第一章数值计算中的误差

第一章数值计算中的误差第一页，共十九页，编辑于2023年，星期四利用计算机等计算工具求数学问题的的数值解的全过程，称为数值计算。利用计算机解决数学问题的经历的几个过程实际问题数学模型程序设计上机计算求出结果研究计算方法一、什么是计算方法?第二页，共十九页，编辑于2023年，星期四二、计算方法的主要内容

计算机只能进行加减乘除四则运算和简单的函数运算(函数也是通过计算数学的方法转化成四则运算的小型软件包)。1、数值代数：求解线性方程组和非线性方程，分直接法和间接法。2、插值和数值逼近。3、数值微分和数值积分。4、常微分方程数值解法。第三页，共十九页，编辑于2023年，星期四三、计算方法所要考虑的问题1计算速度。2储存量。3数值稳定性。第四页，共十九页，编辑于2023年，星期四四、学习计算方法的目的1拓宽对21世纪科学的了解；2加深对数学思想的了解;3运用数学知识解决实际问题的能力。第五页，共十九页，编辑于2023年，星期四几点要求1保证课堂纪律2按时上课3按时完成作业4实验要认真第六页，共十九页，编辑于2023年，星期四§1.2误差的种类及来源1模型误差2观测误差3截断误差4舍入误差第七页，共十九页，编辑于2023年，星期四§1.3绝对误差和相对误差1绝对误差和绝对误差限

设某一个量的精确值为,其近似值为，则与的差

称为近似值的绝对误差。若称为近似值的绝对误差限。第八页，共十九页，编辑于2023年，星期四相对误差和相对误差限绝对误差与精确值之比称为近似值的相对误差。若，则称为近似值的相对误差限。由于精确值未知，一般用表示相对误差。第九页，共十九页，编辑于2023年，星期四§1.4有效数字和误差的关系1有效数字

设有一个数，其近似值的规格化形式：若的误差限为

则称为具有位有效数字。

第十页，共十九页，编辑于2023年，星期四有效数字与误差的关系当式(1.4.1)表示的近似值具有n位有效数字时，有相对误差限反之，也可由相对误差限来确定有效数字位数，若则至少具有n位有效数字。第十一页，共十九页，编辑于2023年，星期四§1.5误差的传播与估计1误差估计的一般公式1)对一元函数的计算:设是的近似值，

相对误差限

第十二页，共十九页，编辑于2023年，星期四2）对二元函数的计算:设分别为的近似值，相对误差限第十三页，共十九页，编辑于2023年，星期四3）对更一般的多元函数其中，为的近似值,第十四页，共十九页，编辑于2023年，星期四2误差在算术运算中的传播

1）加、减运算

及第十五页，共十九页，编辑于2023年，星期四当两数相减时有即当，即大小相近的两同号近似值相减时，注：由上式知，相对误差可能会很大，说明计算结果的有效数字将严重丢失，计算精度很低。因此在实际计算中，应尽量设法避开。第十六页，共十九页，编辑于2023年，星期四2乘法运算及注：当乘数的绝对值很大时，乘积的绝对误差可能会很大，因此也应设法避免。第十七页，共十九页，编辑于2023年，星期四3除法运算及注:当除数的绝对值很小、接近于零时，商的绝对误差可能会很大，甚至造成计算机的“溢出”错误，应设法避免。第十八页，共十九页，编辑于2023年，星期四§1.6算法的数值稳定性选择数值稳定的算法

在运算过程中，舍入误差能控制在某个范围内的算法，称之为数值稳定的算法，否则称之为