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算的素养1．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则1 中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并． (a＋bi)÷(c＋di)＝c2＋d2c2＋d2i(a，b，c，d∈R复数(3＋2i)i等于 i已知i是虚数单位，则1－ i

【例1 的取值范围是 [z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i

a<－1 (2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部 [(1)A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋iC项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2iD项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．C.z5.]【例2 (2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为(

∴z＝2－i

2－i2＋i

2．常用 i(1)i

zz2应的点位于 第一象 8 8 [由复数的几何意义知，z＝－2－i，z

2i

4解：法一：1－i＝1－i＝－2i＝(－1) 法二：因

＝28

所以

[探究问题z＝zz[提示 z≠0zz＝0z 三个实数|z|，|z|，z·z 则z＝a－bi，所以|z|＝a2＋b2，|z|＝a2＋－b2＝a2＋b2，z·z＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，所以|z|2＝|z|2＝z·z 【例3】(1)已知复数z＝1－3i2，z是z的共轭复数，则z·z等于 44

2 2(2)z满足|z|＝5，且(1－2i)zz 3＋i － i1－ i1＋ [法一：∵z＝1－3i2＝1－3i2＝1－ —4∴ ∴

z· 4 法二：∵z＝1－

3＋i

|3＋i| ∴|z|＝1－3i2＝|1－3i2 ∴z·

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2a)i.又因为(1－2i)zb－2a＝0b＝2a，又|z|＝5＝5.a＝±1，b＝±2.z＝1＋2i或－1－2iz＝1－2i或－1＋2iz1．在题设1．在题设 z

z [解 －4z·＝4∴2 3 i－4＋32 32 4

＝2－把题设(2)的条件“(1－2i)z是实数”换成“(1－2i)zz[解 z＝a＋bi＝a－bia＝－2b＝5b2＝5b＝1，a＝－2b＝－1，a＝2.z＝－2－izi2＝－1用z·z＝|z|2z＝z⇔zzz＝0z是纯虚数；z·z＝|z 12 12[答案 (2)√已知复数z＝2－i，则z·z的值为 53 53 [z·z若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则 2 2 [z(1＋i)＝2iz＝

33

1＋i，故|z|＝12＋12＝i1＋ iz1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝1－ia，b∈R.z1z2a，b[解 z1＝(－1＋i)(1

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