矿大高数.多元函数的基本概念

矿大高数.多元函数的基本概念1第一页，共三十五页，编辑于2023年，星期一（2）区域例如，即为开集．2第二页，共三十五页，编辑于2023年，星期一3第三页，共三十五页，编辑于2023年，星期一连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，4第四页，共三十五页，编辑于2023年，星期一有界闭区域；无界开区域．例如，5第五页，共三十五页，编辑于2023年，星期一（3）聚点1内点一定是聚点；说明：2边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．6第六页，共三十五页，编辑于2023年，星期一3点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．7第七页，共三十五页，编辑于2023年，星期一（4）n维空间1n维空间的记号为说明：2n维空间中两点间距离公式8第八页，共三十五页，编辑于2023年，星期一3n维空间中邻域、区域等概念特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设两点为9第九页，共三十五页，编辑于2023年，星期一（5）二元函数的定义10第十页，共三十五页，编辑于2023年，星期一类似地可定义三元及三元以上函数．11第十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期一12第十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期一例1求的定义域．解所求定义域为13第十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期一二元函数的图形通常是一张曲面.14第十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期一例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:15第十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期一16第十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期一二、多元函数的极限17第十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期一设函数的定义域为是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点P(x,y)，都有成立，则称A为函数当，时的极限，记为定义118第十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期一说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限19第十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期一例2求证证当时，原结论成立．20第二十页，共三十五页，编辑于2023年，星期一21第二十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期一例5求极限解其中22第二十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期一23第二十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期一24第二十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期一例7证明不存在．证取其值随k的不同而不同，故极限不存在．25第二十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期一26第二十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期一三、多元函数的连续性27第二十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期一定义328第二十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期一29第二十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期一30第三十页，共三十五页，编辑于2023年，星期一例9讨论函数在(0,0)处的连续性．解31第三十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期一例9讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．32第三十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期一闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理33第三十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期一

多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元