

解析：根据题意可得：，解得，故答案为。【思路点拨】根据已知列出满足题意的不等式组，解之即可。14.已知函数,若,则.参考答案：或因为，所以，即，所以，即，解得或。15.右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽

米.参考答案：.设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系则，A的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为，带入点A得，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为，则，所以水面宽度为.10.已知圆柱的母线长为l，底面半径为r,O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上的两个不同的点，BC是母线，如图.若直线OA与BC所成角的大小为，则=

.参考答案：17.如下图，函数,x∈R,(其中0≤≤)的图像与y轴交于点（0，1）.设P是图像上的最高点，M、N是图像与x轴的交点，则与的夹角的余弦值为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的前n项和，令bn=log9an+1．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）若数列{bn}的前n项和为Tn，数列的前n项和为Hn，求H2017．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由数列的前n项和求出数列通项公式，代入bn=log9an+1，利用对数的运算性质求得数列{bn}的通项公式；（2）求出数列{bn}的前n项和为Tn，利用裂项相消法求得数列的前n项和为Hn，则H2017可求．【解答】解：（1）当n=1时，；当n≥2时，．a1=1适合上式，∴．则bn=log9an+1=，即数列{bn}的通项公式；（2）由，得．则．于是=，则．19.已知函数，曲线在处的切线经过点.（1）证明：；（2）若当时，，求的取值范围.参考答案：（1）曲线在处的切线为，即由题意得，解得所以从而因为当时，，当时，.所以在区间上是减函数，区间上是增函数，从而.（2）由题意知，当时，，所以从而当时，，由题意知，即，其中设，其中设，即，其中则，其中（1）当时，因为时，，所以是增函数从而当时，，所以是增函数，从而.故当时符合题意.（2）当时，因为时，，所以在区间上是减函数从而当时，所以在上是减函数，从而故当时不符合题意.（3）当时，因为时，，所以是减函数从而当时，所以是减函数，从而故当时不符合题意综上的取值范围是.20.在中，角所对的边分别为，设为的面积，满足（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的最大值．参考答案：略21.（本小题满分分）

已知：如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，且，为中点．（Ⅰ）证明：//平面；（Ⅱ）证明：平面平面；（Ⅲ）求二面角的正弦值．参考答案：解：（Ⅰ）

证明：连结BD交AC于点O，连结EO．

……1分O为BD中点，E为PD中点，∴EO//P

B．

……2分EO平面AEC，PB平面AEC，

……3分∴PB//平面AE

C．

（Ⅱ）

证明：PA⊥平面ABC

D．平面ABCD，∴．

……4分又在正方形ABCD中且，

……5分∴CD平面PA

D．

……6分又平面PCD，∴平面平面．

……7分（Ⅲ）如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．

………8分

由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,E（0,1,1）．

……………9分PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0,0,2）．设平面AEC的法向量为,,则

即

∴

∴

令,则．

………………11分∴,

…12分二面角的正弦值为

…13分

22.已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点，直线与椭圆C相交于A、B两点，圆是以AB为直径的圆．（1）求椭圆C的方程；（2）记O为坐标原点，若点O不在圆内，求实数k的取值范围．参考答案：（1）（2）【分析】（1