2021年全国数学建模竞赛D题的答案

对学生宿舍设计方案评价

高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目对学生宿舍设计方案评价

（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）

D题

学生宿舍事关学生在校期间生活品质，直接或间接地影响到学生生活、学习和健康

成长。学生宿舍使用面积、布局和设施配备等设计既要让学生生活舒服，也要以便管理，

同步要考虑成本和收费平衡，这些还与所在都市地区、区位、文化习俗和经济发展水平

关于。因而，学生宿舍设计必要考虑经济性、舒服性和安全性等问题。

经济性：建设成本、运营成本和收费原则等。

舒服性：人均面积、使用以便、互不干扰、采光和通风等。

安全性：人员疏散和防盗等。

附件是四种比较典型学生宿舍设计方案。请你们用数学建模办法就它们经济性、舒

服性和安全性作出综合量化评价和比较。

对学生宿舍设计方案评价

摘要

本文重要从经济性、舒服性、安全性三个方面对四种学生宿舍设计方

案做出综合量化和比较。在评价过程中，重要运用了模糊决策和层次分析

法，并运用MATLAB软件进行求解。

由于本问题许多条件比较模糊，具备隐藏性，咱们先对附件中数据进

行预解决，从中提取与评价有关因素，然后运用层次分析法拟定各准则对

目的权重，从而建立学生宿舍设计方案评价模型。详细成果为：

（1）经济性方面：得出四种学生宿舍设计方案在此方面组合权向量为：

(0.0440,0.5627,0.2265,0.1668)，依照指标越小，优先选取限度越大准则得出：方

案1是经济性最优，另一方面为方案4、方案3，最后为方案2。

（2）舒服性方面：得到组合权向量为：(0.1124,0.5301,0.1576,0.1999)，依

照指标越大，优先选取限度越大准则得出：方案2是舒服度最高，另一方

面为方案4、方案3，最后为方案1。

（3）安全性方面：得到组合权向量为：(0.0935,0.4158,0.2684,0.2223)，运

用和（2）同样准则，得出了方案2是安全性最强，另一方面为方案3、方

层次分析法权重MATLAB

案层次分析法权重MATLAB

（4）综合分析方面：得到组合权向量为：(0.0678,0.5398,0.2111,0.1813)，

由此得出方案2是综合指标最高，另一方面为方案3、方案4、最后为方案

1。

最后，对以上建立模型进行合理化评价和进一步探讨，分析了模型优

缺陷，并提出了进一步改进方向。

核心词：评价模型

1.问题重述

现如今学生宿舍使用面积、布局和设施配备等设计既要让学生生活舒服，也要以便

管理，同步要考虑成本和收费平衡，这些还与所在都市地区、区位、文化习俗和经济发

展水平关于。因而，学生宿舍设计必要考虑经济性、舒服性和安全性等问题。请用数学建模办法，从经济性、舒服性、安全性方面对附件中给出四种学生宿舍设

计方案作出综合量化和比较。

2.问题分析

本问题要解决问题是对四种典型学生宿舍设计方案进行评价与比较。

题目中数据比较模糊，具备隐藏性，并且是用图表方式展示给咱们，因而解决这一

问题核心点有两个：（1）如何把附件中四个平面设计图中所隐藏数据量化；（2）在建立

评价比较模型时如何拟定各个因素之间权重与影响。

因而咱们采用模糊决策和层次分析法相结合办法构架评价模型，来评判各个宿舍设

计方案优劣。

3.模型假设

1)咱们以附件中四个图片作为研究对象；

2)Design1、Design2、Design3和Design4分别相应层次构造中方案层P；

3)假设收集到数据与理论依照是精确合理；

4)不考虑宿舍未住满、设施损毁等情形；

5)单位面积内建设成本咱们假设为定值。

含义表达不同层次构造下目的层不同层次构造下准则层不同层次构造下决策层准则层下经济性因素准则层下舒服性因素准则层下安全性因素含义表达不同层次构造下目的层不同层次构造下准则层不同层次构造下决策层准则层下经济性因素准则层下舒服性因素准则层下安全性因素子准则层下建设成本因素子准则层下运营成本因素子准则层下收费原则因素子准则层下人均面积因素子准则层下使用以便因素子准则层下互不干扰因素子准则层下采光通风因素子准则层下人员疏散因素子准则层下防盗因素一致性指标随机一致性指标一致性比率1经济状况下四种方案之间权向量舒服状况下四种方案之间权向量安全状况下四种方案之间权向量经济性、舒服性、安全性分别对综合评价权向量四种设计方案之间权向量建设成本、运营成本、收费原则分别对经济权向量

符号A、A1、A2、A3B、B1、B2、B3P、P1、P2、P3B1B2B3C1C2C3C4C5C6C7C8C9CIRICR正互反矩阵特性值

WW1W2W3W0W表1

5.模型建立与求解

5.1经济性方面

在这个层面上，把经济性设为目的层，把建设成本、运营成本、收费原则设为准则

层，四种方案设为决策层，层次构造图如图2所示。

A1

运

营

成

方案1方案2方案3A1

运

营

成

方案1方案2方案3=241n1CIRI经济性B1收费原方案4(A)n0.004580.580.00790.1

目的层

准则层B1建

设

成

决策层P1

图2

得到其相相应成对比较矩阵如下面所示：

第二层对第一层成对比较矩阵为：

11/21/6111/46

求得其最大特性根为max3.0092，经一致性检查：

CI0.00458

查找相应平均随机一致性指标（见上表3）RI，计算一致性比率为：

CR

CR阐明矩阵B1不一致限度是可以接受，矩阵B1权向量为：

W1(0.1061,0.1929,0.7010)T第三层对第二层成对比较矩阵为：

1/91/71/5

123=9

5C10.03980.19290.70100.12673.00920.00799911/91/71/5

123=9

5C10.03980.19290.70100.12673.00920.00799913451/411C20.03990.50280.34290.18584.21380.07921213

1/311C30.04580.56600.2674

4.17070.0632770.57080.1976

4.06200.02291/2151/313551/51/511/51/31C

11/91/71/5

C

11/91/51/5

C

通过MATLAB编程计算可得两两判断矩阵在单一准则下权向量W1、最大特性根与

一致性指标CR，详细求解成果见下表4：

B10.1061

W10.1145CR表4

上述一致性比率CR均不大于0.1，可以判断矩阵具备满意一致性。

于是得出，单在经济性方面上四种设计方案组合权向量为：

W1(0.0440,0.5627,0.2265,0.1668)T作出综合评价结论为：方案1在经济性上权重占0.0440，方案2占0.5627，方案3

占0.2265，方案4占0.1668。

因而方案1是经济性最优，另一方面为方案4、方案3，最后是方案2。

5.2舒服性方面

同上面办法，建立了舒服性方面如图3所示层次构造图。

舒服性B2

人使互光通方案1方案2方案322/945

56采方案41/2舒服性B2

人使互光通方案1方案2方案322/945

56采方案41/27

1/42113/531314151/21/3331/511/25/3151/61/31151/411/35/21/31/511/52/511/411

目的层A2

准则层B2

均用不

面以干

决策层P2

图3

从而得到其相相应成对比较矩阵如下所示：

第二层对第一层成对比较矩阵为：

1235

B

第三层对第二层成对比较矩阵为：

11/71/5

C

9/211/71/31/5

C

1426

C

1/91/737C40.05150.31490.11660.25074.06580.0244安全性B3C50.05490.54300.15480.21684.18920.0701157C60.50810.60231/91/737C40.05150.31490.11660.25074.06580.0244安全性B3C50.05490.54300.15480.21684.18920.0701157C60.50810.60230.12600.06284.12130.0456C70.12130.15700.27210.05784.04880.018171/71/30.68500.1359

4.17660.06541/5131

C

1/3通过MATLAB编程计算可得两两判断矩阵在单一准则下权向量W2、最大特性根与

一致性指标CR，详细成果见下表：

B20.4739

W20.0946CR表5

上述一致性比率CR均不大于0.1，可以判断矩阵具备满意一致性。

于是得出，单在舒服性方面上四种设计方案组合权向量为：

W2(0.1124,0.5301,0.1576,0.1999)T作出综合评价结论为：方案1在舒服性上权重占0.1124，方案2占0.5301，方案3

占0.1576，方案4占0.1999。

因而方案2是舒服度最高，另一方面为方案4、方案3，最后是方案1。

5.3安全性方面

此方面仅考虑了人员疏散与防盗，而不考虑其她特殊状况。

用同5.1中办法建立了安全性方面层次构造图，如图4所示。

在这里咱们评价准则为：指标越大，优先选取限度越大，也就是说，安全性就越高。

目的层A3

准则层B3

389C80.10220.16670.27200.0563251/5415C90.05010.37030.25054.0688389C80.10220.16670.27200.0563251/5415C90.05010.37030.25054.06883/25/470.6431

4.262721/51611/71/612/313/24/52/31

第二层对第一层成对比较矩阵为：

B

第三层对第二层成对比较矩阵为：

11/41/21/3

C

311/91/71

C9

通过MATLAB编程计算可得两两判断矩阵在单一准则下权向量W3、最大特性根与

一致性指标CR，详细成果见下表6：

B30.8333W3

0.2555

0=1/33.0858与一致性指标CR0.07390=1/33.0858与一致性指标CR0.07390.1，则阐明矩阵不一致限度是可0.01581/50.09731/41表6

于是上述一致性比率CR均不大于0.1，可以判断矩阵具备满意一致性。

最后得出，单在安全性方面上四种设计方案组合权向量为：

W3(0.0935,0.4158,0.2684,0.2223)T由此可见，作出综合评价结论为：方案1在安全性上权重占0.0935，方案2占0.4158，

方案3占0.2684，方案4占0.2223。

因而方案2是安全性最强，另一方面为方案3、方案4，最后是方案1。

5.4综合分析

综合考虑经济性、舒服性、安全性三个方面之间权重，层次分析构造图见图1，咱们

得到了如下成对比较矩阵为：

135A140

通过MATLAB计算可得两两判断矩阵在单一准则下权向量为：

W(0.6267,0.2797,0.0936)T0最大特性根max以接受。

于是得到最后组合权向量为：

W(0.0678,0.5398,0.2111,0.1813)T

各层一致性检查及组合一致性检查所有通过；上面组合权向量可以作为四个学生宿

舍设计方案评价根据。由此得出最后综合评价为：方案2是综合指标最高，另一方面为方案3、方案4，

最后是方案1。

6.模型分析

咱们所建立模型是评价模型，对四种典型宿舍设计方案作出了评价与比较。近几年，

随着国内经济发展，人民生活水平不断提高，学生可以依照自己实际状况选取宿舍类型，

对于不同层次学生人群，可以依照咱们模型进行选取。

例如对于经济性规定比较高学生来说，可以依