第八章二次型

第八章二次型第一页，共五十六页，编辑于2023年，星期四8.1二次型和对称矩阵(4学时)一、教学目标：了解二次型和二次型矩阵的概念，二次型的矩阵表示,矩阵合同的概念和性质，会用合同变换化二次型为一个只含平方项的二次型二、重点：

掌握对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同的关系，会用合同变换和配方法配方化二次型为一个只含平方项的二次型的方法.三、难点：

二次型的秩与二次型的等价，合同的关系四、教学过程：第二页，共五十六页，编辑于2023年，星期四定义1设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式叫做F上一个n元二次型。F上n元多项式总可以看成F上n个变量的函数。二次型（1）定义了一个函数:(函数思想)

所以n元二次型也称为n个变量的二次型。在（1）中令因为所以(1)式可以写成以下的形式:第三页，共五十六页，编辑于2023年，星期四(2)令是（2）式右端的系数所构成的矩阵，称为二次型的矩阵。因为所以A是F上一个n阶对称矩阵，利用矩阵的乘法,（2）式可以写成（3）第四页，共五十六页，编辑于2023年，星期四二次型（3）的秩就是A的秩;如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换:（4）那么就得到一个关于和二次型(4)式称为变量和线性变换,令是(4)的系数构成的矩阵,则(4)式可以写成(5)第五页，共五十六页，编辑于2023年，星期四将(5)代入(3)就得到(6)矩阵P称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇异的，就称（4）是一个非奇异线性变换。A对称矩阵

也是对称矩阵。第六页，共五十六页，编辑于2023年，星期四定理8.1.1设是数域F上一个以A为矩阵的n元二次型,对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变后所得到的二次型的矩阵是推论8.1.2一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保持不变。第七页，共五十六页，编辑于2023年，星期四研究性问题1：为什么要取二次型的矩阵是对称矩阵（否则导致推论9.1.2不成立）例：二次型的矩阵是:若取作为该二次型的矩阵，那么经过变量的非奇异线性变换就得到二次型它的矩阵是秩为2，而的秩为1。第八页，共五十六页，编辑于2023年，星期四定义2设是数域F上两个n阶矩阵。如果存在F上一个非奇异矩阵p，使得A与B合同。矩阵的合同关系具有以下性质：（等价关系）:1．自反性：2．对称性：由3．传递性：由和矩阵可得第九页，共五十六页，编辑于2023年，星期四研究性问题2：合同的矩阵等价的二次型具有相同的秩。有相同的秩，反之如何？与一个对称矩阵合同的矩阵仍是对称的？教材中。矩阵的等价关系有那些？定义F上两个二次型叫做等价的，如果可以通过变量的非奇异线性变换将其中一个变成另一个。定理9.1.3数域F上两个二次型等价的必要且充分条件是它们的矩阵合同。第十页，共五十六页，编辑于2023年，星期四研究性问题3：二次型对称矩阵对角形矩阵有何关系？以平面上以圆点为中心的二次曲线的方程为例并由以下定理给出这个问题完满的回答。

第十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期四定理8.1.4设是数域F上一个n阶对称矩阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得

即F上每一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同。第十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期四证我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理。回忆以下3.2里所定义的三种初等矩阵。容易看出：现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n=1时定理显然成立。设并且假设对于n-1阶对称矩阵来说，定理成立。设是一个n阶对称矩阵。如果本身就是对角形式，设这时A我们分两种情形来考虑。（特殊到一般）第十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期四的左上角的元素那么交换A的第1列与第i列，再交换第1行与第i行，(a)设A的主对角线上元素不全零。例如如果就可以把换到左上角。这样做相当于用初等矩阵右乘A，再用左乘A。于是不等于零。因此，我们不妨设第j行，就可以把第1行第j列和第j行第1列位置的元素变成用乘A的第1列加到第j列，再用乘第1行加到零。这样做相当于用左乘A，用左乘A，这样，总可以选取初等矩阵使得第十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期四(1)(2)这里是一个n阶对称矩阵，由归纳法假设，存在n-1阶可逆矩阵使得第十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期四取

（请学生注意Q的取法）那么这里.第十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期四(b)如果由于所以一定有某一个元素。把A的第j列加到第i列，再把第j行加到第i行，这相当于用初等矩阵右乘A，再用左乘A。而经过这样的变换后所得的矩阵第i行第j列的元素是于是情形(b)就归结到情形(a)。注意1、在定理8.1.2的主对角形矩阵中，主对角线上的元素的不为零的的个数等于A的秩，如果秩A等于r>0，可知

而第十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期四2、给了数域F上一个n阶对称矩阵A，由定理8.1.2的证明过程可以看出，我们可以具体地求出一个可逆矩阵P，使得有对角形式，只要在对A施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对n阶单位矩阵I施行同样的列初等变换，那么当A化为对角形式时，I就化为P。例1设(演算过程省略)第十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期四

定理8.1.5数域F上每一个n元二次型可以通过变量的非奇线性变换化为例如，以例1中对称矩阵A为矩阵的二次型是第十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期四通过变量的非奇线性变换化为第二十页，共五十六页，编辑于2023年，星期四8.2复数域和实数域上的二次型一、教学目标：了解复数域和实数域上的二次型的概念，实数域上的二次型的秩、惯性指标、符号差等概念的关系和性质，复数域和实数域上的二次型等价的充要条件及其典范形式及其种类。二、重点：掌握复数域和实数域上的二次型等价的充要条件及其典范形式三、难点：实数域上的二次型等价的充要条件及其典范形式第二十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期四四、教学过程：我们只限于讨论复数域和实数域上的二次型，前者特别简单，而后者在应用上特别重要。定义：复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型。提出问题：两个复二次型和两个实二次型等价的充分必要条件是什么？复数域上两个对称矩阵和实数域上两个对称矩阵合同的充分且必要条件是什么？1、对于复二次型回答这个问题：定理9.2.1复数域上两个n阶矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩。两个复二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩。第二十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期四证显然只要证明第一个论断。条件的必要性明显。我们只证条件的充分性。设A,B是复数域上两个n阶对称矩阵，且A与B有相同的秩r，由定理8.1.2，分别存在复可逆矩阵P和Q，使得第二十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期四当r>0时，取n阶复矩阵第二十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期四这里分别表示复数的一个平方根，那么，而.因此，矩阵A,B都与矩阵合同，所以A和B合同。第二十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期四2、现在来看实数域上的情形。首先证明定理8.2.2实数域上每一n阶对称矩阵A都合同于如下形式的一个矩阵：（1）这里r等于A的秩。证有定理8.1.2，存在实可逆矩阵P使得

第二十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期四如果r>0,必要时交换两行和两列（这里相当于右乘以左乘以我们总可以假定

取那么与定理8.2.2平行，我们有：定理8.2.3实数域上每个n元二次型都与如下形式的一个二次型等价：第二十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期四（1）这里r是所给二次型的秩。二次型（1）叫做实二次型的典范形式，由定理8.2.3可得：1、实数每一个二次型都与一个典范形式等价。

2、在典范形式里,平方项的个数r等于二次型的秩,因而是唯一确定的。

3、进一步证明在典范形式(1)里,系数是1的项的个数p也是唯一确定的，因而系数是-1的项的个数r-p也是唯一确定的。这就是以下的定理8.2.4(惯性定律)

设实数域R上n元二次型等价于两个典范形式(2)

(3)

那么：第二十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期四证（反证法）设(2)和(3)分别通过变量的非奇异线性变换(4)(5)化为所给的二次型如果不妨设构造个方程的齐次线性方程组(6)íînïï=å=jjijxt10ïïì=nj1=åjijxs0本定理证明的关键第二十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期四因为所以因此,方程组(6)在R内有非零解.令是(6)的一个非零解.把这一组值代入和的表示式(4)和(5).记有然而所以第三十页，共五十六页，编辑于2023年，星期四因为和都是非负实数,所以必须又所以是齐次线性方程组的一个非零解.这与矩阵的非奇异性矛盾.这就证明了同理可证所以在(1)中,称正平方项的个数p叫做所给二次型的惯性指标.

正项的个数p与负项的个数r-p的差s=p-(r-p)=2p-r叫做所给的二次型的符号差。由定理8.2.3和8.2.4容易得到

第三十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期四定理8.2.5（重点2）实数域上两个n元二次型等价的充分且必要的条件是它们有相同的秩和符号差.证设和是实数域上两个n元二次型.令和分别是它们的矩阵.那么由定理9.2.2,存在实可逆矩阵P,使得如果与等价,那么与合同.于是存在实可逆矩阵Q使得.取.那么第三十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期四因此与都与同一个典范形式等价,所以它们有相同的秩和符号差.反过来,如果,有相同的秩r和符号差,那么它们也有相同的惯性指标.因此,都与矩阵合同.由此推出与合同,从而与等价.第三十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期四推论8.2.6

证给定.令由定理9.2.4,R上每一n元二次型恰与一个以为矩阵的典范形式等价.当r取定后,p可以取;而又可以取中任何一个数.因此这样的

共有个实数域R上一切n元二次型可以分成类,。（二次型的等价类）第三十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期四对于每一个,就有一个典范形式与它相当.把与同一个典范形式等价的二次型放在一类,于是R上一切n元二次型恰可分成类,属于同一类的二次型彼此等价,属于不同类的二次型互不等价.第三十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期四习题第三十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期四8.3正定二次型(等价类中最重要的一类)一、教学目标：了解正定二次型和正定矩阵的概念，二次型的主子式的概念,掌握二次型和正定矩阵正定的充分必要条件二、重点：，正定二次型和正定矩阵的判定三、难点：正定二次型和正定矩阵的判定四、教学过程：(利用函数概念研究正定二次型)第三十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期四

定义:可以看成定义在实数域上n个变量的实函数。如果对于变量的每一组不全为零的值，函数值都是正数，那么就称是一个正定二次型。定理8.3.1实数域上二次型是正定的充分且必要条件是它的秩和符号差都等于n。第三十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期四证设A是二次型的矩阵。如果A的秩和符号差都等于n，那么存在实可逆矩阵P，使得令(1)

,那么第三十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期四第四十页，共五十六页，编辑于2023年，星期四由（1）可以看出不全为零时，也不全为零。因此，对于任意不全为零的实数，都有反过来，如果，不论哪一种情形都有。因此存在实可逆矩阵P,使得第四十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期四取一组实数，使得不全为零，并且令那么也不全为零。然而下面再给出一个直接从所给的二次型的矩阵来判断这个二次型是不是正定的判断法。首先引入一个概念。第四十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期四定义：设是一个阶实对称矩阵。位于A的前k行和前k列的子式叫做A的k阶主子式。令，就得到A的一切主子式。以A为矩阵的二次型的k阶主子式指的是A的k阶主子式第四十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期四定理8.3.2

(主子式判别法)实二次型是正定的,必要且只要它的一切主子式都大于零。证如果二次型的某一k阶主子式不大于零，，令

是一个k阶实对称矩阵，所以存在k阶实可逆矩阵Q，使得第四十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期四由于，所以，因此s<k，于是对于n不全为零的个实数来说，我们有所以二次型不是正定的第四十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期四反过来,设n个变量二次型的所有主子式都大于零,当n=1时,论断是正确的,因为当时,对于任意实数都有,设n>1,并且假定对于n-1个变量的实二次型来说,论断成立设是一个n个变量的二次型,它的矩阵是,并且假设A的一切主子式都大于零,对A作如下的分块：第四十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期四这里一切主子式都大于零，由归纳假设和定理9.3.1，存在n-1阶可逆矩阵使得是n-1阶单位矩阵，取

则这里，再取第四十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期四则

这里，然而所以为矩阵的二次型是正定的，因而与它等价的二次型是正定的。第四十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期四

习题

第四十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期四8.4主轴问题(几何背景：将有心二次曲线或二次曲面的方程化为标准形式的自然推广)一、教学目标：了解正定二次型和正定矩阵的概念，二次型的主子式的概念,掌握二次型和正定矩阵正定的充分必要条件二、重点：，正定二次型和正定矩阵的判定三、难点：正定二次型和正定矩阵的判定四、教学过程：(利用函数思想研究正定二次型)第五十页，共五十六页，编辑于2023年，星期四我们已经看到，实数域上一个二次型可以经过变量的非奇异线性变换

化为二次型