浙江省温州市乐清文星中学高一数学理月考试题含解析

浙江省温州市乐清文星中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a，b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列说法中正确的是（）A．若a∥b，a∥α，则b∥α B．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥α D．若α⊥β，a∥α，则a⊥β参考答案：B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A选项a∥b，a∥α，则b∥α，可由线面平行的判定定理进行判断；B选项a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断；C选项α⊥β，a⊥β，则a∥α可由线面的位置关系进行判断；D选项α⊥β，a∥α，则a⊥β，可由面面垂直的性质定理进行判断．【解答】解：A选项不正确，因为b?α是可能的；B选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的；C选项不正确，因为α⊥β，a⊥β时，可能有a?α；D选项不正确，因为α⊥β，a∥α时，a∥β，a?β都是可能的．故选：B．2.已知,且,则P点的坐标为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略3.具有、、三种性质的总体，其容量为63，、、三种性质的个体之比为1：2：4，现按分层抽样法抽取个体进行调查，如果抽取的样本容量为21，则A、B、C三种元素分别抽取（

）．A．12,6，3

B．12,3,6

C．3,6,12

D．3,12，6参考答案：C4.已知指数函数f（x）=ax﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】求出定点P，然后求解幂函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：指数函数f（x）=ax﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，令x﹣16=0，解得x=16，且f（16）=1+7=8，所以f（x）的图象恒过定点P（16，8）；设幂函数g（x）=xa，P在幂函数g（x）的图象上，可得：16a=8，解得a=；所以g（x）=，幂函数g（x）的图象是A．故选：A．【点评】本题考查了指数函数与幂函数的性质与应用问题，也考查了计算能力的问题，是基础题．5.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形参考答案：D【考点】GN：诱导公式的作用．【分析】首先根据正弦、余弦在（0，π）内的符号特征，确定△A1B1C1是锐角三角形；然后假设△A2B2C2是锐角三角形，则由cosα=sin（）推导出矛盾；再假设△A2B2C2是直角三角形，易于推出矛盾；最后得出△A2B2C2是钝角三角形的结论．【解答】解：因为△A2B2C2的三个内角的正弦值均大于0，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值也均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形．若△A2B2C2是锐角三角形，由，得，那么，，这与三角形内角和是π相矛盾；若△A2B2C2是直角三角形，不妨设A2=，则sinA2=1=cosA1，所以A1在（0，π）范围内无值．所以△A2B2C2是钝角三角形．故选D．【点评】本题主要考查正余弦函数在各象限的符号特征及诱导公式，同时考查反证法思想．6.设，则使幂函数为奇函数且在上单调递增的a值的个数为

A．

3

B．4

C．

5

D．6参考答案：A略7.下列各式中成立的一项是() A．B．

C．D．参考答案：D8.（5分）函数f（x）=2sinωx在上单调递增，那么ω的取值范围是（） A． （0，] B． （0，2] C． D． 参考答案：B考点： 正弦函数的图象．专题： 计算题；三角函数的图像与性质．分析： 根据正弦型函数的性质，可得在ω＞0时，区间是函数y=2sinωx的一个单调递增区间，结合已知中函数y=2sinωx（ω＞0）在上单调递增，推出一个关于ω的不等式组，解不等式组，即可求出实数ω的取值范围．解答： 由正弦函数的性质，在ω＞0时，当x=﹣，函数取得最小值，x=函数取得最大值，所以，区间是函数y=2sinωx的一个单调递增区间，若函数y=2sinωx（ω＞0）在上单调递增则﹣≤﹣且≥解得0＜ω≤2故选：B．点评： 本题考查的知识点是正弦型函数的单调性，其中根据正弦型函数的性质，得到ω＞0时，区间是函数y=2sinωx的一个单调递增区间，进而结合已知条件构造一个关于ω的不等式组，是解答本题的关键，属于中档题．9.已知函数，为偶函数，且当时，．记．给出下列关于函数的说法：①当时，；②函数为奇函数；③函数在上为增函数；④函数的最小值为，无最大值．

其中正确的是A．①②④

B．①③④

C．①③

D．②④参考答案：B10.已知f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是递增的，若f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣2＜x＜0或x＞2} B．{x|x＜﹣2或0＜x＜2}C．{x|x＜﹣2或x＞2} D．{x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2}参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】易判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（﹣2）=0，得f（﹣2）=﹣f（2）=0，即f（2）=0，由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0，作出f（x）的草图，如图所示：由图象，得xf（x）＜0?或，解得0＜x＜2或﹣2＜x＜0，∴xf（x）＜0的解集为：（﹣2，0）∪（0，2），故选：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为．参考答案：

【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为，故答案为：．12.正项等比数列{an}中，，则

.参考答案：1

13.已知平面向量的夹角为，，则____参考答案：1【分析】利用向量数量积的定义式求解即可.【详解】根据题意可得，故答案是1.【点睛】该题考查的是有关平面向量数量积的求解问题，涉及到的知识点有平面向量数量积的定义式，属于简单题目.14.一个容量为的样本数据分组后组数与频数如下：［25，25.3），6；［25.3，25.6），4；［25.6，25.9），10；［25.9，26.2），8；［26.2，26.5），8；［26.5，26.8），4；则样本在［25，25.9）上的频率为_______________．参考答案：15.已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足===1，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形，若等腰△ABC存在“友好”三角形，则其底角的弧度数为．参考答案：【考点】正弦定理． 【分析】由题意可得cosA=sinA1，cosB=sinB1，cosC=sinC1，设B=α=C，则A=π﹣2α，求得A1=2α，可得tan2α=﹣1，再根据2α∈（0，π）可得2α的值，从而求得α的值．【解答】解：由题意可得等腰△ABC的三个内角A、B、C均为锐角， 且cosA=sinA1，cosB=sinB1，cosC=sinC1， 设B=α=C，则A=π﹣2α． 由于△A1B1C1中，A1、B1、C1不会全是锐角， 否则，有A+A1=，B+B1=，C+C1=，与三角形内角和矛盾． 故A1、B1、C1必有一个钝角，只能是顶角A1为钝角，C1和B1均为锐角． 故有B1=﹣α，C1=﹣α，∴A1=2α． 再根据cosA=sinA1，可得cos（π﹣2α）=sin2α，即sin2α+cos2α=0， 即tan2α=﹣1，再根据2α∈（0，π）可得2α=，∴α=， 故答案为：． 【点评】本题主要考查新定义，诱导公式的应用，属于中档题． 16.已知集合，则集合M∩N为

▲

．参考答案：

[，4]

17.若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是． 参考答案：（﹣1，1）【考点】函数零点的判定定理． 【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用． 【分析】化简a=﹣，从而利用其几何意义及数形结合的思想求解． 【解答】解：由题意得， a=﹣ =﹣； 表示了点A（﹣，）与点C（3x，0）的距离， 表示了点B（，）与点C（3x，0）的距离， 如下图， 结合图象可得， ﹣|AB|＜﹣＜|AB|， 即﹣1＜﹣＜1， 故实数a的取值范围是（﹣1，1）． 故答案为：（﹣1，1）． 【点评】本题考查了数形结合的思想应用． 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）计算下列各式的值：（1）；（2）

参考答案：（1）；（2）21。19.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，VC垂直于⊙O所在的平面，且AB=4，VC=3．（Ⅰ）若点D在△VCB内，且DO∥面VAC，作出点D的轨迹，说明作法及理由；（Ⅱ）求三棱锥V﹣ABC体积的最大值，并求取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角的大小．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；J3：轨迹方程．【分析】（Ⅰ）取VB，CB的中点，分别记为E，F，连结E，F，由E，F分别为VB、CB的中点，得EF∥VC，从而DO∥面VAC，由此得到D点轨迹是EF．（Ⅱ）设d为点C到直线AB的距离，由VC⊥面ABC，得到d=2，即C是的中点时，（VV﹣ABC）max=4，此时VC⊥BC，AC⊥BC，从而BC⊥面VAC，进而∠CAB是直线AB与面VAC所成的角，由此能求出三棱锥V﹣ABC体积取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角为45°．【解答】解：（Ⅰ）取VB，CB的中点，分别记为E，F，连结E，F，则线段EF即为点D的轨迹，如图所示．理由如下：∵E，F分别为VB、CB的中点，∴EF∥VC，又EF?面VAC，VC?面VAC，又D∈EF，OD?面EOF，∴DO∥面VAC，∴D点轨迹是EF．（Ⅱ）设d为点C到直线AB的距离，∵VC⊥面ABC，∴==，∵d∈（0，2]，∴当d=2，即C是的中点时，（VV﹣ABC）max=4，∵VC⊥面ABC，BC?面ABC，∴VC⊥BC，∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴AC⊥BC，∵AC∩VC=C，∴BC⊥面VAC，∴AC是AB在面VAC上的射影，∴∠CAB是直线AB与面VAC所成的角，∵C是的中点，∴CA=CB，∴∠CAB=45°，∴三棱锥V﹣ABC体积取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角为45°．20.设二次函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x+1）+f（x）=2x2﹣2x﹣3（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=a有两个实数根x1，x2，且满足：﹣1＜x1＜2＜x2，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）设出二次函数，利用函数的解析式，化简表达式，通过比较系数，求出函数的解析式．（2）利用二次函数根与系数的关系，列出不等式，求解a的范围即可．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则f（x+1）+f（x）=2ax2+（2a+2b）x+a+b+2c=2x2﹣2x﹣3…3分所以，解得：a=1，b=﹣2，c=﹣1，从而f（x）=x2﹣2x﹣1…7分（2）令g（x）=f（x）﹣a=x2﹣2x﹣1﹣a=0由于﹣1＜x1＜2＜x2，所以…10分解得﹣1＜a＜2…14分．21.已知函数，（1）判断并证明f(x)的单调性；（2）若当时，f(x)-4<0恒成立，求a得取值范围。参考答案：解：（1）f(x)在R上是增函数。证明：任取

=

当a>1时，因为，<0,,所以，，f(x)在R上是增函数。当0<a<1时，因为，>0,,所以，，f(x)在R上是增函数。综上，f(x)在R上是增函数。

（2）因为f(x)在单调递增

所以解得略22.某地区的农产品A第x天（1≤x≤20，x∈N*）的销售价格p=50﹣|x﹣6|（元∕百斤），一农户在第x天（1≤x≤20，x∈N*）农产品A的销售量q=a+|x﹣8|（百斤）（a为常数