2022-2023学年内蒙古自治区赤峰市四龙中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年内蒙古自治区赤峰市四龙中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S—ABC的体积为

A．

B．

C．

D．参考答案：2.已知向量,,,若为实数，，则的值为A． B． C． D．参考答案：A略3.已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.设函数f（x）在R上存在导数f′（x），?x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[2，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g（m），可得4﹣m≤m，由此解得a的范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．5.如图，互不相同的点，，，，和，，，，分别在角O的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等．设，若，，则＝（）A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是

（）A．、

B．、

C．、

D．、

参考答案：A略7.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D因为，所以，故选D．8.对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y＝f′（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数g（x）＝x3－x2＋3x－＋，则的值是

（

）

A．2010

B．2011

C．2012

D．2013参考答案：A9.函数的图象大致为

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A10.从一个边长为的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这个点中任取两个点，则这两点间的距离小于的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A两点间的距离小于共有3种情况，分别为中心到三个中点的情况，故两点间的距离小于的概率．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的面积为__________。参考答案：12.已知集合，，则

参考答案：13.若指数函数的图象过点(－2,4)，则不等式的解集为

▲

．参考答案：(－1,1)

14.已知向量，若，则=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】利用斜率的垂直求出x，得到向量，然后求模即可．【解答】解：向量，若，∴，∴x=4，==．故答案为：．15.设x，y满足约束条件，若z=，则实数z的取值范围为．参考答案：[﹣3，]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用z的几何意义即可求出z的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．z=的几何意义为阴影部分的动点（x，y）到定点P（﹣1，3）连线的斜率的取值范围．由图象可知当点位于B时，直线的斜率最大，当点位于O时，直线的斜率最小，由，解得，即B（4，6），∴BP的斜率k=，OP的斜率k=，∴﹣3．故答案为：[﹣3，]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．16.一位同学种了甲、乙两种树苗各一株，分别观察了9次、10次得到树苗的高度数据的茎叶图如图（单位：厘米），则甲乙两种树苗高度的数据中位数和是

参考答案：52略17.将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是

．参考答案：．【分析】几何体为两个同底等高的圆锥的组合体．【解答】解：等腰直角三角形的斜边长为4，斜边的高为2．∴旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体．圆锥的底面半径为2，高为2．∴几何体的体积V=2×=．故答案为：．【点评】本题考查了旋转体的结构特征和体积计算，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2.若对任意的x∈t，t+2，不等式f(x+t）≥2f(x)恒成立，求t的取值范围。参考答案：f(x+t）≥2f(x)=f(),又函数在定义域R上是增函数故问题等价于当x属于t,t+2时x+t≥恒成立恒成立，令g(x)=，

解得t≥.19.某城市为了满足市民出行的需要和节能环保的要求，在公共场所提供单车共享服务，某部门为了对该城市共享单车进行监管，随机选取了20位市民对共享单车的情况进行问卷调查，并根据其满意度评分值（满分100分）制作的茎叶图如图所示：（1）分别计算男性打分的平均数和女性打分的中位数；（2）从打分在70分以下（不含70分）的市民中抽取3人，求有女性被抽中的概率．参考答案：【考点】BA：茎叶图．【分析】（1）根据茎叶图中的数据，利用平均数和中位数的公式进行计算即可．（2）根据古典概型的概率公式分别进行计算即可．【解答】解：（1）男性的平均数为（55+53+62+65+71+70+73+74+86+81）==69，女性的中位数为=77（2）打分在70分以下（不含70分）的市民中有6名，女性2名，男性4名，从中抽取3人有=20种方法，有女性被抽中有=12+4=16，则对应的概率P==．20.（本小题12分）如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且．点在圆所在平面上的正投影为点，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．参考答案：（Ⅰ）法1：连接，由知，点为的中点，又∵为圆的直径，∴，由知，，∴为等边三角形，从而．-----------------3分∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，-----------------5分由得，平面，又平面，∴．

-----------------6分（注：证明平面时，也可以由平面平面得到，酌情给分．）法2：∵为圆的直径，∴，在中设，由，得，，，，∴，则，∴，即． -----------------3分∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，

---------5分由得，平面，又平面，∴．

-----------------6分法3：∵为圆的直径，∴，在中由得，，设，由得，，，由余弦定理得，，∴，即．

-----------------3分∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，

-----------------5分由得，平面，又平面，∴．

-----------------6分（Ⅱ）法1：（综合法）过点作，垂足为，连接．

-----------7分由（1）知平面，又平面，∴，又，∴平面，又平面，∴，-----------------9分∴为二面角的平面角．-----------------10分由（Ⅰ）可知，，（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．）∴，则，∴在中，，∴，即二面角的余弦值为．---------------12分法2：（坐标法）以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系．

-----------------8分（注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明，酌情给分．）设，由，得，，，∴，，，，∴，，，由平面，知平面的一个法向量为．设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，∴，-----------------10分设二面角的平面角的大小为，则，∴二面角的余弦值为．-----------------12分21.（本小题满分14分）已知椭圆()的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形的顶点在椭圆上，且对角线均过坐标原点，若.(i)求的范围；(ii)求四边形的面积.参考答案：（I）由已知， …………2分于是 …………3分所以椭圆的方程为 …………4分（II）当直线AB的斜率不存在时，，所以的最大值为2.……5分 当直线的斜率存在时，设直线AB的方程为，设联立，得 …………6分

…………7分 ∵

…………8分=

…………9分

……10分

因此，

…………11分另解：设直线方程：，方程：分别求出的坐标

…………占2分分情况讨论，>0时，分析所在的象限，求范围 …………占3分同理时 …………占1分结论 …………占