陕西省咸阳市杨陵中学2022-2023学年高三数学文模拟试卷含解析

陕西省咸阳市杨陵中学2022-2023学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，其图像过点（1，2）且离心率为，则该双曲线的实轴长为A．

B．3

C．2

D．6参考答案：C2.下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是(

)．A3

B4C

5

D

6参考答案：A3.如图，在△ABC中，N、P分别是AC、BN的中点，设，，则=（）A．+

B．﹣+ C．﹣﹣ D．﹣参考答案：B【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的加减的几何意义和三角形法则即可求出．【解答】解：=+=+，=﹣+（﹣），=﹣+（﹣），=﹣+﹣（+），=﹣+，=﹣+，故选：B【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和三角形法则，属于基础题．4.若x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取

得最小值，则a的取值范围是A．(－1，2)

B．(－4，2)

C．(－4，0]

D．(－2，4)参考答案：B

不等式组所表示的平面区域如图中的区域M，目标函数z＝ax＋2y变换为y＝－x＋，显然z是直线系y＝－x＋在y轴上截距的2倍，根据这个几何意义，直线系只能与区域M在点(1,0)处有公共点，即直线系y＝－x＋的斜率－∈(－1,2)，故a∈(－4,2)．目标函数所在直线系的斜率和区域边界线斜率的关系是解决目标函数在区域的某点取得最值的一般方法，但如果具体问题具体分析，本题还有更为简捷的方法，我们知道目标函数取最值的点只能是区域的顶点或边界线上，本题中区域的三个顶点坐标分别是(1,0)，(0,1)，(3,4)，目标函数在这三个顶点的取值分别是a,2,3a＋8，根据题目要求这三个值应该a最小，即a<2，a<3a＋8，即－4<a<2.5.已知，．若，则的取值范围是A． B．C． D．参考答案：D【点睛】考查平面向量的概念，平面向量的线性运算，平面向量的的数量积以及最大值最小值的讨论。解决此类问题，要多注意平面向量的性质，做题一定要数行结合@6.四面体的四个顶点都在球的球面上,，,,平面,则球的表面积为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D考点：空间几何体的表面积与体积因为球心O在过正中心H且垂直于面BCD的直线上，且

所以，

故答案为：D7.，，则与的大小关系为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D，因为，，所以，，所以，所以，选D.8.过点A（2，3）且垂直于直线的直线方程为A. B.C. D.参考答案：A法一：设所求直线方程为,将点A代入得，,所以,所以直线方程为，选A.法二：直线的斜率为，设所求直线的斜率为，则，代入点斜式方程得直线方程为，整理得，选A.9.甲、乙两人在一次射击比赛中各打靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（

）

甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差参考答案：C10.设集合A＝B＝，从A到B的映射，则在映射下B中的元素（1，1）对应的A中元素为（

）。

A.（1，3）

B.（1，1）

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数，其中，则的展开式中的系数为_________．参考答案：1012.函数f(x)＝ax3－2ax2＋(a＋1)x不存在极值点，则实数a的取值范围是________．参考答案：0≤a≤313.已知是方程的复数解，则

参考答案：14.已知过点且斜率为k的直线与圆相交于P、Q两点，则的值为参考答案：【知识点】直线与圆相交的性质．N17

解析：：圆心C（3，2），半径R=1，

设切线交圆于B，

则由切线长定理得，

∵，∴，

故答案为：7【思路点拨】根据切线长定理即可得到结论．15.运行如图所示的程序后，输出的结果为

▲

.参考答案：42。此题的答案容易错为22。16.已知则的值是

。参考答案：17.已知变量,满足约束条件,则的最大值是

.参考答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a>0).（1）求f(x)的最小值；（2）若曲线y＝f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为y＝x，求a，b的值.

参考答案：解:（1）(方法一)由题设和均值不等式可知，f(x)＝ax＋＋b≥2＋b.其中等号成立当且仅当ax＝1.即当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.(方法二)f(x)的导数f′(x)＝a－＝.当x>时，f′(x)>0，f(x)在上递增；当0<x<时，f′(x)<0，f(x)在上递减.所以当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.（2）f′(x)＝a－.由题设知，f′（1）＝a－＝，解得a＝2或a＝－(不合题意，舍去).将a＝2代入f（1）＝a＋＋b＝，解得b＝－1，所以a＝2，b＝－1.19.已知函数（为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，∴当时，；当时，.∴的单调递增区间为；单调递减区间为.（Ⅱ）∵

存在，使得成立.∴当时，，在上单调递减，∴，即,

②当时，，在上单调递增，∴，即，

③当时，在，，在上单调递减；在，，在上单调递增.所以，即——由（Ⅰ）知，在上单调递减，故，而，所以不等式无解

综上所述，实数的取值范围是.略20.（14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如[1，2]=1，[﹣1.2]=﹣2，[1]=1，对于函数f（x），若存在m∈R且m?Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f（x）是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数f（x）=x+是Ω函数，求a的取值范围．参考答案：【考点】抽象函数及其应用．【专题】新定义；分类讨论；演绎法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据Ω函数的定义直接判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（Ⅱ）根据周期函数的定义，结合Ω函数的条件，进行判断和证明即可．（Ⅲ）根据Ω函数的定义，分别讨论a=0，a＜0和a＞0时，满足的条件即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x2﹣x是Ω函数，g（x）=sinπx不是Ω函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为f（x）是以T为最小正周期的周期函数，所以f（T）=f（0）．假设T＜1，则[T]=0，所以f（[T]）=f（0），矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6）所以必有T≥1，而函数l（x）=x﹣[x]的周期为1，且显然不是Ω函数，综上，T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）当函数f（x）=x+是Ω函数时，若a=0，则f（x）=x显然不是Ω函数，矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a＜0，则f′（x）=1﹣＞0，所以f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，此时不存在m＜0，使得f（m）=f（[m]），同理不存在m＞0，使得f（m）=f（[m]），又注意到m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m的情形，所以此时f（x）=x+不是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＞0时，设f（m）=f（[m]），所以m+=[m]+[]，所以有a=m[m]，其中[m]≠0，当m＞0时，因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＜m[m]＜（[m]+1）[m]，所以[m]2＜a＜（[m]+1）[m]，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当m＜0时，[m]＜0，因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＞m[m]＞（[m]+1）[m]，所以[m]2＞a＞（[m]+1）[m]，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）记k=[m]，综上，我们可以得到“a＞0且?x∈N?，a≠k2且a≠k（k+1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题主要考查与周期函数有关的新定义试题，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．21.已知函数f（x）=lnx﹣ax2，且函数f（x）在点（2，f（2））处的切线的一个方向向量是（2，﹣3）．（1）若关于x的方程f（x）+x2=3x﹣b在区间[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（2）证明：（）2＞（n∈N*，且n≥2）参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；分析法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a的值，由题意可得lnx+x2﹣3x=﹣b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，即为g（x）=lnx+x2﹣3x和直线y=﹣b在[，2]上有两个交点，求得g（x）的导数，可得单调区间，即可得到所求b的范围；（2）可得当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有lnx﹣x2＜﹣，即为lnx＜（x2﹣1），即有＞=﹣，可令x=2，3，…，n，累加即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣ax2的导数为f′（x）=﹣2ax，由题意可得在点（2，f（2））处的切线斜率为﹣4a=﹣，解得a=，即有f（x）=lnx﹣x2，由题意可得lnx+x2﹣3x=﹣b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，即为g（x）=lnx+x2﹣3x和直线y=﹣b在[，2]上有两个交点，由g（x）的导数为g′（x）=+2x﹣3=，当＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当1＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增．则有g（1）＜﹣b≤g（），即为﹣2＜﹣b≤﹣ln2﹣，解得ln2+≤b＜2；（2）证明：由f（x）=lnx﹣x2的导数为f′（x）=﹣x=，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有lnx﹣x2＜﹣，即为lnx＜（x2﹣1），即有＞=﹣，则有++…+＞1﹣+﹣+…+﹣+﹣=1+﹣﹣===（3+）?＞．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数方程的转化思想和不等式的证明，注意运用函数的单调性和累加法，考查运算能力，属于中档题．22.（本小题满分14分）已知是一个公差大于0的等差数列，且满足．（I）求数列的通项公式；（II）若数列满足:且