浙江省绍兴市嵊州太平中学2021年高三数学文下学期期末试题含解析

浙江省绍兴市嵊州太平中学2021年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（

）A.4

B.

C.2

D.参考答案：D略2.等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列.若=1，则=(

)A.15

B.7

B.8

D.16参考答案：A3.已知非零向量,满足,且与的夹角为,的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：D知识点：数量积的应用解析：设||=t（t>0）,由余弦定理知：所以故答案为：D4.一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为（）

A.28π B.32π C.36π D.参考答案：D【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以2为高的正三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积．【详解】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的正三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面边长为4，可得底面外接圆的半径为：．由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为，故选：C故外接球的表面积S=4πr2=4π×=故选：D．【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．5.定义运算a?b为执行如右图所示的程序框图输出的S值，则的值为(

)A． B． C．4 D．﹣4参考答案：A【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】由已知的程序框图可知：本程序的功能是：计算并输出分段函数S=的值，由已知计算出a，b的值，代入可得答案．【解答】解：由已知的程序框图可知：本程序的功能是：计算并输出分段函数S=的值∵a==＞b==﹣2，∴S=×（+2）=．故选：A．【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知的程序框图分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题．6.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则2a+b的值等于（）A．2B．﹣1C．1D．﹣2参考答案：C考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求出函数的导数，再由导数的几何意义、把切点坐标代入曲线和切线方程，列出方程组进行求解，即可得出结论．解答：解：∵解：由题意得，y′=3x2+a，∴k=3+a

①∵切点为A（1，3），∴3=k+1

②3=1+a+b

③由①②③解得，a=﹣1，b=3，∴2a+b=1，故选C．点评：本题考查直线与曲线相切，考查学生的计算能力，属于基础题．7.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是

（

）

A．[,]B．[,3]

C．[,3]

D．[-1,]参考答案：8.定义在R上的偶函数在是增函数，且，则x的取值范围是A.

B.C.

D.参考答案：B9.已知点A（﹣1，1）、B（1，2）、C（﹣2，1）、D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的坐标公式以及向量投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，1），D（3，4），∴=（4，3），=（3，1），∴?=4×3+3×1=15，||==10，∴向量在方向上的投影为==，故选：D．10.已知集合,则(

)A.(－∞,－1)

B.

C.(2,+∞)

D.(－1,1)参考答案：D解：由A中不等式变形得：，即为变形可得：，解得，即A=，对于B中由x2﹣3x+2＞0，得x＜1或x＞2，故B={x|y=log2（x2﹣3x+2）}={x|x＜1或x＞2}，即.故选:D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC，点A（2，8）、B（﹣4，0）、C（4，﹣6），则∠ABC的平分线所在直线方程为．参考答案：x﹣7y+4=0【考点】待定系数法求直线方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出三角形ABC是等腰直角三角形，作出∠ABC的角平分线BD，求出D点坐标，BD的斜率，再用点斜式求得所在直线方程即可．【解答】解：如图示：，∵kAB=，kBC=﹣，∴AB⊥BC，∵|AB|==10，|BC|==10，∴|AB|=|BC|，∴△ABC是等腰直角三角形，作出∠ABC的角平分线BD，∴直线BD是线段AC的垂直平分线，D是AC的中点，∴D（3，1），由kAC=﹣7得：kBD=，∴直线BD的方程是：y=1=（x﹣3），整理得：x﹣7y+4=0，故答案为：x﹣7y+4=0．【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，体现了数形结合以及转化的数学思想，属于基础题．12.已知函数，若，则函数恒过定点

．参考答案：(1,3)∵，∴函数图象的对称轴为，∴，即，∴．在中，令，则．∴函数的图象恒过定点(1,3)．

13.定义在上的偶函数，对任意实数都有，当时,，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是_______________.参考答案：14.已知复数（）满足，则的范围是

参考答案：15.等差数列中，前项和为,，则的值为________.参考答案：2014略16.已知点在所在平面内，且则取得最大值时线段的长度是

▲

.参考答案：17.观察下列不等式，……照此规律，第五个不等式为

.

参考答案：.通过观察易知第五个不等式为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的一点，PA=PD=4=AD=2BC，CD=2．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设|PM|=t|MC|，试确定t的值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知可得PQ⊥AD，再由面面垂直的性质可得PQ⊥平面ABCD，得到PQ⊥BQ，再由已知可得BQ⊥AD，结合线面垂直的判定可得BQ⊥平面PAD，从而得到平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，QB、AD、QP两两互相垂直，以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP为x、y、z轴距离空间直角坐标系，可得则Q（0，0，0），P（0，0，），C（﹣2，2，0），由|PM|=t|MC|，得M（）．求出平面MQB与平面CBQ的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值结合已知列式求得t值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，而BQ?平面ABCD，∴PQ⊥BQ，又底面ABCD为直角梯形，∠ADC=90°，∴CD⊥AD，∵BC∥AD，BC=，∴四边形QBCD为平行四边形，则BQ∥CD，得BQ⊥AD，又PQ∩AD=Q，∴BQ⊥平面PAD，∵BQ?平面PBQ，则平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，QB、AD、QP两两互相垂直，以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP为x、y、z轴距离空间直角坐标系，则Q（0，0，0），P（0，0，），C（﹣2，2，0），∵|PM|=t|MC|，∴，可得M（）．，=（）．设平面MQB的一个法向量为，由，得，取z=1，得．由图可知，平面CBQ的一个法向量．由|cos＜＞|=||=||=cos30，解得t=3．19.（本题满分12分）已知函数f(x)=lnx－.(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为，求a的值.参考答案：(1)由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且f′(x)＝＋＝.∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数.………………3’(2)由(1)可知：f′(x)＝，①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去). ②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去).③若－e<a<－1，令f′(x)＝0，得x＝－a.当1<x<－a时，f′(x)<0，∴f(x)在(1,－a)上为减函数；当－a<x<e时，f′(x)>0，∴f(x)在(－a,e)上为增函数，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝?a＝－.综上可知：a＝－.………………12’20.一个袋中装有7个大小相同的球，其中红球有4个，编号分别为1，2，3，4；蓝球3个，编号为2，4，6，现从袋中任取3个球（假设取到任一球的可能性相同）．（I）求取出的3个球中，含有编号为2的球的概率；（Ⅱ）记ξ为取到的球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（I）从7个球中取出3个球，基本事件总数n=C73=35，然后求出取出的3个球中，含有编号为2的球的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量ξ所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值．【解答】解：（Ⅰ）设“取出的3个球中，含有编号为2的球”为事件A，则从盒子中取出3个球，基本事件总数n=C73=35，其中含有2号球的基本事件个数m=C21C52+C22C51=25，∴取出的3个球中，含有编号为2的球的概率=．…（Ⅱ）ξ所有可能取值为0，1，2，3．…P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，…所以随机变量ξ的分布列是ξ0123P随机变量ξ的数学期望Eξ=1×+2×+3×=．…21.(本小题满分12分)已知方向向量为的直线过点和椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若已知点，点是椭圆上不重合的两点，且，求实数的取值范围．参考答案：（1）∵直线的方向向量为∴直线的斜率为，又∵直线过点∴直线的方程为∵，∴椭圆的焦点为直线与轴的交点∴椭圆的焦点为∴，又∵∴，∴∴椭圆方程为

------------4分（2）设直线MN的方程为由，得设坐标分别为则

(1)

(2)

＞0∴,∵，显然，且∴∴

--------8分代入(1)(2)，得∵,得，即解得且.

------------略22.已知抛物线C的标准方程为