湖北省孝感市实验中学2021-2022学年高二数学文下学期期末试题含解析

湖北省孝感市实验中学2021-2022学年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】充要条件；四种命题．【专题】计算题．【分析】根据所给的两个命题，解不等式解出两个命题的x的值，从x的值的范围大小上判断出两个命题之间的关系，从而看出两个非命题之间的关系．【解答】解：∵p：|x+1|＞2，∴x＞1或x＜﹣3∵q：5x﹣6＞x2，∴2＜x＜3，∴q?p，∴﹣p?﹣q∴﹣p是﹣q的充分不必要条件，故选A．【点评】本题考查两个条件之间的关系，是一个基础题，这种题目经常出现在高考卷中，注意利用变量的范围判断条件之间的关系．2.如图，由两条曲线y=﹣x2，4y=﹣x2及直线y=﹣1所围成的图形的面积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】求出曲线交点坐标，利用对称性和定积分的几何意义求解．【解答】解：解方程组得x=±1，解方程组，得x=±2，∴﹣2（﹣x2+）dx﹣2（﹣1+）dx=x2dx+2（1﹣）dx=+2?（x﹣）=+=．故选B．【点评】本题考查了定积分在求面积中的应用，属于中档题．3.函数的导数是（）A． B．C． D．参考答案：B【考点】导数的运算．【分析】利用导数的运算法则求出函数的导数即可．【解答】解：y′==，故选：B．4.若直线mx-ny=4与⊙O:x2+y2=4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆

的交点个数是（

）

A．至多为1

B．2

C．1

D．0参考答案：B5.已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（***）A.

B.

C.D.参考答案：A6.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（

）A.3

B.－2

C.1 D.参考答案：A略7.已知全集则图中阴影部分表示的集合是A. B.C. D.参考答案：C【分析】先由题，可得阴影部分表示的集合为，然后求得集合的补集，再求得最后答案.【详解】由题可知，阴影部分表示的集合为因为所以又因为所以=故选C【点睛】本题考查了集合的交并补，分析图像是解题的关键，属于基础题.8.设函数为奇函数，则

（

）A．0

B．1

C．

D．5参考答案：C9.等比数列{an}前n项和Sn中，S4=1，S8=3，则a17+a18+a19+a20=（）A．20 B．14 C．16 D．18参考答案：C【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{an}的公比是q，由题意和等比数列的前n项和列出方程组，由等比数列的通项公式化简后求出q的值，再表示所求的式子求出答案．【解答】解：设等比数列{an}的公比是q，∵S4=1，S8=3，∴，两式相除得q4=2，∴a17+a18+a19+a20=（a1+a2+a3+a4）q16=16，故选C．10.已知直线y=﹣2x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣4y=0上，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】将直线y=﹣2x+1与直线x﹣4y=0联立，求得中点坐标，由A，B在椭圆上，两式相减可知=﹣×=﹣，则=2，求得a2=2b2，椭圆的离心率e===．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知：，解得：，则线段AB的中点（，），则x1+x2=，y1+y2=，由A，B在椭圆上，+=1，+=1，两式相减，得+=0，=﹣×=﹣，∴=2，即a2=2b2，椭圆的离心率e===，故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交C于A，B两点，若，则|BF|=

．参考答案：3【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】将直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线的性质，即可求得+=1，由，代入即可求得|BF|的值．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F坐标（1，0），准线方程为x=﹣1．设过F点直线方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）代，化简后为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．则x1+x2=，x1x2=1，根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，∴+===1，将代入上式得：|BF|=3．故答案为：3．12.若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.参考答案：13.设等差数列的前n项和为成等差数列。类比以上结论有：设等比数列的前n项积为，则

参考答案：成等比数列14.如图，在45°的二面角α－l－β的棱上有两点A、B，点C、D分别在平面α、β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BD＝AB＝1，则CD的长度为____________．参考答案：略15.将9个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有

种.参考答案：18略16.已知双曲线：的离心率，且它的一个顶点到较近焦点的距离为，则双曲线的方程为

．参考答案：略17.椭圆C：左右焦，若椭圆C上恰有4个不同的点P，使得为等腰三角形，则C的离心率的取值范围是_______参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点． （Ⅰ）如果直线过抛物线的焦点，求的值； （Ⅱ）在此抛物线上求一点P，使得P到的距离最小，并求最小值．参考答案：（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）设消去x得则，=（Ⅱ），19.已知向量

(1)当向量与向量共线时，求的值；

(2)求函数的最大值,并求函数取得最大值时的的值.参考答案：(1)共线,∴,∴.(2),，函数的最大值为,得函数取得最大值时20.如图，已知直线l过点P（2，0），斜率为，直线l和抛物线y2=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）P、M两点间的距离|PM|；（2）线段AB的长|AB|．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）求出直线l的参数方程，代入抛物线方程y2=2x，利用参数的几何意义求出P、M两点间的距离|PM|；（2）利用参数的几何意义求出线段AB的长|AB|．【解答】解：（1）∵直线l过点P（2，0），斜率为，设直线的倾斜角为α，tanα=，sinα=，cosα=，∴直线l的参数方程为（t为参数）．∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x中，整理得8t2﹣15t﹣50=0，则△=（﹣15）2﹣4×8×（﹣50）＞0．设这个二次方程的两个根分别为t1、t2，由根与系数的关系，得t1+t2=，t1t2=﹣由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|=|t1+t2|=（2）|AB|=|t2﹣t1|==．21.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，0)，P(cosα，sinα)，其中0≤α≤．(1)若cosα＝，求证：⊥；(2)若∥，求sin(2α＋)的值．参考答案：(1)法一：由题设，知＝(－cosα，－sinα)，＝(－cosα，－sinα)，所以·＝(－cosα)(－cosα)＋(－sinα)2＝－cosα＋cos2α＋sin2α＝－cosα＋1.因为cosα＝，所以·＝0.故⊥.法二：因为cosα＝，0≤α≤，所以sinα＝，所以点P的坐标为(，)．所以＝(，－)，＝(－，－)．·＝×(－)＋(－)2＝0，故⊥.(2)由题设，知＝(－cosα，－sinα)，＝(－cosα，－sinα)．因为∥，所以－sinα·(－cosα)－sinαcosα＝0，即sinα＝0.因为0≤α≤，所以α＝0.从而sin(2α＋)＝．22.已知函数f（x）=ex﹣x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；（Ⅲ）如果函数g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2有两个不同的极值点x1，x2，证明：a＞．参考答案：【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）根据导数的几何意义，可以求出a的值，再根据切点坐标在曲线上和切线上，即可求出b的值，从而得到答案；（2）将函数f（x）在R上是增函数，转化为f'（x）＞0在R上恒成立，利用参变量分离转化成a＜ex﹣x在R上恒成立，利用导数求h（x）=ex﹣x的最小值，即可求得实数a的取值范围；（3）根据x1，x2是g（x）的两个极值点，可以得到x1，x2是g′（x）=0的两个根，根据关系，利用分析法，将证明不等式转化为，即求的最小值问题，利用导数即可证得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex﹣x2﹣ax，∴f′（x）=ex﹣x﹣a，∴根据导数的几何意义可得，切线的斜率k=f'（0）=1﹣a，∵切线方程为y=2x+b，则k=2，∴1﹣a=2，解得a=﹣1，∴f（x）=ex﹣x2+x，∴f（0）=1，即切点（0，1），∴1=2×0+b，解得b=1；（Ⅱ）由题意f'（x）＞0即ex﹣x﹣a≥0恒成立，∴a≤ex﹣x恒成立．设h（x）=ex﹣x，则h′（x）=ex﹣1．当x变化时，h′（x）、h（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）h′（x）﹣0+h（x）减函数极小值增函数∴h（x）min=h（0）=1，∴a≤1；（Ⅲ）∵g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2，∴g（x