第三讲对坐标的曲面积分_第1页
第三讲对坐标的曲面积分_第2页
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文档简介

第三讲对坐标的曲面积分第一页，共二十页，编辑于2023年，星期四曲面的侧双侧曲面单侧曲面曲面在坐标面上的投影

S在xOy面上的投影(S)xy为第二页，共二十页，编辑于2023年，星期四对坐标的曲面积分的定义

设为光滑的有向曲面函数R(x

y

z)在上有界

把任意分成n块小曲面

S1

S2

Sn(Si也代表曲面面积)Si在xOy面上的投影为(Si)xy(i,i,i

)是Si上任意取定的一点若极限总存在则称此极限为函数R(x

y

z)在有向曲面上对坐标x、第三页，共二十页，编辑于2023年，星期四对坐标的曲面积分的定义

函数R(x

y

z)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分

函数P(x

y

z)在有向曲面上对坐标y、z的曲面积分

函数Q(x

y

z)在有向曲面上对坐标z、x的曲面积分

上述曲面积分也称为第二类曲面积分其中

P、Q、R叫做被积函数

叫做积分曲面

第四页，共二十页，编辑于2023年，星期四对坐标的曲面积分的简写形式

在应用上出现较多的是为简便起见这种合起来的形式简记为第五页，共二十页，编辑于2023年，星期四对坐标的曲面积分的性质

对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质

(1)如果把S分成S1和S2

则(2)设S是有向曲面S表示与S取相反侧的有向曲面

则第六页，共二十页，编辑于2023年，星期四第七页，共二十页，编辑于2023年，星期四讨论如何把其它两个对坐标的曲面积分化为二重积分？

设积分曲面由方程zz(x

y)给出的

在xOy面上的投影区域为Dxy

函数zz(x

y)在Dxy上具有一阶连续偏导数被积函数R(x

y

z)在上连续则有其中当取上侧时积分前取“”当取下侧时积分前取“”

应注意的问题:(3)曲面S取哪一侧.(2)向哪个坐标面投影;(1)曲面S用什么方程表示;(4)积分前取什么符号.二、计算第八页，共二十页，编辑于2023年，星期四第九页，共二十页，编辑于2023年，星期四注意:对坐标的曲面积分与所取的侧有关。第十页，共二十页，编辑于2023年，星期四方体的整个表面的外侧

{(x

y

z)|0xa0yb0zc}

把的上下面分别记为1和2

前后面分别记为3和4

左右面分别记为5和6

解除3、4外其余四片曲面在yOz面上的投影为零因此第十一页，共二十页，编辑于2023年，星期四方体的整个表面的外侧

{(x

y

z)|0xa0yb0zc}

把的上下面分别记为1和2前后面分别记为3和4左右面分别记为5和6

解除3、4外其余四片曲面在yOz面上的投影为零因此a2bc

类似地可得于是所求曲面积分为(abc)abc

第十二页，共二十页，编辑于2023年，星期四外侧在x0

y0的部分

把有向曲面分成上下两部分

解1和2在xOy面上的投影区域都是

Dxy

x2y21(x0

y0)

第十三页，共二十页，编辑于2023年，星期四例第十四页，共二十页，编辑于2023年，星期四练习解第十五页，共二十页，编辑于2023年，星期四第十六页，共二十页，编辑于2

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