矩阵的标准型

矩阵的标准型第一页，共五十八页，编辑于2023年，星期一§2.1矩阵的Jordan标准型一.Cayley-Hamilton定理

第二章矩阵的Jordan标准型凯莱[英]A.Cayley(1821.8-1895.1)哈密尔顿[英]W.R.Hamilton(1805.8-1865.9)约当[法]M.E.C.Jordan(1838.1-1922.1)第二页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

矩阵的多项式表示定义：

已知和关于变量的多项式那么我们称为的矩阵多项式。化零多项式第三页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

定理2.1.c()=|E–Ann|则c(A)=O.注:c(A)=|AE–A|?|E–Ann|=a11a12…a1n

a21

a22…a2n…………an1an2…ann=n+an1n1+…+a1+a0

=ntr(A)n1+…+(1)n|A|.

第四页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

c()=n

+an1n1+…+a1+a0

c(A)=An

+an1An1+…+a1A+a0E

c(A)=OAn

+an1An1+…+a1A=a0E

=A(An1

+an1An2+…+a1E)当A可逆时,a0=(1)n|A|0,

于是A1=1a0

(An1

+an1An2+…+a1E)A*=|A|A1=…第五页，共五十八页，编辑于2023年，星期一则c(A)=An+an-1An-1+…+a0E=0。对于一般的n阶矩阵组成的集合，需要取出n2+1个才能保证是线性相关的。但是对于矩阵序列I,A,A2,A3…，按顺序取到第n+1个时，An一定可以被前面的矩阵线性表出。则An=-an-1An-1-…-a0E第六页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

例1.已知A=122103112,求A100.解:c()=|E–A|=(+1)2(1).分别将

=1,1代入上式得10099=(100)1=a+b+c,设100=c()g()+a2+b+c,1=ab+c.=[c()g()+a2+b+c]=c()g()+c()g()+2a+b

将

=1代入上式得100=2a+b.于是可得a=50,b=0,c=49.第七页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

=50A249E

故A100=c(A)g(A)+50A249E

=50即100=c()g()+50249,30821420549

0004900049=199

040010012001000201.例1.已知A=122103112,求A100.第八页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

A=011010112①c()=|E–A|=(1)3满足c(A)=O

②f()=(1)2=22+1满足f(A)=O.c()的次数为3f()的次数为2③

不存在更低次数的多项式g()使得g(A)=O.

A的化零多项式次数最低,首项系数为1

例2.第九页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

二.最小多项式

1.定义:A的次数最低的最高次项系数为1的化零多项式称为A的最小多项式.2.性质:(1)A的最小多项式|A的任一化零多项式.(2)A的最小多项式是唯一的,记为mA()或简记为m().(3)则m(0)=0c(0)=0.(4)A~B

mA()=mB().

但反之未必!第十页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

11000100001000021100010000200002例如:与的最小多项式都是(1)2(2),但是它们的特征多项式分别为因而这两个矩阵不相似.(1)3(2)和(1)2(2)2,第十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期一定理第十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期一第十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期一第十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期一第十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期一定理第十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期一第十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期一第十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期一例第十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期一第二十页，共五十八页，编辑于2023年，星期一第二十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期一第二十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

推论.设A,B分别为sn矩阵和nt矩阵,则r(AB)r(A)+r(B)

n.引理.设A1,A2,…,As都是n阶方阵,且A1A2

As=O,

…则r(Ai)(s1)n.i=1sr(A1A2

As)r(A1)+r(A2

As)n

………r(A1)+r(A2)+r(A3

As)2n

…r(A1)+r(A2)+…+r(As)(s1)n.三.最小多项式与对角化的关系

第二十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

定理3.A相似于对角矩阵mA()没有重根.②对角阵的最小多项式没有重根.因而r(iEA)(s1)n,i=1s证明:()①相似的矩阵的最小多项式相同;()设mA()=(1)(2)…(s),则(1EA)(2EA)…(sEA)=O,故[nr(iEA)]n.i=1s第二十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期一第二十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期一第二十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期一定理：阶矩阵可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。

有个线性无关的特征向量。综合第二十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

例3.若n阶方阵A满足A2

3A+2E=O,r(AE)=r,则行列式|A+3E|=____.解:A2

3A+2E=O

(AE)(A2E)=O

存在可逆矩阵P使得P1AP=|A+3E|=|P1||A+3E||P|

Enr

O

O2Er

秩(AE)=r

=|P1(A+3E)P|=|P1AP

+3E|=4Enr

O

O5Er

=4nr5r.

第二十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

例4.求解矩阵方程X2

5X+6E=O,n阶方阵X令r(A3E)=r,解:f(x)=x2

5x+6=(x3)(x2)为X的零化多项式存在可逆矩阵P使得P1XP=2ErO

O

3Enr由

X2

5X+6E=O

(A2E)(A3E)=O

f(x)=(x3)(x2)无重因式，故为最小多项式m(x)矩阵X的特征值为3和2，且X可以相似对角化2ErO

O

3EnrX=P

P1

第二十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

例5.设m阶方阵J0为证明:J0特征多项式为

c()=(-a)m

a

a

a

…11a

…mm

…O

Em-1O

O证明:J0必不可以对角化。J0-aE

==NNk

不等于O，

Nm=O

第三十页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

四.Jordan标准形

0

0

0

…110

…mm

…m阶Jordan块:例如:(0)0100

010001000

注:0100

0110011010010

=一阶Jordan块是一阶矩阵

第三十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

J1

J2

Js

…Jordan形矩阵:若当块例如:100020003010001000210020003110020003但不是Jordan形矩阵.第三十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期一Jordan标准型定理5：设A是n阶复矩阵，则必存在可逆矩阵S，使得其中l1,…,ls是A的互不相同的特征值，而且这个标准型在除去对角块顺序后是唯一的。且第三十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

若A与Jordan形矩阵J相似,则称J为A的Jordan当标准形.注:J1

O

O

J2

O

E

E

O

O

E

E

O

1J2

O

O

J1

=推论.两个复方阵相似它们具有相同的

Jordan标准形.推论.两个复方阵相似，特征值、秩？第三十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期一Jordan矩阵的结构与几个结论:Jordan块的个数k是线性无关特征向量的个数;矩阵可对角化,当且仅当s=n;(3)相应于一个已知特征值

的Jordan块的个数是该特征值的几何重数

,它是相应的特征子空间的维数,相应于一个的所有Jordan块的阶数之和是该特征值的代数重数

.特征值的几何重数<代数重数(4)矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关.J的对角元素给出了特征值的信息。第三十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期一第三十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期一推论：则下列命题等价：(3)A的Jordan标准形中的Jordan块都是一阶的。第三十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期一推论：阶矩阵可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。

有个线性无关的特征向量。综合：第三十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期一1,2,…,s

A11,…,1q

,1线性无关11,…,1q

,21,…,2q

,

…,

s1,…,sq

线性无关12

s

2

线性无关21,…,2q

,

…,

s

线性无关s1,…,sq

相似矩阵P的求法第三十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期一定理5：

l1,…,ls是n阶复矩阵A的互不相同的特征值，且(1)则必存在可逆矩阵S，使得则下面是等价的第四十页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

则V上必然存在一个线性变换T，使得亦即中必然存在一组基(个)，使得T在这组基下的矩阵为第四十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期一1,2,…,s

A11,…,1q

,1线性无关11,…,1q

,21,…,2q

,

…,

s1,…,sq

线性无关12

s

2

线性无关21,…,2q

,

…,

s

线性无关s1,…,sq

相似矩阵S的求法第四十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期一五.Jordan标准型与最小多项式的关系设A是n阶复矩阵，则必存在可逆矩阵S，使得其中l1,…,ls是A的互不相同的特征值，且则A的最小多项式为：第四十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期一第四十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期一六.Jordan标准型的确定Jordan标准型的两个关键要素：Jordan块的阶数与块数波尔曼定理:Jordan标准型唯一性原理第四十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期一例P82例2.3.6,2.3.7第四十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期一例已知矩阵A的特征多项式为求矩阵A的Jordan标准形第四十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期一七、方阵A的Jordan标准形的求法求可逆矩阵S和Jordan矩阵JA，使AS=SJA分析方法：在定理5的基础上逆向分析矩阵JA

和S的构成。求法与步骤：矩阵A和JA的特征值相等细分矩阵Pi和Ji，在Jordan块上，有Jordan块的确定按照波尔曼定理第四十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期一Jordan链{，y2，…，ynj}特征向量广义特征向量链条中的向量合起来构成可逆矩阵S，Jordan块构成JA可逆矩阵S不唯一，JA不考虑次序是唯一的第四十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期一例6p772.3.3第五十页，共五十八页，编辑于2023年，星期一第五十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期一第五十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期一第五十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期一例9证明：若A的所有特征值是l1,…,ln，则Am的所有特征值是l1m,…,lnm。第五十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期一第五十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

例10.设A=.1a

a0a1+a

b

001(1)求A的特征值和所有可能的Jordan标准形.解:|E

A|=(1)3.由此可得A的特征值为1=2=3=1.因此A的所有可能的Jordan标准形如下:100010001J1=,110010001J2=,110011001J3=.第五十六页，共五十