2022-2023学年广东省茂名市化州实验中学高二数学理期末试卷含解析

2022-2023学年广东省茂名市化州实验中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，.直线与曲线和分别相交于A，B两点，且曲线在A处的切线与曲线在B处的切线斜率相等，则a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】分别求导，根据题意，在上有解，方程在上有解转化为函数与函数的图象在上有交点，计算得到答案.【详解】函数的定义域为，，.因为曲线在A处的切线与在B处的切线斜率相等，所以在上有解，即方程在上有解.方程在上有解转化为函数与函数的图象在上有交点，令过原点且与函数的图象相切的直线的斜率为k，只须，令切点为，则，又，所以，解得，于是，所以.故答案选A【点睛】本题考查了曲线的切线问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.2.已知关于x的方程x2﹣2（a﹣3）x+9﹣b2=0，其中a，b都可以从集合{1，2，3，4，5，6}中任意选取，则已知方程两根异号的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】关于x的方程x2﹣2（a﹣3）x+9﹣b2=0的两根异号，即△＞0，9﹣b2＜0，求出满足条件的（a，b）的数量，所有的（a，b）共有6×6个，二者的比值即是x2﹣2（a﹣3）x+9﹣b2=0的两根异号的概率．【解答】解：∵x2﹣2（a﹣3）x+9﹣b2=0的两根异号，∴△＞0，9﹣b2＜0，∴4（a﹣3）2﹣4（9﹣b2）＞0，9﹣b2＜0，∴b＞3或b＜﹣3（舍去）∴b=4，5，6所有的（a，b）共有6×6=36个，而满足b＞3的（a，b）共有6×3，共有18个，所以关于x的方程x2﹣2（a﹣3）x+9﹣b2=0的两根异号的概率是：=．故选：B．3.直线与圆的位置关系是（

）

A．相离

B．相交

C．相切

D．不确定参考答案：D略4.已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为，若椭圆的离心率为,则的最小值为（

） A． B． C．

D．参考答案：A5.某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A．90 B．75 C．60 D．45参考答案：A【考点】B8：频率分布直方图；B5：收集数据的方法．【分析】根据小长方形的面积=组距×求出频率，再根据求出频数，建立等式关系，解之即可．【解答】解：净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数设为N2，产品净重小于100克的个数设为N1=36，样本容量为N，则，故选A．【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．对于总体分布，总是用样本的频率分布对它进行估计，频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，，即，属于基础题．6.数列是公差不为零的等差数列,且是某等比数列的连续三项,若的首项为＝3,则是

A.

B.

C.

D.参考答案：A7.下列四个函数中，满足“对任意，当时，都有”的是A．

B．

C． D．参考答案：A8.

参考答案：B

解析：先把的值赋给中间变量，这样，再把的值赋给变量，这样，把的值赋给变量，这样9.已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β

B．若m∥n，m?α，n?β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥α

D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β参考答案：D10.从数字1，2，3，4，5中任取三个数字，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数大于400的概率是

A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.右边程序输出的结果是

．参考答案：1012.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设、为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；②过定圆上动点作水平直径所在直线的垂线，垂足为点,若则点的轨迹为椭圆；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线有相同的焦点.其中真命题的序号为

．参考答案：②③④13.

若命题的否命题为，命题的逆命题为，则是的逆命题的

命题.参考答案：否略14.给出下列四个命题：（1）函数（且）与函数（且）的定义域相同；（2）函数与的值域相同；（3）函数的单调递增区间为；（4）函数是奇函数。

其中正确命题的序号是__________（把你认为正确的命题序号都填上）。参考答案：（1）（4）15.已知，则二项式

展开式中含项的系数是

.参考答案：-192略16.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，若直线y=kx﹣3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆C的方程表示以C（4，0）为圆心，半径等于1的圆．由题意可得，直线y=kx﹣3和圆C′：即（x﹣4）2+y2=9有公共点，由点C′到直线y=kx﹣3的距离为d≤3，求得实数k的最大值．【解答】解：圆C的方程为：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=9与直线y=kx﹣3有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣3的距离为d，则d=≤3，即7k2﹣24k≤0，∴0≤k≤，∴k的最大值是．故答案为：．17.如果实数x，y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值是．参考答案：【考点】圆的标准方程．【分析】设=k，的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，如图示：从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得|OC|=2，|CE|=r=，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到k=tan∠EOC==，即为的最大值．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是AB的中点．（1）证明：BD1∥平面A1DE（2）证明：D1E⊥A1D（3）求二面角D1﹣EC﹣D的正切值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）连结AD1交A1D于O，连结EO，由三角形中位线定理，可得OE∥BD1，进而可由线面平行的判定定理，可得BD1∥平面A1DE（2）根据正方形的几何特征，可得A1D⊥AD1，由AB⊥平面ADD1A1结合线面垂直的性质可得AB⊥AD1，进而由线面垂直的判定定理可得A1D⊥平面AD1E，再由线面垂直的性质可得D1E⊥A1D（3）由勾股定理可得CE⊥DE，进而由线面垂直的性质可得CE⊥D1D，由线面垂直的判定定理得到CE⊥平面D1DE，结合D1E⊥平面D1DE，可得∠D1ED是二面角D1﹣ED﹣D的一个平面角．解三角形△D1ED可得二面角D1﹣ED﹣D的正切值．【解答】证明：（1）连结AD1交A1D于O，连结EO，则O为AD1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BD1．又∵OE?平面A1DE，BD1?平面A1DE∴BD1∥平面A1DE

…（4分）（2）由题可知：四边形ADD1A1是正方形∴A1D⊥AD1

又∵AB⊥平面ADD1A1，A1D?平面ADD1A1∴AB⊥AD1

又∵AB?平面AD1E，AD1?平面AD1E，AB∩AD1=A∴A1D⊥平面AD1E又∵D1E?平面AD1E∴A1D⊥D1E

…（8分）解：（3）在△CED中，CD=2，，CD2=CE2+DE2∴CE⊥DE．又∵D1D⊥平面ABCD，CE?平面ABCD∴CE⊥D1D又∵D1D?平面D1DE，DE?平面D1DE，D1D∩DE=D∴CE⊥平面D1DE又∵D1E⊥平面D1DE，∴CE⊥D1E．∴∠D1ED是二面角D1﹣ED﹣D的一个平面角．在△D1ED中，∠D1DE=90°，D1D=1，DE=∴∴二面角D1﹣ED﹣D的正切值是…（12分）【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，解答（1）（2）的关键是熟练掌握空间线面关系判定的判定定理，性质和几何特征，解答（3）的关键是判断出∠D1ED是二面角D1﹣ED﹣D的一个平面角．19.（12分）某高中有高级教师96人，中级教师144人，初级教师48人，为了进一步推进高中课程改革，邀请甲、乙、丙、丁四位专家到校指导。学校计划从所有教师中采用分层抽样办法选取6名教师分别与专家一对一交流，选出的6名教师再由专家随机抽取教师进行教学调研，每位教师只与其中一位专家交流一次，每位专家至少与一名教师交流。（1）从高级教师、中级教师、初级教师中分别抽取几人；（2）若甲专家选取了两名教师，这两名教师分别是高级教师和中级教师的概率；（3）求高级教师不被同一专家抽取到的概率.参考答案：（1）从高级教师、中级教师、初级教师中分别抽数目之比为：96:144:48=2:3:1

得：从高级教师、中级教师、初级教师中分别抽数目分别为2,3,1…………2分.（2）设抽取的6人中高级教师为，中级教师为，初级教师为；

则甲抽取2两名教师所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，，，共种；

其中甲抽取到一名高级教师和一名中级教师结果为：，，，，共6种所以甲抽取到一名高级教师和一名中级教师的概率为…………7分.（3）（本小题根据必修3课本145页6题改编）两名高级教师所有被抽取情况如下表，每一个阴影部分代表一种分配情况，共有16种，但是两名高级教师不被同一名专家抽到的情况为网格部分，共有12种情况，所以两名高级教师不被同一专家抽取到的概率…………12分.

甲乙丙丁a1a1a1a1甲a2

乙a2

丙a2

丁a2

20.（本小题12分）在数列中，，（1）计算并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想。参考答案：②假设当n=k时猜想成立，即，则

，当n=k+1时猜想也成立。综合①②，对猜想都成立。

21.已知直线L与两条平行直线和分别相交于M、N两点，且直线L过点A（1，0）。（1）若，求直线L的方程。

（2）求证：的值为定值。参考答案：（1）若L的斜率不存在，方程为：则，与题意不符……….2分若L的斜率存在，则设L的方程为：由可得同理渴求，………4分因为，所以；或；所以L的方程为：或………6分（2）由（1）题可知：斜率不存在时…………….8分斜率存在时综上述：的值为定值………………..12分22.为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：[20，25]，[25，30]，[30，35]，[35，40]，[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40]岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据小矩形的面积等于频率，除[35，40）外的频率和为0.7