2022年河南省洛阳市城关前杜楼中学高二数学文联考试题含解析

2022年河南省洛阳市城关前杜楼中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若16－x2≥0，则()A．0≤x≤4 B．－4≤x≤0C．－4≤x≤4

D．x≤－4或x≥4参考答案：C略2.在首项为81，公差为－7的等差数列中，最接近零的是第(

)项A.11

B.12

C.

13

D.14参考答案：C3.已知平面向量满足的夹角为60°，若则实数的值为（

）A．1

B．

C．2

D．3参考答案：D4.已知是可导函数，且对于恒成立，则A.B.C.D.参考答案：A5.为了考察两个变量和之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为和，已知两人在试验中发现对变量的观测数据的平均值都是，对变量的观测数据的平均值都是，那么下列说法正确的是（

）A．和有交点

B．与相交，但交点不一定是C．与必定平行

D．与必定重合参考答案：A6.已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为，若椭圆的离心率为,则的最小值为（

） A． B． C．

D．参考答案：A7.已知直二面角，点A∈α，AC⊥，C为垂足，B∈β，BD⊥，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于(

)A．

B．

C．

D．1参考答案：C8.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数，如．若，则与的和为

（）

A．106

B．107

C．108

D．109参考答案：D略9.在的展开式中，的系数为（

）A.60 B.-60 C.240 D.-240参考答案：A【分析】写出的展开式的通项公式，让的指数为2，求出，最后求出的系数.【详解】的展开式的通项公式为：，令，所以的系数为：，故本题选A.10.等差数列的前项和，若，，则（

）A．153 B．182 C．242 D．273参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列四个命题中①不等式的解集为；②“且”是“”的充分不必要条件；③函数的最小值为；④命题的否定是：“”其中真命题的为_________（将你认为是真命题的序号都填上）参考答案：2

略12.设f(x)=且

，则=

.参考答案：13.设数列{an}满足a2+a4=10，点Pn（n，an）对任意的n∈N+，都有向量=（1，2），则数列{an}的前n项和Sn=

．参考答案：n2

【考点】数列与向量的综合．【分析】由已知得an}等差数列，公差d=2，将a2=a1+2，代入a2+a4=10，中，得a1=1，由此能求出{an}的前n项和Sn．【解答】解：∵Pn（n，an），∴Pn+1（n+1，an+1），∴=（1，an+1﹣an）=（1，2），∴an+1﹣an=2，∴{an}等差数列，公差d=2，将a2=a1+2，a4=a1+6代入a2+a4=10中，解得a1=1，∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴Sn==n2．故答案为：n2．14.若，则

▲

．参考答案：略15.设是第三象限角，，则

；参考答案：略16.设数列{an}的前n的和为Sn，且满足

▲

．参考答案：4【分析】由，得，从而，从而，由此得到是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出的值.【详解】数列的前项和为，满足，，解得，，解得，，解得，，整理，得，是首项为2，公比为2的等比数列，，故答案为4.【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题.已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.

17.函数的图象在处的切线方程为，则

．参考答案：－3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F（1，0），C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点．（Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；（Ⅱ）若，求直线l的方程；（Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．参考答案：【考点】圆锥曲线的综合．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；方程思想；转化思想．【分析】（Ⅰ）抛物线C2有公共焦点F（1，0），可知该抛物线的标准方程的形式和P的值，代入即可；（Ⅱ）设出直线l的方程为y=k（x﹣4），联立方程，消去x，得到关于y的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理和△＞0及，消去y1，y2，可求得斜率k的值；（Ⅲ）设P（m，n），则OP中点为，因为O、P两点关于直线y=k（x﹣4）对称，利用对称的性质（垂直求平方），可求得斜率k的值，联立直线与椭圆方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，△≥0，解不等式即可椭圆C1的长轴长的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C2的焦点F（1，0），∴=1，即p=2∴抛物线C2的方程为：y2=4x，（Ⅱ）设直线AB的方程为：y=k（x﹣4），（k存在且k≠0）．联立，消去x，得ky2﹣4y﹣16k=0，显然△=16+64k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则

①y1?y2=﹣16

②又，所以

③由①②③消去y1，y2，得k2=2，故直线l的方程为，或．（Ⅲ）设P（m，n），则OP中点为，因为O、P两点关于直线y=k（x﹣4）对称，所以，即，解之得，将其代入抛物线方程，得：，所以，k2=1．联立，消去y，得：（b2+a2k2）x2﹣8k2a2x+16a2k2﹣a2b2=0．由△=（﹣8k2a2）2﹣4（b2+a2k2）（16a2k2﹣a2b2）≥0，得16a2k4﹣（b2+a2k2）（16k2﹣b2）≥0，即a2k2+b2≥16k2，将k2=1，b2=a2﹣1代入上式并化简，得2a2≥17，所以，即，因此，椭圆C1长轴长的最小值为．【点评】此题是个难题．本题考查了椭圆与抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（Ⅲ）考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，19.（12分）求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.参考答案：证法1：∵a4+b4+c4-（a2b2+b2c2+c2a2）=[(a4-2a2b2+b4)+(b4-2a2b2+c4)+(c4-2c2a2+a4)]=[(a2-b2)2+（b2-c2）2+(c2-a2)2]≥0，∴a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2（12分）。证法2：不妨设a2≥b2≥c2,则由排序原理顺序和≥乱序和，得a2×a2+b2×b2+c2×c2≥a2b2+b2c2+c2a2，即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2，当且仅当a2=b2=c2时，等号成立（12分）.略20.已知椭圆的离心率为，且经过点，若分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.（1）求椭圆的方程；（2）若，求的值；（3）求四边形面积的最大值．参考答案：解：（1），（2）直线的方程分别为，.如图，设，其中，且满足方程，故………①由知，得；由在上知，得．所以，化简得，解得或．（3）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，．又，所以四边形的面积为，当且仅当即当时，上式取等号．所以的最大值为．解法二：由题设，，．设，，由①得，，故四边形的面积为，当时，上式取等号．所以的最大值为．21.新高考，取消文理科，实行“3+3”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在[15,45)称为中青年，年龄在[45,75)称为中老年），并把调查结果制成下表：年龄（岁）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)频数515101055了解4126521

（1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；（2）请根据上表完成下面2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？

了解新高考不了解新高考总计中青年

中老年

总计

附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.828

（3）若从年龄在[55,65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X，求X的分布列以及.参考答案：（1）；（2）见解析，有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（3）分布列见解析，.【分析】（1）分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出概率；（2）根据数据列出列联表，求出的观测值，对照表格，即可得出结论；（3）年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，可能取值为0，1，2，分别求出概率，列出随机变量分布列，根据期望公式即可求解.【详解】（1）由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率，中老年对新高考了解的概率.（2）列联表如图所示

了解新高考不了解新高考总计中青年22830老年81220总计302050

，所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联.（3）年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数