北京顺义区牛栏山第二中学高三数学文模拟试题含解析

北京顺义区牛栏山第二中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是A.

B. C. D.参考答案：A2.已知集合，集合，则、满足

（

）

A．

B．

C．

D．且参考答案：B3.已知正项等比数列{an}的公比为3，若，则的最小值等于（

）A．1

B．

C.

D．参考答案：C∵正项等比数列的公比为3，且∴∴∴，当且仅当时取等号.故选C.

4.下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是A. B. C. D.参考答案：B5.某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为A.

B.

C.

D.参考答案：D原几何体是正方体缺少了一个角，所以表面积为，故选D.6.若集合，则实数的取值个数为A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B7.i是虚数单位，若集合S={﹣1，0，1}，则（

）A．i∈S

B．i2∈S

C．i3∈S

D．参考答案：B略8.已知集合M={},若对于任意,存在,使得成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={};②M={};③M={};④.其中是“垂直对点集”的序号是 A．①② B．②③ C．①④ D．②④参考答案：D①是以轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为90°,在同一支上,任意(x1,y1)∈M,不存在(x2,y2)∈M,满足“垂直对点集”的定义;对任意(x1,y1)∈M,在另一支上也不存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,所以不满足“垂直对点集”的定义,不是“垂直对点集”.②,如图在曲线上,两点构成的直角始存在,所以是“垂直对点集”.对于③,如图在曲线上两点构成的直角始存在,例如取M,N,满足“垂直对点集”的定义,所以正确.对于④,如图取点(1,0),曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相垂直,所以不是“垂直对点集”.,故选D．9.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是A.满足的点P必为BC的中点 B.满足的点P有且只有一个C.的最大值为3 D.的最小值不存在参考答案：C10.直线l与直线y=1和x﹣y﹣7=0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），那么直线l的斜率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】直线的斜率；中点坐标公式．【分析】设出P、Q两点坐标，根据重点公式求出P、Q两点的坐标，利用两点表示的斜率公式计算直线l的斜率．【解答】解：设P（a，1），Q（b，b﹣7），∵线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），∴1=，﹣1=解得，a=﹣2，b=4∴P（﹣2，1），Q（4，﹣3），直线l的斜率为：=﹣故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.使函数具有反函数的一个条件是____________________________．(只填上一个条件即可，不必考虑所有情形)．参考答案：略12.(不等式选作题)若不等式的解集为，则的取值范围为________;参考答案：略13.已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为__________．参考答案：－＝1试题分析：圆C：x2＋y2－6x＋5＝0,是以（3,0）为圆心，2为半径的圆，可知双曲线中的c=2，双曲线的渐进性方程为：根据题意点（3,0）到渐近线的距离为2，运用点到直线的距离公式可得故双曲线方程－＝1.考点：双曲线的几何性质.13、已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，，则时的解析式是

参考答案： 15.已知球O面上的四点A、B、C、D，平面ABC，，则球O的体积等于

。

参考答案：略16.某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为，则购鞋尺寸在内的顾客所占百分比为______.参考答案：55%后两个小组的频率为，所以前3个小组的频率为，又前3个小组的面积比为，所以第三小组的频率为，第四小组的频率为，所以购鞋尺寸在的频率为。17.（理）关于x的实系数一元二次方程x2﹣2px+4=0的两个虚根z1、z2，若z1、z2在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为

．参考答案：4考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；数系的扩充和复数．分析：由题意两个虚数根z1，z2是共轭复数，可得椭圆的短轴长：2b=|z1+z2|=2|p|，焦距为2c=|z1﹣z2|，然后求出长轴长．解答： 解：因为p为实数，p≠0，z1，z2为虚数，所以（﹣2p）2﹣4×4＜0，即p2＜4，解得﹣2＜p＜2．由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，所以椭圆短轴在x轴上，又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点，根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|，焦距2c=|z1﹣z2|==2，长轴长2a=2=2=4，故答案为：4．点评：本题考查复数的基本概念，椭圆的基本性质，是小型综合题，考查学生分析问题解决问题的能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共13分）定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．（Ⅰ）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的

“保三角形函数”，求的取值范围；（Ⅱ）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；（Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?(解题中可用以下数据:)参考答案：（Ⅰ）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列。因为，显然有，由得解得.所以当时，是数列的保三角形函数.

…3分（Ⅱ）由，得，两式相减得，所以

…5分经检验，此通项公式满足.显然,因为,所以是三角形数列.

……………8分（Ⅲ）,所以单调递减.由题意知，①且②,由①得，解得,由②得，解得.即数列最多有26项.

…………13分19.已知函数，其中a，b为正实数．（1）若，求不等式的解集；（2）若的最小值为，问是否存在正实数a，b，使得不等式能成立？若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．参考答案：（1）不等式等价于或或解得：，所以不等式的解集是（2）在正实数上式等号成立的等价条件为当且仅当，即，所以存在，使得不等式成立.20.设实数a，b满足2a+b=9．（1）若|9﹣b|+|a|＜3，求a的取值范围；（2）求|3a﹣b|+|a﹣2b|的最小值．参考答案：【考点】绝对值三角不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（1）由条件可得3|a|＜3，利用绝对值不等式的解法，求得a的范围．（2）要求的式子即|5a﹣9|+|5a﹣18|，再利用绝对值三角不等式求得它的最小值．【解答】解：实数a，b满足2a+b=9．（1）∵|9﹣b|+|a|=|2a|+|a|=3|a|＜3，∴|a|＜1，∴﹣1＜a＜1，故要求的a的取值范围为（﹣1，1）．（2）求|3a﹣b|+|a﹣2b|=|3a﹣（9﹣2a）|+|a﹣2（9﹣2a）|=|5a﹣9|+|5a﹣18|≥|（5a﹣9）﹣（5a﹣18）|=9，故|3a﹣b|+|a﹣2b|的最小值为9．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，属于基础题．21.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，，，，点O，M分别是BD，PC的中点.（1）求证：OM∥平面PAD；（2）求证：OM⊥平面PCD.参考答案：（1）详见解析（2）详见解析试题分析：（1）证明线面平行，关键证明线线平行，这可根据三角形中位线性质得到：在△中，因为，分别是，的中点，所以∥．再根据线面平行判定定理进行证明（2）证明线面垂直，需多次利用线线垂直与线面垂直相互转化：先根据面面垂直性质定理转化为线面垂直：由平面PBD⊥平面ABCD，得⊥平面．从而⊥．又因为⊥，所以可得⊥平面．从而⊥．又因为⊥，∥，所以⊥．从而可证⊥平面．试题解析：证明：（1）连结AC，因为ABCD是平行四边形，所以O为的中点．2分在△中，因为，分别是，的中点，所以∥．4分因为平面，平面，所以∥平面．6分（2）连结．因为是的中点，PB=PD，所以PO⊥BD．又因为平面PBD⊥平面ABCD，平面平面=，平面所以⊥平面．从而⊥．8分又因为⊥，,平面，平面，所以⊥平面．因为平面，所以⊥．10分因为⊥，∥，所以⊥．12分又因为平面，平面，,所以⊥平面．14分考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理22.已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是。（1）求双曲线的方程；（2）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线