第六章共形映射

PAGEPAGE1第六章共形映射（TheConformalmapping）第一讲授课题目：§6.1共形映射的概念；§6.2共形映射的基本问题教学内容：导数的几何意义、共形映射的概念、解析函数的保域性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性.学时安排：2学时.教学目标：1、理解导数的几何意义；2、弄清共形映射的概念；3、掌握解析函数的保域性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性；教学重点：解析函数的保域性与边界对应原理；教学难点：解析函数的保域性与边界对应原理；教学方式：多媒体与板书相结合.作业布置：习题六：1-3板书设计：一、导数的几何意义；二、共形映射的概念；三、解析函数的保域性与边界对应原理；四、共形映射的存在唯一性参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社；2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版；3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月课后记事：1、基本掌握共形映射的概念；2、不能灵活运用解析函数的保域性与边界对应原理；教学过程：§6.1共形映射的概念(Theconceptionofconformalmapping)一、导数的几何意义（Geometricmeaningofderivative）1、解析变换的保域性（Transformdomainofsecurityanalysis）解析函数所确定的映射是共形映射.它是复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用.如应用共形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题.我们主要研究单叶解析函数的映射性质.注1：单叶函数是一个单射的解析函数.例1函数及是平面上的单叶解析函数它们把平面映射成平面，其中是复常数，并且对于第二个映射.例2在每个带形内单叶解析，并且把这个带形区域映射成平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域，，其中是任意实常数.引理（Lemma）：设函数在解析，并且.设，那么在有p阶零点，并且对充分小的正数，存在着一个正数，使得当时，在内有p个一阶零点.证明：由已知条件可知在有p阶零点.由于不恒等于零，作以为心的开圆盘，其边界为，使得在上解析，并且使得及除去外在上无其它零点.有取，使.由儒歇定理，比较及在内的零点的个数.由于而当时可见及在内的零点个数同为p（每个阶零点作个零点）.因为，所以，而.所以在内的每个零点都是一阶的.由此引理可证明下面定理定理(Theorem)6.1、设函数在区域内单叶解析，则，有注2：这个定理的逆定理不成立，例如的导数在z平面上任意一点不为零，而在整个z平面上不是单叶的.定理(Theorem)6.2设函数在解析，并且，那么在的一个邻域内单叶解析.定理(Theorem)6.3设函数在区域内解析，并且不恒等于常数，则是一个区域.注3：如果在区域内单叶解析，根据定理6.3，它把区域双射成区域.于是有一个在内确定的反函数.定理(Theorem)6.4设函数在区域内单叶解析，则在内存在单叶解析的反函数，且证明：考虑以下思路：，有因为当时，，所以即可给出定理的证明.2、导数的几何意义(Geometricmeaningofderivative)设函数是区域内的单叶解析函数..则有.过作一条简单光滑曲线：.则存在，且作过曲线上点及的割线，割线的方向向量为，当趋近于时，向量与实轴的夹角存在极限，即为曲线在的切线的位置.已知所以，有这就是曲线在处切线与实轴的夹角，在这里幅角是连续变动的，并且极限式两边幅角的数值是相应地适当选取的.函数把简单光滑曲线映射成一条简单曲线：由于，可见也是一条光滑曲线；它在的切线与实轴的夹角是因此，在处切线与实轴的夹角及在处切线与实轴的夹角相差.注4：这里的与曲线的形状及在处切线的方无关.另外在内过另有一条简单光滑曲线，函数把它映射成一条简单光滑曲线.和上面一样，与在及处切线与实轴的夹角分别是及所以，在处曲线到曲线的夹角恰好等于在处曲线到曲线的夹角：因此，用单叶解析函数作映射时，曲线间的夹角的大小及方向保持不变，我们称这个性质为单叶解析函数所作映射的保角性.下面再说明它的模的几何意义.因为由于是比值的极限，它可以近似地表示这种比值.在所作映射下，及分别表示z平面上向量及平面上向量的长度，这里向量及的起点分别取在及.当较小时，近似地表示通过映射后，对的伸缩倍数，而且这一倍数与向量的方向无关.我们把称为在点的伸缩率.从几何直观上来看.设是在区域D内解析的函数，，那么把平面上半径充分小的圆近似地映射成平面上圆因此，解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性和伸缩率不变性.二、共形映射的概念(Theconceptofconformalmapping)定义(Definition)6.1对于区域内的映射，如果它在区域内任意一点具有保角性和伸缩率不变性，则称映射是第一类保角映射；如果它在区域内任意一点保持曲线的交角的大小不变，则称映射是第二类保角映射.定理(Theorem)6.5如在区域内解析，且则所构成的映射是第一类保角映射.定义(Definition)6.2设是区域内的第一类保角映射，如果当时，有，，则称为共形映射.例1在复平面上解析，且，因此在任何区域内都构成第一类保角映射，但它在复平面上不是共形映射，而在区域内，构成共形映射.§6.2共形映射的基本问题(Thebasicproblemofconformalmapping)一、共形映射的基本问题(Thebasicproblemofconformalmapping)对于共形映射，我们主要研究下列两个方面的问题.问题一对于给定的区域和定义在上的解析函数，求像集，并讨论是否将共形的映射为.问题二给定两个区域和，求一解析函数，使得将共形的映射为.对于问题二，我们只需考虑能把变为单位圆内部即可.这是因为若存在函数把变为，而函数把变为，则把映射为（下图）.二、解析函数的保域性与边界对应原理(Analyticfunctionsofprotectiondomainandtheboundarycorrespondenceprinciple)对于问题一，有下面两个定理.定理(Theorem)6.6（保域性定理）设函数在区域内解析，且不恒为常数，则像集合是区域.定理(Theorem)6.7（边界对应原理）设区域的边界为简单闭曲线，函数在上解析，且将双方单值的映射成简单闭曲线.当沿正向绕行时，相应的的绕行方向定为的正向，并令是以为边界的区域，则将共形的映射为.注1：定理6.6说明了解析函数把区域变为区域，注2：定理6.7为像区域的确定给出了一个一般性的方法.注3：是的方向.（如下图），区域在曲线的内部，在上沿逆时针方向取三个点，函数将于分别映射为和.若也按逆时针方向排列，则像区域在的内部.GGGGCD例1设区域，求区域在映射下的像区域.解：（如下图），设区域的边界为，其中的方程为（从0到），相应的像曲线的方程为（从0到）；的方程为（从1到0），相应的像曲线的方程为（从-1到0）的方程为（从0到1），相应的像区线的方程为（从0到1）.因此像区域为.三、共形映射的存在唯一性(Conformalmappingoftheexistenceanduniqueness)1、问题二函数的存在性：当区域是下面两种情况之一时，将不存在解析函数，使之保形地映射为单位圆内部.第一，区域是扩充复平面；第二，区域是扩充复平面除去一点（不妨设为点，如果是有限点，只需做一映射即可）.无论哪一种情况，如果存在函数将它们共形映射为，则在整个复平面上解析，且.根据刘维尔定理（见§3.4）必恒为常数.这显然不是我们所要求的映射.2、问题二函数的唯一性：一般说来是不唯一的，例如，对任意给定的常数，映射均把单位圆内部映射为单位圆内部.那么，到底在什么情况下，共形映射函数存在且唯一呢？黎曼（）在1851年给出了下面的定理，它是共形映射的基本定理.定理(Theorem)6.8（黎曼存在唯一性定理）设与是任意给定的两个单连域，它们的边界至少包含两点，则一定存在解析函数把保形的映射为.如果在和内在再分别任意指定一点和，并任給一实数，要求函数满足且则映射是唯一的.注4：黎曼存在唯一性定理肯定了满足给定条件的函数的存在唯一性，但没有给出具体的求解方法.21§6.3分式线性映射分式线性函数及其分解、分式线性映射的保圆性、保行性、保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件、两个典型区域间的映射.1、理解分式线性函数所构成的映射2、掌握分式线性映射的性质3、切实掌握两个典型区域间的映射分式线性映射的保圆性、保行性解析函数的保域性与边界对应原理分式线性映射的保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件讲授法多媒体与板书相结合习题六：4-9一、分式线性函数及其分解二、分式线性映射的保圆性三、分式线性映射的保行性四、分式线性映射的保对称点性五、两个典型区域间的映射[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008.基本掌握分式线性函数所构成的映射第二讲授课题目：§6.3分式线性映射；教学内容：分式线性函数及其分解、分式线性映射的保圆性、保行性、保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件、两个典型区域间的映射.学时安排：2学时.教学目标：1、理解分式线性函数所构成的映射；2、掌握分式线性映射的性质；3、切实掌握两个典型区域间的映射；教学重点：分式线性映射的保圆性、保行性；教学难点：分式线性映射的保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件；教学方式：多媒体与板书相结合.作业布置：习题六：4-9板书设计：一、分式线性函数及其分解；二、分式线性映射的保圆性；三、分式线性映射的保行性；四、分式线性映射的保对称点性；五、两个典型区域间的映射参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社；2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版；3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月；4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月；课后记事：基本掌握分式线性函数所构成的映射；教学过程：§6.2分式线性映射（Thefractionlinearitymapping）形如：的函数，称为分式线性函数.其中是复常数，而且.在时，我们也称它为整式线性函数.分式线性函数及其分解(Fractionallinearfunctionanditsdecomposition)一般分式线性函数总可以分解为下列四种简单函数复合：（1）（为一个复数）；（2）（为一个实数）；（3）（）；（4）、.例2将分式线性函数分解为四种简单函数复合解：，其复合过程为1、平移、旋转与相似映射(1)平移映射：令，，，则有，，它将曲线沿的方向平移到曲线(2)旋转映射：令，则有，它将曲线绕原点旋转到曲线.(3)相似映射：令，则有，它将曲线放大（或缩小）到曲线2、反演映射：令，则有即，由可知，当时，；当时，因此反演映射的特点是将单位圆内部（或外部）的任一点映射到将单位圆外部（或内，部）且辐角反号.反演映射可以分两步进行，第一步，将映射为:,且再将映射为满足:,且定义6.3设某圆的半径为为两点在从圆心出发地射线上，且,则称是关于圆周对称的.即设已给圆，如果两个有限点及在过的同一射线上，并且，那么我们说及是关于圆C的对称点.因此，可由单位圆对称映射与实轴对称映射复合而成.二、分式线性映射的保行性(Fractionallinearmapspreservingfeasibility)规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆.定理(Theorem)6.8在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射成圆.证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、相似映射及型的函数所确定的映射复合而得，但前三个映射显然把圆映射成圆，所以只用证明映射也把圆映射为圆即可.由此可得如下定理定理(Theorem)6.9分式线性函数在扩充复平面上是共形映射.三、分式线性映射的保圆性(Fractionallinearmapspreservingcircleof)定理(Theorem)6.10扩充平面上任何圆，可以用一个分式线性函数映射成扩充平面上任何圆.证明：由映射把圆映射为圆可证明此定理.注1：圆上的点是它本身关于圆的对称点；注2：规定及是关于圆的对称点；注3:利用此定理也可以解释关于直线的对称点.例1求实轴在映射下的像曲线.解：在实轴上取三点，，，则对应的三个像点为，，，所以像曲线为，上半平面被映射到圆的内部，而下半平面被映射到圆的外部.四、分式线性映射的保对称点性(Fractionallinearmapsofsymmetricpointof)引理:不同两点及是关于圆的对称点的必要与充分条件是通过及的任何圆与圆直交.定理(Theorem)6.11设点及关于圆的对称，则在分式线性映射下，它们的像点及关于圆的像曲线对称.证明：设是过及的任意一个圆，则其原像是过及的圆.由及是关于圆对称，有与正交，由保角性与正交，即过与的任意圆与正交，因此及关于圆的像曲线对称.五、唯一决定分式线性映射的条件(Theonlydecisiontheconditionsoffractionallinearmaps)定理(Theorem)6.12在平面上任意三个不同的点以及扩充平面上任意三个不同的点，存在唯一的分式线性函数，把分别映射成.证明：在平面上，考虑已给各点都是有限点的情形.设所求分式线性函数（也称为分式线性变换）是那么，由得同理，有：，，，因此，有，将上式整理后可以解出形如的分式线性函数.显然得这样的分式线性函数是唯一的.由此，我们可以解出分式线性函数.由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的.推论1：如果，或中有一个为，则只需要将对应点公式中含有的项换为1.推论2：设是一分式线性映射，且及，则它可表示成（为复常数）特别：当，时，有（为复常数）两个典型区域间的映射(Mappingbetweenthetwotypicalregions)求一分式线性映射把上半平面保形映射成单位圆盘内部.解：所求映射一方面把内某一点映射成，另一方面把映射成.由于线性映射把关于实轴的对称点映射成为关于圆的对称点，所求映射不仅把映射成，而且把映射成.因此这种映射形如：（为待定的复常数）当z是实数时，有对应，所以于是，其中是一个实常数.因此所求的映射一般为：由于z是实数时，，因此它把直线映射成圆，从而把上半平面映射成，取，，得所求映射为：例2求一分式线性映射把单位圆内部保形映射成单位圆盘内部.解：在|z|<1内任取一点，映射成，并且把映射成.由于与关于圆对称，所以这种映射把映射成.因此这种映射形如：（为待定的复常数）当|z|=1时，有于是因此，其中是一个实常数.所求的映射为：21§6.4几个初等函数构成的共形映射幂函数、指数函数、综合举例1、掌握幂函数构成的共形映射2、掌握指数函数构成的共形映射函数构成的共形映射指数函数构成的共形映射讲授法多媒体与板书相结合习题六：4-9一、幂函数构成的共形映射二、指数函数构成的共形映射三、综合举例[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008.基本掌握幂函数构成的共形映射，指数函数构成的共形映射掌握不好第三讲授课题目：§6.4几个初等函数构成的共形映射；教学内容：幂函数、指数函数、综合举例学时安排：2学时.教学目标：1、掌握幂函数构成的共形映射；2、掌握指数函数构成的共形映射；教学重点：函数构成的共形映射；教学难点：指数函数构成的共形映射；教学方式：多媒体与板书相结合.作业布置：习题六：4-9板书设计：一、幂函数构成的共形映射；二、指数函数构成的共形映射；三、综合举例；参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社；2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版；3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月；4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月；课后记事：基本掌握幂函数构成的共形映射，指数函数构成的共形映射掌握不好；§6.4几个初等函数构成的共形映射(Conformalmappingcomposedofseveralelementaryfunctions)幂函数(Powerfunction)容易得到：函数将角形域共形映射为角形域（如下图）.因此通俗地讲，幂函