第二章力学中的守恒定律

第二章力学中的守恒定律第一页，共七十四页，编辑于2023年，星期五第一节功和能机械能守恒定律在牛顿以前很久，已经有一些有胆识的思想家认为，从简单的物理假说出发，通过纯逻辑的演绎，应当有可能对感官所能知觉的现象作出令人信服的解释。但是，是牛顿才第一个成功地找到一个用公式清楚表述的基础，从这个基础出发，他能用数学的思维，逻辑地、定量地演绎出范围很广的现象，并且能同经验相符合。

－－－爱因斯坦（1879－1955）第二页，共七十四页，编辑于2023年，星期五动能动能定理功能原理机械能守恒定律能量守恒定律动能变化率功势能保守力结构框图重点:概念：动能，功，保守力，势能，规律：动能定理，功能原理，机械能守恒定律难点：变力的功，一对力的功，势能曲线，复杂问题的分阶段求解，三个守恒定律的综合应用第三页，共七十四页，编辑于2023年，星期五一.功力对空间累积中学：恒力作功扩展：1.功的概念；2.变力的功；3.保守力的功1.功的概念1）功是标量（代数量）A总=A1+A2+…….A>0力对物体做功A<0物体反抗阻力做功A=0力作用点无位移力与位移相互垂直第四页，共七十四页，编辑于2023年，星期五2）功是过程量3）一对作用力与反作用力做功的代数和不一定为零力作用点的位移不一定相同与作用点的位移相关一个力所做的功与参考系的选择相关，是相对量。例如图中地面系：AG≠0；电梯系：AG=0hvmg第五页，共七十四页，编辑于2023年，星期五2.变力的功微元分析法：取微元过程以直代曲以恒代变再求和abo第六页，共七十四页，编辑于2023年，星期五abo元功：直角坐标系：总功：第七页，共七十四页，编辑于2023年，星期五如图M=2kg,k=200N.m-1,S=0.2m,g≈10m.s-2

不计轮、绳质量和摩擦,弹簧最初为自然长度，缓慢下拉,则AF=?解:用F将绳端下拉0.2m,物体M将上升多高?弹簧伸长0.1m物体上升0.1m得练习：MFkS第八页，共七十四页，编辑于2023年，星期五缓慢下拉:每时刻物体处于平衡态F=kx(0<x≤0.1m)前0.1m为变力kx0=Mg(0.1<x≤0.2m)

后0.1m为恒力MFkS第九页，共七十四页，编辑于2023年，星期五3.计算重力、弹力、引力的功hh2h1oxkmoooxx1x2x第十页，共七十四页，编辑于2023年，星期五共同特点：1）做功与路径无关，只与起、末点位置有关。2）做功等于与相互作用物体的相对位置有关的某函数在始末位置的值之差。oMm第十一页，共七十四页，编辑于2023年，星期五二、保守力势能1.保守力对沿闭合路径运动一周的物体做功为零否则为非保守力（耗散力）做功与路径无关，只与起点、终点位置有关（路径L1）（路径L2）ambL1L2第十二页，共七十四页，编辑于2023年，星期五2.势能凡保守力的功均可表示为与相互作用物体相对位置有关的某函数在始末位置的值之差，我们将该函数定义为此物体系的势能。xEp0保守力重力弹力引力势能（Ep）势能零点势能曲线mghh=0x=0r=∞hEp0rEp0第十三页，共七十四页，编辑于2023年，星期五3.保守力与相关势能的关系：1）凡保守力都有其相关势能,势能属于物体系,保守力为该势能系统的内力。2）保守力的功等于其相关势能增量的负值。物体在场中某点的势能等于将物体从该点移到零势点过程中保守力做的功。第十四页，共七十四页，编辑于2023年，星期五练习2：一质量为m的人造地球卫星沿一圆形轨道运动，（v＜＜c）离开地面的高度等于地球半径的二倍（即2R）。试以m、R、引力恒量G、地球质量M表示出：（1）卫星的动能；（2）卫星在地球引力场中的引力势能；（3）卫星的总机械能。Or2RRMm第十五页，共七十四页，编辑于2023年，星期五解：非相对论问题①②③约束于引力场中，未摆脱地球影响Or2RRMm第十六页，共七十四页，编辑于2023年，星期五练习：均匀链m,长l

置于光滑桌面上,下垂部分长0.2l,施力将其缓慢拉回桌面.用两种方法求出此过程中外力所做的功.1.用变力做功计算2.用保守力做功与势能变化的关系计算0.8l0.2lx第十七页，共七十四页，编辑于2023年，星期五解一:用变力做功计算光滑平面,缓慢拉回,则拉力与链下垂部分重力大小相等。设下垂部分长为x,质量为，以向下为正：0.8l0.2lx第十八页，共七十四页，编辑于2023年，星期五解二:用保守力做功与势能变化的关系计算令桌面初态:末态:重力做功:外力功:0.8l0.2lx质心c第十九页，共七十四页，编辑于2023年，星期五2.动能定理质点系所有外力、内力做功的代数和等于质点系总动能的增量：三、动能定理1.动能（非相对论）质点：质点系：第二十页，共七十四页，编辑于2023年，星期五3.功能原理质点系外力和非保守内力做功代数和等于质点系总机械能的增量第二十一页，共七十四页，编辑于2023年，星期五四、机械能守恒1.当各微元过程都满足时，，系统机械能守恒.2.当过程满足时，系统初、末态机械能相等.注意：动量、角动量、能量守恒定律彼此独立E=c第二十二页，共七十四页，编辑于2023年，星期五第二节动量动量守恒定律（英）I.Newton1642-1727《自然哲学的数学原理》1687年出版《自然哲学的数学原理》使人类第一次对“世界系统”（即太阳系）有了定量的了解……更重要的是这个了解基于一种纯理论的思考体系，用准确的数学语言，既简单又净洁，既精确又包罗万象。可以说，在公元1687年诞生了的是一种革命性的新世界观：宇宙具有极精确的基本规律，而人类可以了解这些规律。---杨振宁--第二十三页，共七十四页，编辑于2023年，星期五恒力，质点，惯性系变力，质点系，非惯性系以动量及其守恒定律为主线，从动量时间变化率引入牛顿运动定律，并在中学基础上扩展其应用范围。质量速度动量的时间变化率动量定理动量守恒定律牛顿运动定律动量结构框图第二十四页，共七十四页，编辑于2023年，星期五难点：变力作用的动力学问题；重点概念：质点、质点系的动量；力的冲量；规律：牛顿运动定律；动量定理的微分形式和积分形式；动量守恒定律第二十五页，共七十四页，编辑于2023年，星期五§2.1动量动量的时间变化率一.质点问题1.质点的动量表征质点机械运动的强度2.质点动量的时间变化率质点动量的时间变化率等于质点所受的合力牛顿第二定律的一般形式特例第二十六页，共七十四页，编辑于2023年，星期五3.质点的动量定理由得：质点所受的合外力的冲量等于物体动量的增量，此即为动量定理几点说明：2）合外力的冲量方向与受力质点的动量的增量方向一致3）此定理仅适用于惯性系1）动量定理表征任意时间间隔内质点动量的变化量与该时间间隔内外力冲量之间的关系第二十七页，共七十四页，编辑于2023年，星期五二.质点系问题1.质点系的动量质量分别为:位矢分别为:动量分别为:质点系总质量：质点系总动量：xyzO第二十八页，共七十四页，编辑于2023年，星期五寻找特殊点

C

—质心其位矢为

=?xyzO采用类比法简化质点质点系质心位矢：质点系总动量：2.质心第二十九页，共七十四页，编辑于2023年，星期五xyzO质心位矢：权重即：质心位矢是各质点位矢的加权平均。直角坐标系中，质心的位置：第三十页，共七十四页，编辑于2023年，星期五质量连续分布的质点系体分布面分布线分布dm：宏观小，微观大第三十一页，共七十四页，编辑于2023年，星期五例

求半径为R的半球形球壳的质心半球壳的质量为解：将球壳细分成无数多细环如图，设球壳质量面密度为。则其中任一细环的质量为（质量均匀分布可不必积分）求质心的位置第三十二页，共七十四页，编辑于2023年，星期五根据对称性，细环的质心位于轴，积分可得半球壳质心的位置第三十三页，共七十四页，编辑于2023年，星期五例.

负质量问题如图所示，半径为R的大球内有一个半径为R/2的球形空腔，空腔的下部放置了一个半径为R/4的小球。已知大球和小球的质量密度相同，求该系统的质心。

解：该系统可看成由质量分布均匀的大、中、小三个球体组成，它们可视为质量各自集中在质心（球心）处的三个质点，中球的质量为负。第三十四页，共七十四页，编辑于2023年，星期五大球中球小球设小球质量为则它们的质量和坐标分别为：系统的总质量为第三十五页，共七十四页，编辑于2023年，星期五质心的坐标为第三十六页，共七十四页，编辑于2023年，星期五质心的速度与加速度：质心速度是各质点速度的加权平均质心加速度是各质点加速度的加权平均同理：第三十七页，共七十四页，编辑于2023年，星期五3.质点系动量的时间变化率质心运动定理内力——质点系内质点间的相互作用力外力——质点系外的物体对系内任一质点的作用力质点系内质点间的内力总是成对出现，因此必有注意：同一力对某一系统为外力，而对另一系统则可能为内力。第三十八页，共七十四页，编辑于2023年，星期五

N个质量分别为动量分别为的质点组成一个质点系，各质点所受的合力分别为将以上各式相加，并考虑到得：第三十九页，共七十四页，编辑于2023年，星期五即结论：质点系所受外力的矢量和等于质点系的总动量的时间变化率。质心的运动等效于－质点位于质量受力将代入上式得质心运动定理第四十页，共七十四页，编辑于2023年，星期五基本方法：用质心作为物体（质点系）的代表，描述质点系整体的平动。刚体或柔体4.质点系的动量定理设质点系由个质点组成，其中第个质点受到系统外物体作用的合力为，受到系统内其它质点作用的合力为。将质点的动量定理分别应用于每一个质点，并左右两边分别相加得：质点系动量定理第四十一页，共七十四页，编辑于2023年，星期五质点：质点系：小结：第四十二页，共七十四页，编辑于2023年，星期五1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统内任一物体的动量是可变的,各物体的动量必相对于同一惯性参考系.§2.2动量守恒定理由若质点系所受的合外力为零或：此即为动量守恒定理第四十三页，共七十四页，编辑于2023年，星期五5）

动量守恒定律只在惯性参考系中成立,是自然界最普遍，最基本的定律之一3）若某一方向合外力为零,则此方向动量守恒

2）守恒条件合外力为零4）

应用动量守恒定律可作合理的近似。在极短促的时间内外力远远小于内力时，则可忽略外力，而用动量守恒定律近似求解。第四十四页，共七十四页，编辑于2023年，星期五例1设有一静止的原子核,衰变辐射出一个电子和一个中微子后成为一个新的原子核.已知电子和中微子的运动方向互相垂直,且电子动量为1.210-22kg·m·s-1,中微子的动量为6.410-23kg·m·s-1

.问新的原子核的动量的值和方向如何?即解恒矢量第四十五页，共七十四页，编辑于2023年，星期五代入数据计算得又因为系统动量守恒,即第四十六页，共七十四页，编辑于2023年，星期五例2一枚返回式火箭以2.5103m·s-1的速率相对地面沿水平方向飞行.设空气阻力不计.现由控制系统使火箭分离为两部分,前方部分是质量为100kg的仪器舱,后方部分是质量为200kg的火箭容器.若仪器舱相对火箭容器的水平速率为1.0103m·s-1.求仪器舱和火箭容器相对地面的速度.第四十七页，共七十四页，编辑于2023年，星期五已知求

,解则第四十八页，共七十四页，编辑于2023年，星期五1.碰撞的两个特点:1）在碰撞的短暂时间内相互作用很强,可不考虑外界的影响.2）碰撞前后状态变化突然且明显,适合用守恒定律研究运动状态的变化.2.对心碰撞（正碰撞）：指两球碰撞的速度在两球的中心连线上，碰后的速度仍在这一连线上。以两球系统为例，用分别表示两球的质量，碰前的速度为；碰后的速度是§2.3碰撞第四十九页，共七十四页，编辑于2023年，星期五由动量守恒定律：令x轴与速度矢量平行，则：恢复系数碰后两球的分离速度与碰前两球的接近速度成正比，比值由两球材料的性质决定。可得碰撞前后速度变换公式：第五十页，共七十四页，编辑于2023年，星期五3.完全弹性碰撞指碰撞前后系统机械能完全没有损失的碰撞，也就是的碰撞。从e＝1：相乘得：动量守恒：碰撞后的速度：第五十一页，共七十四页，编辑于2023年，星期五讨论：●即两球经过碰撞而交换速度，其中最奇妙的是最初处于静止的情况，即去碰撞静止的，结果会突然停止，接过的速度前进。原子反应堆中的中子减速剂就是利用这个原理。这时可得：●这时可得：气体分子与器壁的碰撞属于此类。第五十二页，共七十四页，编辑于2023年，星期五讨论：这相当于用质量很大的球去碰静止的轻球这样的例子很多，请举之！●这时可得：4.完全非弹性碰撞指两球碰撞后并不分开，以同一速度运动，此过程中：小皮球在地面上弹第五十三页，共七十四页，编辑于2023年，星期五当的特殊情况下，碰撞前后机械能的损失是：令若，则机械能完全损失；反之，若，则机械能几乎不损失。打铁时要考虑前者，打桩时则要考虑后者的应用。第五十四页，共七十四页，编辑于2023年，星期五5.非弹性碰撞指小球碰撞后彼此分开，机械能又有一定损失的碰撞。碰撞中机械能的损失是：[例]如图所示的装置称为冲击摆,可用它来测定子弹的速度。质量为M的木块被悬挂在长度为l的细绳下端,一质量为m的子弹沿水平方向以速度v射中木块,并停留在其中。木块受到冲击而向斜上方摆动,当到达最高位置时,木块的水平位移为s。试确定子弹的速度。

m第五十五页，共七十四页，编辑于2023年，星期五m解以上三方程的联立方程组得解：根据动量守恒定律得根据机械能守恒定律得由图知第五十六页，共七十四页，编辑于2023年，星期五一、角动量由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。问题：将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系统总动量为多少？CM*引入与动量对应的角量——角动量（动量矩）动量对参考点（或轴）求矩§2.3角动量守恒定律第五十七页，共七十四页，编辑于2023年，星期五1.质点的角动量定义：大小：方向：yzmo第五十八页，共七十四页，编辑于2023年，星期五*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。*必须指明参考点，角动量才有实际意义。物理意义：¹Lo为参考点：以0r第五十九页，共七十四页，编辑于2023年，星期五2.质点系角动量系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和o有'：对质心无'：对参考点o与i无关第六十页，共七十四页，编辑于2023年，星期五第一项：即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上，该质点对参考点的角动量以质心为代表，描述质点系整体绕参考点的旋转运动，称为质点系的轨道角动量。第六十一页，共七十四页，编辑于2023年，星期五由质心对自己的位矢第二项：与i无关第六十二页，共七十四页，编辑于2023年，星期五反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，描述系统的内禀性质：第三项：各质点相对于质心角动量的矢量和于是：与i有关第六十三页，共七十四页，编辑于2023年，星期五一、质点角动量的时间变化率质点位矢合力二、角动量定理第六十四页，共七十四页，编辑于2023年，星期五质点角动量的时间变化率等于质点所受合力的力矩，即：质点角动量定理大小：方向：服从右手定则力矩二、力矩1.对参考点的力矩：第六十五页，共七十四页，编辑于2023年，星期五一小球沿竖直的光滑圆轨道由静止开始下滑.求小球在B点时对环心的角动量和角速度.解:力矩分析用角动量定理：又BAROmg第六十六页，共七十四页，编辑于2023年，星期五三、质点系角动量的时间变化率对个质点组成的质点系，由两边求和得质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量和(合外力矩)