第三章快捷准确的几何计算

第三章快捷准确的几何计算第一页，共三十九页，编辑于2023年，星期四3.1几何计算中常用的定理与公式为简便起见，我们先约定三角形中一些常用符号：在△ABC中，内角A、B、C对应的边分别记为a、b、c，半周长记为p，三条中线记为ma，mb

，mc，三条高线记为ha，hb，hc，三内角平分线记为ta，tb，tc，△ABC的外接圆半径记为R，内切圆半径记为r，面积记为S.第二页，共三十九页，编辑于2023年，星期四3.1.1几何计算中的常用定理定理1（托勒密（Ptolemy）定理）圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和.注本定理的证明过程给解决形如ab=cd+ef的问题提供了一个范例．用类似的证法，可得到：广义Ptolemy定理：对于一般的四边形ABCD，有AB·CD+AD·BC≥AC·BD．当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立．第三页，共三十九页，编辑于2023年，星期四例1(美国)证明：从圆周上一点到圆内接正方形的四个顶点的距离不可能都是有理数．思考：⑴求证：锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．

⑵若ABC为直角三角形或钝角三角形，上面的结论成立吗？第四页，共三十九页，编辑于2023年，星期四注：（1）Menelaus定理的逆命题为真，是Menelaus定理的逆定理；（2）本定理可以推广到平面凸四边形、四面体乃至n维欧氏空间中；（3）恰当选取或作出三角形的截线，是应用Menelaus定理的关键，其逆定理常用于证明三点共线问题.第五页，共三十九页，编辑于2023年，星期四例2设四边形ABCD两组对边相交于E、F，则AC、BD、EF的中点共线。注:此结论是一个定理，叫牛顿定理。第六页，共三十九页，编辑于2023年，星期四注：

（1）Ceva定理的逆命题为真，是Ceva定理的逆定理；（2）Ceva定理可以推广到四面体中；（3）同时应用Menelaus定理和Ceva定理，是解决比较复杂的相关问题的有效途径.第七页，共三十九页，编辑于2023年，星期四例3以△ABC的三边为边向形外作正方形ABDE、BCFG、ACHK，设L、M、N分别为DE、FG、HK的中点．求证：AM、BN、CL交于一点．第八页，共三十九页，编辑于2023年，星期四思考：在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交于点K．求证：AK⊥BC；第九页，共三十九页，编辑于2023年，星期四定理4（斯特瓦尔特（Stewart）定理）已知△ABC及BC边上一点P.

求证:AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=BP·PC·BC

.注:（1）定理的逆命题为真，是斯特瓦尔特定理的逆定理.（2）若将BC边上的三线段看作有向线段，则不论P在直线BC上何处，此定理仍然成立.（3）由本定理易得如下推论：（4）斯特瓦尔特定理可以推广到四面体中.第十页，共三十九页，编辑于2023年，星期四定理5（切割线定理）从圆外一点P引圆的切线,切线长PA是这点到割线与圆交点C、D的两条线段长的比例中项.即PA2＝PC•PD.推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等.

即PA•PB＝PC•PD

.PBACDPACD第十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期四定理6（射影定理）1.直角三角形射影定理（又叫欧几里德定理）直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.2.任意三角形中的射影定理（又称第一余弦定理）

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有（4）a＝bcosC＋ccosB；（5）b＝ccosA＋acosC；（6）c＝bcosA＋acosB.第十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期四定理7（张角定理）如图，设P为△ABC的BC边上的点，AB、AC、AP的长分别为a、b、t，则第十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期四例4(蝴蝶定理)AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=MQ．第十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期四定理8（Eulerline）三角形的外心、重心、垂心三点共线，且外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半．

第十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期四例5设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心．求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置．第十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期四定理9（三角形内心性质定理）如图，设I为△ABC的内心，A的平分线与△ABC的外接圆交于点P，则PB=PC=PI．第十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期四例6(Euler定理)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr．第十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期四3.1.2几何计算中的常用公式1.已知三边求中线定理10三角形中锐（钝）角对边的平方，等于其他两边的平方和减去（加上）这两边中一边与另一边在它上面的射影之积的两倍．（这两个定理合起来相当于余弦定理）由此，我们可以得到三角形中线的常用公式：第十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期四2.已知三边求高和面积实际上，这个计算三角形面积的公式是我国南宋数学家秦九韶三斜求积公式（已知三边求三角形的面积）的变形.推广：圆内接四边形ABCD中，第二十页，共三十九页，编辑于2023年，星期四3.已知三边求外接圆半径4．已知三边求内切圆半径第二十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期四5．已知三边求角平分线6．异面直线所成的角设AB、CD为异面直线，则它们所成的角θ满足第二十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期四9．拟柱体体积公式所有的顶点都在两个称为底的平行平面上的多面体，叫做拟柱体.两底间的距离叫做高，与两底平行且等距的截面称为中截面.设拟柱体两底面积为S和S1，中截面面积为M，高为h，则拟柱体的体积为:10.球类体积如果几何体是球体，则第二十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期四作业：P861，3，4，8，14第二十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期四3.2面积方法与面积计算3.2.1面积概念所谓平面多边形的面积，是指使每一多边形跟满足下列条件的一个量相对应：（1）两个全等的多边形有相同的面积，不论它们在空间所占的位置为何；（不变性）（2）两多边形P、P’之和P’’的面积，等于P、P’面积的和.（可加性）

第二十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期四3.2.2面积计算1.几个重要的结论（1）如图1，在△ABC中，有（2）如图2，在梯形ABCD中，有①S1=S2；②S1S2=S3S4.（3）如图3，四边形DEFB是平行四边形，则有①S1=S2；②S1S2=S3S4.图2图3图1第二十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期四2.常用方法（1）直接计算法根据几何图形的特点，选用有关面积公式直接进行计算.它是最基本的方法，这种方法又叫公式法．运用这种方法，一般要用几何知识进行一些推理和论证，有时还涉及到代数和三角的运算．第二十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期四例1一个凸五边形，以每相邻三个顶点为顶点的三角形的面积都等于1，求这个五边形的面积.第二十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期四（2）相对计算法不直接计算所求几何图形的面积，而是通过计算其它一些几何图形的面积，得到要求的面积．这种方法叫做相对计算法．例2（阿基米德问题——鞋匠的刀）过半圆ABC的直径AC上一点D引AC的垂线交半圆于B，再分别以AD、DC为直径作半圆AFD和DHC.求证

SAFDHCB等于以BD为直径的圆的面积.第二十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期四（3）等积变换法将欲计算面积的图形，变换为另外与之等积的图形，再计算面积，叫做等积变换法．从现行初中教材看，等积变换主要根据“同底等高的两个三角形等积”等定理．第三十页，共三十九页，编辑于2023年，星期四例3已知E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、CD上的点，EF∥BD，S△ADF=5,求S△ABE.第三十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期四（4）分割补法它包括分割法、割补法和补充法三种基本方法．（5）定积分法当平面图形边界曲线较复杂时，我们可以建立直角坐标系，求出边界曲线的方程，利用定积分来计算面积．一般地讲，计算平面图形的面积常把几种方法结合起来使用．举例如下：第三十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期四例4设P、Q、R、S分别是正方形ABCD各边的中点，AP、BQ、CR、DS围成一个四边形EFGH，试求四边形EFGH与正方形ABCD的面积之比．H’第三十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期四3.2.3面积方法所谓面积方法，就是在处理一些数学问题时，以面积的有关知识为论证或计算的依据，通过适当的变换，从而导出所求的量与其它相关的量之间的关系，使问题得以解决.这里值得一提的是，有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，但若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制胜，事半功倍．第三十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期四例1G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，已知GD=5，求FG.第三十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期四

例2△ABC面积为1，在其内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c的距离依次为x，y，z．求ax+by+cz的值．

第三十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期四例3如图，设P是△ABC内任一点，AD，BE，CF过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E

，F．求

.注本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题