第十章考点直线与圆锥曲线的位置关系x

考点51直线与圆锥曲线的位置关系第十章

平面解析几何第1页，共61页1．直线与圆锥曲线的位置关系有________、________和________.2．判断直线与圆锥曲线的位置关系第2页，共61页知识要点相交相切相离第3页，共61页知识要点第4页，共61页知识要点3．计算直线与圆锥曲线的相交弦长联立ax2＋bx＋c＝0，当a≠0，Δ≥0时，由韦达定理得x1＋x2＝，x1·x2＝，则弦长＝(其中k为直线的斜率，x1，x2为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根)第5页，共61页知识要点4．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题：常用中点坐标公式、韦达定理、点差法等．5．关于对称性问题：可根据点的对称性的求法类推．第6页，共61页基础过关1．直线y＝x＋2与抛物线y2＝4x的公共点有()A．1个

B．2个C．0个

D．无法确定C123456第7页，共61页基础过关2．经过椭圆的一个焦点，且垂直于y轴的弦长为()A．

B．

C．

D．C123456第8页，共61页基础过关3．直线与双曲线的交点有()A．0个

B．1个

C．2个

D．3个B【提示】双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝x＋1与渐近线平行，∴与双曲线有1个交点．123456第9页，共61页基础过关4．若经过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，则这样的直线有()A．1条

B．2条

C．3条

D．4条C123456【提示】满足题意的直线有3条，如：直线x＝0、直线y＝1及经过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0).第10页，共61页基础过关5．若直线2x－y－2＝0与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，则弦AB的中点坐标的横坐标为________.2【提示】由得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，∴x中＝＝2.123456第11页，共61页基础过关6．已知直线x－2y＋2＝0经过椭圆(a>b>0)的左焦点F1(－c，0)和上顶点B(0，b)，则椭圆的离心率为________.123456【提示】F1(－2，0)，B(0，1)，即c＝2，b＝1，∴a2＝b2＋c2＝5，∴a＝，∴

.典例剖析例1变1例2例1已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：.试问：(1)当m取何值时，直线l与椭圆C有两个不重合的公共点？(2)当m取何值时，直线l与椭圆C有且只有一个公共点？变2第12页，共61页【思路点拨】判断直线与二次曲线的位置关系，即判断直线方程与二次曲线方程联立消元后所得一元二次方程的解的个数问题，即通过判别式Δ判断即可．例3变3例4变4典例剖析【解】由直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，∴Δ＝(8m)2－36(2m2－4)＝144－8m2.第13页，共61页例1变1例2变2例3变3例4变4典例剖析(1)当Δ>0时，即－3<m<3时，方程组有两组不同的实数解，即直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程组有两组相同的实数解，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．第14页，共61页例1变1例2变2例3变3例4变4第15页，共61页变式训练1

(1)判断直线x－y－1＝0与双曲线x2－2y2＝2的交点个数；(2)已知直线y＝kx－2与抛物线y2＝6x只有一个公共点，求k的值．典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4第16页，共61页典例剖析解：(1)由得x2－4x＋4＝0，∴Δ＝0，∴只有一个交点．(2)由消去y得k2x2－(4k＋6)x＋4＝0.∴当k＝0时，直线方程为y＝－2，符合条件；当k≠0时，Δ＝(4k＋6)2－4×4k2＝0，解得k＝.综上所述，k的值为0或.例1变1例2变2例3变3例4变4第17页，共61页例2已知直线x－y＋1＝0与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．典例剖析【思路点拨】直线方程与曲线方程联立，消去x或y得到一元二次方程，通过韦达定理，利用弦长公式，减小运算量．例1变1例2变2例3变3例4变4第18页，共61页【解】由得7x2＋8x－8＝0，由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝，∴|AB|＝即弦AB的长为.典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4第19页，共61页典例剖析变式训练2

设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，经过点F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝8，求直线l的方程．例1变1例2变2例3变3例4变4解：由题意得F(1，0).设直线l的方程为y＝k(x－1)(k>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴Δ＝16k2＋16>0，∴x1＋x2＝.第20页，共61页典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由题意得＝8(k>0)，解得k＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.第21页，共61页典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4第22页，共61页例3

已知某直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A，B两点，弦AB的中点为M(1，1)，求直线AB的方程．典例剖析【思路点拨】求中点弦所在直线方程，已知一点再求其斜率即可，根据题意应该考虑弦的端点坐标和弦的中点坐标之间的关系，于是可以利用韦达定理或点差法求解．例1变1例2变2例3变3例4变4第23页，共61页典例剖析【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据题意x1≠x2.∵弦AB的中点为M(1，1)，∴＝1，＝1，即x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.由作差得4(x22－x12)＋9(y22－y12)＝0.例1变1例2变2例3变3例4变4第24页，共61页典例剖析∴4(x2＋x1)(x2－x1)＋9(y2＋y1)(y2－y1)＝0，∴8(x2－x1)＋18(y2－y1)＝0，∴，即kAB＝，由点斜式得y－1＝(x－1)，即直线AB的方程为4x＋9y－13＝0.例1变1例2变2例3变3例4变4第25页，共61页典例剖析变式训练3

已知经过点A(2，1)作直线l交双曲线

于P，Q两点，点A平分弦PQ，求直线l的方程．例1变1例2变2例3变3例4变4第26页，共61页典例剖析解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1≠x2，且＝2，＝1，即x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.由作差得2(x22－x12)－(y22－y12)＝0，例1变1例2变2例3变3例4变4第27页，共61页典例剖析∴2(x2＋x1)(x2－x1)－(y2＋y1)(y2－y1)＝0，∴8(x2－x1)－2(y2－y1)＝0，∴8(x2－x1)＝2(y2－y1)，∴，即kPQ＝4，由点斜式，得y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0.例1变1例2变2例3变3例4变4第28页，共61页例4

已知抛物线y2＝2px(p>0)有内接直角三角形OAB，直角顶点在原点，一条直角边所在直线方程是y＝2x，直角三角形的斜边长为5，求p的值．典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4【思路点拨】先利用直线OA，OB的方程与抛物线方程联立，可以求出A，B两点的坐标，再与斜边AB的长结合距离公式建立关于p的方程，即可求出参数p的值．第29页，共61页【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝2x1.∵OA⊥OB，∴y2＝－x2.∵典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4第30页，共61页∴∴A，B(8p，－4p)，∴|AB|＝∴p＝.典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4第31页，共61页典例剖析变式训练4

已知等边三角形ABC的三个顶点在抛物线y2＝2x上，其中点A与原点O重合，求△ABC的边长．例1变1例2变2例3变3例4变4解：kOB＝tan30°＝，kOC＝tan150°＝，且BC⊥x轴，第32页，共61页典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4∴直线OB的方程为y＝x，由得x＝6，y＝2.∴B(6，2)，C(6，－2)，∴△ABC的边长|AB|＝|AC|＝|BC|＝4.第33页，共61页回顾反思1．直线与圆锥曲线的题目最常见的步骤是：联立方程组⇒消元(消去x或y)⇒得到一元二次方程，再根据题意，结合韦达定理和弦长公式解决交点个数、弦长、中点等相关问题．2．点差法是解直线与圆锥曲线相交问题的一种常用方法，其适用范围是有关弦的中点问题，可以根据已知中点坐标求其他条件，也可以根据其他条件求中点的轨迹方程．第34页，共61页回顾反思3．直线与抛物线有一个公共点时，包括与对称轴平行的直线与抛物线相切的直线；直线与双曲线有一个公共点时，包括与渐近线平行的直线及与双曲线相切的直线．检测练习12345678一、单项选择题1．直线y＝kx＋k与椭圆的位置关系是()A．相交

B．相切

C．相离

D．与k有关第35页，共61页9101112123AA组B组4第36页，共61页2．直线y＝2x＋1与双曲线的公共点有()A．0个

B．1个

C．2个

D．4个检测练习B123456789101112123A组B组4第37页，共61页3．若经过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1＋x2＝6，则|AB|等于()A．8

B．6

C．4

D．2检测练习A【提示】|AB|＝|x1＋x2|＋p＝8.123456789101112123A组B组4第38页，共61页4．经过双曲线的左焦点，且垂直于x轴的弦长为()A．6

B．2

C．1

D．2检测练习D【提示】经过左焦点且垂直于x轴的直线方程为x＝－2，代入双曲线方程得y2＝1，∴弦长为2.123456789101112123A组B组4第39页，共61页5．抛物线y＝x2上的点到直线2x－y＝4的距离最短的点的坐标是()A．

B．(1，1)

C．

D．(2，4)检测练习B123456789101112123A组B组4第40页，共61页检测练习A组【提示】设点(x0，x02)到直线2x－y－4＝0的距离d＝＝，当x0＝1时，d最大＝，此时点的坐标为(1，1).123456789101112123B组4第41页，共61页6．已知椭圆，则以M(－1，1)为中点的弦所在的直线方程为()A．3x－4y＋7＝0

B．3x＋4y－1＝0C．4x－3y＋7＝0

D．4x＋3y＋1＝0检测练习123456789101112123A组B组A4第42页，共61页检测练习【提示】设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴两式相减得∴，∴直线方程为y－1＝(x＋1)即3x－4y＋7＝0.123456789101112123A组B组4第43页，共61页二、填空题7．若斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．检测练习123456789101112123A组B组4第44页，共61页检测练习【提示】∵椭圆的右焦点坐标为(1，0)，∴直线AB的方程为y＝2(x－1).由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝0，∴弦长|AB|＝123456789101112123A组B组4第45页，共61页8．若直线l：y＝kx＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则k的值为_________．检测练习【提示】当直线l平行于x轴时，即k＝0显然满足；当k≠0时，由⇒ky2－4y＋4＝0.∵Δ＝16－16k＝0，∴k＝1.故k＝0或1.123456789101112123A组B组0或14第46页，共61页9．已知经过点M(1，1)作斜率为的直线与椭圆C：(a＞b＞0)相交于A，B两点．若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为_________．检测练习123456789101112123A组B组4第47页，共61页检测练习【提示】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得作差得，∴，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，123456789101112123A组B组4∴，∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2

，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴.第48页，共61页检测练习123456789101112123A组B组4第49页，共61页10．若经过抛物线y＋2x2＝0的焦点的直线交抛物线于A，B两点，则xA·xB＝________.检测练习123456789101112123A组B组4第50页，共61页检测练习【提示】抛物线方程为x2＝y，焦点为，设经过焦点的直线方程为，由消去y，整理得，∴xA·xB＝.123456789101112123A组B组4第51页，共61页三、解答题11．设抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C相交于A，B两点．若P(1，1)为线段AB的中点，求抛物线C的标准方程．检测练习123456789101112123A组B组4第52页，共61页检测练习解：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2.由两式作差得y12－y22＝2px1－2px2，∴，∴p＝1，∴抛物线C的标准方程为y2＝2x.123456789101112123A组B组4第53页，共61页12．已知经过抛物线y2＝4x的焦点作倾斜角为的直线l.(1)求直线l的方程；(2)设直线l与抛物线相交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB的面积．检测练习123456789101112123A组B组解：(1)∵F(1，0)，k＝tan＝1，∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.4第54页，共61页(2)由得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，∴|AB|＝|x1＋x2|＋p＝6＋2＝8.∵O(0，0)到直线x－y－1＝0的距离d＝，∴S△AOB＝.检测练习123456789101112123A组B组4第55页，共61页1．若直线y＝x－3与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，经过