数学习题答案

概率论与数理统计：总习题一：习题5.习题15习题21习题212.2习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C2,2⋅1C5,3=1/10,P{X=4}=C3,2⋅1C5,3=3/10,P{X=5}=C4,2⋅1C5,3=3/5,所以X的分布律为X345pk1/103/103/5习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：X10203040pi0.150.250.450.15求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：P{3X>60},即P{X>20},P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005,在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.解答：以X记纺锭断头数,n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理，所求概率为：P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+4^1/1!+4^2/2!)≈0.2381.2.4习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它,求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答：P{X≤0.5}=∫-∞,0.5;f(x)dx=∫-∞,0;0dx+∫0,0.5;2xdx=x2∣0,0.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞,0.5;f(x)dx-∫-∞,0.5;f(x)dx=0.当X≤0时，F(x)=0;当0<x<1时，F(x)=∫-∞,x;f(t)dt=∫-∞,0;0dt+∫0,x;2tdt=t2∣0,x=x2;当X≥1时，F(x)=∫-∞,x;f(t)dt=∫-∞,0;0dt+∫0,x;2tdt+∫1,x;0dt=t2∣0,1=1,故F(x)={0,x≤0;x2,0<x<1;1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1};(3)概率密度函数F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1,又\becauseimx→l0+(A+Be-2x)=F(0)=0,∴A=1;∴B=-1.(2)P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X,则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X,则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150,+∞;f(x)dx=∫150,+∞;100x2dx=-100x∣150,+∞=100/150=2/3,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定.根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1,即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1,即1-Φ((x-4000)/60)=0.1,所以Φ((x-4000)/60)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此(x-4000)/60≈1.28,即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.2.5随机变量函数的分布习题1已知X的概率分布为X-2-10123pi2a1/103aaa2a试求：(1)a;(2)Y=X2-1的概率分布.解答：(1)\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,∴a=1/10.(2)Y-1038pi3/101/53/101/5习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x),分布函数为F(x),求下列随机变量Y的概率密度：(1)Y=1X;(2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),fY(y)=[-F(1/y)]′=1/y2f(1/y);；②当y<0时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时故这时fY(y)=1/y2f(1/y);③当y=0时，fY(0)=0,综上所述fY(y)={1/y2⋅f(1/y),y≠0;0,y=0.FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时，FY(y)=P{∅}=0,这时fY(y)=0;③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,FY(y)=0,综上所述故这时取fY(y)={f(y)+f(-y),y>0;0,y≤0.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0,其分布函数为FY(x),又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0,故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0；y,0≤y≤1；1,y>0,于是，Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数，故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z),因此，Z与X的分布函数相同.总复习题二习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元,200000元的概率.解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500×120元=300000元.设1年中死亡人数为X,则X∼b(2500,0.002),则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须200000X>300000即X>15(人).因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=0,15;e-5*5^k/k!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=0,10;e-5*5^k/k!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.P{保险公司获利不少于200000元}=P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}=∑k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈∑k=0,5;e-5*5k/k!≈0.615961,即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.习题6设X为一离散型随机变量，其分布律为X-101p1/2,1-2q,q2i试求：(1)q的值；(2)X的分布函数.解答：(1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi,满足∑ipi=1,且0≤pi≤1,∴{1/2+1-2q+q2=1;0≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2.从而X的分布律为下表所示：X-101p1/22-13/2-i2(2)由F(x)=P{X≤x}计算X的分布函数习题11F(x)={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1.已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞,a;0dx+∫a,+∞;cλe-λxdx=c∫a,+∞;e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1-e-λ.注意，a-1<a,而当x<a时，f(x)=0.习题19设随机变量X的分布律为X-2-1013pi1/51/61/51/1511/30试求Y=X2的分布律.解答：p1/51/61/51/1511/30iX2X-2-101341019所以X01492pi1/57/301/511/30注：随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和.习题20设随机变量X的密度为fX(x)={0,x<02x3e-x2,x≥0,求Y=2X+3的密度函数.解答：由Y=2X+3,有由定理即得y=2x+3,x=y-32,x′=12,fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.3.1习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).F(x,y)，试用F(x,y)表示：(3)P{X>a,Y≤b}.F(x,y)，试用F(x,y)表示：(2)P{0<Y≤b};解答：习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).习题4设X,Y为随机变量，且P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0}=P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值：(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)分布表，并写出关于Y的且相应概率依次为16,13,112,512,请列出(X,Y)的概率边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1,故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布.因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：{X=-1,Y=0},{X=0,Y=13,{X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件，其概率必为零.因而得到下表：X\01/31Y-101/121/301/60025/1200(2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0}同样可求得P{Y=13=112,P{Y=1}=1/3,关于的Y边缘分布见下表：=0+16+512=7/12,Y01/31p7/121/121/3k习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<4;0,其它,(1)确定常数k;P{X<1.5};(2)求P{X<1,Y<3};(3)求(4)求P{X+Y≤4}.解答：如图所示(1)由∫-∞,+∞∫-∞,+∞;f(x,y)dxdy=1,确定常数k.∫0,2∫2,4;k(6-x-y)dydx=k∫0,2;(6-2x)dx=8k=1,所以K=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫0,1;dx∫2,3;18(6-x-y)dy=3/8.(3)P{X<1.5}=∫0,1.5;dx∫2,4;18(6-x-y)dy=27/32.(4)P{X+Y≤4}=∫0,2;dx∫2,4-x;18(6-x-y)dy=2/3.习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤1;0,其它,求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=∫-∞,+∞;f(x,y)dy={∫0,x;4.8y(2-x)dy,0≤x≤1;0,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤1;0,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤1;0,其它.总习题三习题4设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处：X\Yy3pi⋅y1y21/8x11/8x2p⋅1/61j解答：由题设X与Y相互独立，即有pij=pi⋅p⋅j(i=1,2;j=1,2,3),p⋅1-p21=p11=1/6-1/8=1/24,又由独立性，有p11=p1⋅p⋅1=p1⋅1/6故p1=1/4.从而p13=1/4-1/24-1/8,又由p12=p1⋅p2,即1/8=1/4⋅p2.从而p2=1/2.类似的有p3=1/3,p13=1/4,p2⋅=3/4.将上述数值填入表中有X\Ypi⋅y1y2y3x11/241/81/121/43/83/4x21/81/4p⋅1/21/61/31j习题5设随机变量(X,Y)的联合分布如下表：求：(1)a值；(2)(X,Y)的联合分布函数F(x,y)；(3)(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数FX(x)与FY(y).解答：(1)\because由分布律的性质可知∑i⋅jPij=1,故1/4+1/4+1/6+a=1,∴a=1/3.(2)因F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}①当x<1或y<-1时，F(x,y)=0;②当1≤x<2,-1≤y<0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}=1/4;③当x≥2,-1≤y<0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}=5/12;④当1≤x<2,y>0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}=1/2;⑤当x≥2,y≥0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}+P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}=1;综上所述，得(X,Y)联合分布函数为F(x,y)={0,x<1或y<-1;1/4,1≤x<2,-1≤y<0;5/12,x≥2,-1≤y<0;1/2,1≤x<2,y≥0;1,x≥2,y≥0.(3)由FX(x)=P{X≤x,Y<+∞}=∑xi<x∑j=1+∞pij,得(X,Y)关于X的边缘分布函数为：FX(x)={0,x<1;1/4+1/4,1≤x<2;1/4+1/4+1/6+1/3,x≥2={0,x<1;1/2,1≤x<2;1,x≥2,同理，由FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij,得(X,Y)关于Y的边缘分布函数为FY(y)={0,y<-1;2/12,-1≤y<0;1,y≥0.习题13已知随机变量X1和X2的概率分布为且P{X1X2=0}=1.(1)求X1和X2的联合分布律；(2)问X1和X2是否独立？解答：(1)本题是已知了X1与X2的边缘分布律，再根据条件P{X1X2=0}=1,求出联合分布.列表如下：P{X2=X2\X1-101j}01/401/41/2101/201/2P{X1=i}1/41/21/41由已知P{X1X2=0}=1,即等价于P{X1X2≠0}=0,可知P{X1=1,X2=1}=0,P{X1=-1,X2=1}=0.再由p⋅1=p-11+p11+p01,得p01=1/2,p-10=p-1⋅=p-11=1/4,p10=p1⋅-p11=1/4,从而得p00=0.(2)由于p-10=14≠p-1⋅⋅p⋅0=14⋅12=1/8,所以知X1与X2不独立.4.1数学期望习题4据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知),在5年之内非自杀死亡的概率为1-p,保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知),若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(b>a),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？解答：令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为∴E(X)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)>0,即a<b<a/(1-p)对于m个人，有E(mX)=mE(X)=ma-mb(1-p).习题8设随机变量X的概率密度为f(x)={1-∣1-x∣,0<x<20,其它,求E(X).解答：f(x)={x,0<x<1;2-x,1≤x<20,其它,E(X)=∫0,1;x⋅xdx+∫1,2;x(2-x)dx=∫0,1;x2dx+∫1,2;(2x-x2)dx=1/3+2/3=1.习题10设随机变量X的概率密度为f(x)={e-x,x>00,x≤0,求：(1)Y=2X的数学期望；(2)Y=e-2X的数学期望.解答：(1)E(Y)=E(2X)=∫-∞,+∞;2xf(x)dx=∫0,+∞;2xe-xdx=2.(2)E(e2X)=∫-∞,+∞;e-2xf(x)dx=∫0,+∞;e-3xdx=1/3.复变函数与积分变换习题一7.将下列复数表示为指数形式或三角形式37i51i;i;1;8π(13i);cosisin.2π2π93935i35i17i①解：7i117i17i3816i198i1758．e其中πarctan19i5025②解：iie其中π．2ieiπ2③解：1eeiππi23π.④解：8π13i16π2∴8π13i16πeπi32π2π39⑤解：cosisin92π2π93isin1．解：∵cos92π2π3922πi∴cosisin1e9iπ.3e398.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)33i的平方根.⑴i的三次根．解：2kππ2kππππ13k0,1,23icosisincos2isin22233∴zcosπisinπ6izcosπisinπ31i223122556．2661996π31zcosπisin3i226⑵-1的三次根解：3cos2kπ+πisin2kππk0,1,231cosπisinπ133ππ13∴zcosisin1i3322zcosπisinπ12553π13zcosπisin3i322⑶3i的平方根．3解：33i=622π6e4ii222kππ4isin22kππk0,1∴1π16433i6e42cos4i2∴z6πisinπ11π6eicos448881z6cos9πisin9π6e19πi1．448882习题二1.求映射wz1z下圆周|z|2的像.解：设zxiy,wuiv则1xiyxiyxyx2yuivxiyxiyx2y2xi(y2)xy22因为x2y24,所以uiv5xyi344u5xv3y所以4,4xu,yv5344uvuv222122所以542234即2523，表示椭圆.6.试判断下列函数的可导性与解析性.f(z)xy2ix2y;(1)解：u(x,y)xy2,v(x,y)x2y在全平面上可微.yxy2,uy2xy,v2xy,xyvx2所以要使得uvxy，yx,uv只有当z=0时,从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.f(z)x2iy2.(2)解：u(x,y)x2,v(x,y)y2在全平面上可微.ux2x,u0,yv0,xyv2yuvuv只有当z=0时,即(0,0)处有xy,yy.所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.f(z)2x33iy3;(3)解：u(x,y)2x3,v(x,y)3y3在全平面上可微.ux6x2,u0,yv9y2,xyv0所以只有当2x3y时，才满足C-R方程.2x3y0处可导，在全平面不解析.从而f(z)在f(z)zz2(4).zxiy，则解：设f(z)(xiy)(xiy)2x3xy2i(y3x2y)u(x,y)x3xy2,v(x,y)y3x2yuuy2xy,v2xy,xv3yxx3x2y2,y22所以只有当z=0时才满足从而f(z)在z=0处可导，处处不解析7.证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数f(z)0;C-R方程...(1)uuvv0y0,xxyf(z)0证明：因为，所以u,v为常数，于是(3)Ref(z)=常数.所以f(z)为常数..uu0xy证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1,uu0xy因为f(z)解析，从而f(z)为常数5.|f(z)|=常数|f(z)|=C，对C进行讨论.若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数C-R条件成立。故.即u=C2.证明：因为.若C0，则f(z)0,但f(z)f(z)C，即u2+v2=C22则两边对x,y分别求偏导数，有2u2vvx0,ux2u2vyv0uy利用C-R条件，由于f(z)在D内解析，有uvyxuvxyuvv0vuxxuu0,vxvu00x所以xx所以即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.13.计算下列各值(1)e2+i=e2∙ei=e2∙(cos1+isin1)15.计算下列各值．(1)32ln23i=ln13iarg23iln13iπarctanππln33iln23iarg33iln23iln23i(2)66(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)lnielneiargie1πi217.计算下列各值．(2)35eln35e5ln3ee5ln35iπ2kπ5i5ln3iπ2kπie5ln3cos2k1π5isin2k1π535cos2k1π5isin2k1π518.计算下列各值(1)iπ5ieiπ5iiπ5eiπ5cosπ5iee225e51e5e5e5ee5ch5222(2)i15iei15ii5ei5sin15iee2i2i5cos1isin1e5cos1isin1e2ie5e5sin1ie5e5cos122习题三(xyix2)dz1.计算积分C,其中C为从原点到点1+i的直线段.解设直线段的方程为yx,则zxix.0x1xyixdzxyixd(xix)1220Ci1(1i)31ix2(1i)dxi(1i)1x31i330故017.计算积分C13(z1)(z1)3dz,其中积分路径C为(1)中心位于点z1,半径为R2的正向圆周(2)中心位于点z1,半径为R2的正向圆周解：(1)C内包含了奇点z12!(z1)31C(z1)3(z1)3dz2i13i()(2)z18∴(2)C内包含了奇点,z12!(z1)31C(z1)3(z1)3dz2i13i()(2)z18∴sint,t6π3.计算函数f(t)的傅里叶变换.0,t6π解:f(t)edt6πsintedtFf()itit6π6πsint(costisint)dt6π2i6πsintsintdt0isin6ππ(12)习题八1.求下列函数的拉普拉斯变换.(1)f(t)sintcost，(2)f(t)e4t，(3)f(t)sin2t(4)f(t)t2，(5)f(t)sinhbt解:(1)f(t)sintcost1sin2t2L(f(t))1L(sin2t)122s24s2412(2)L(f(t))1L(e4t)21s41cos2t2(3)f(t)sin2tL(f(t))L(1cos2t)1L(1)1(cos2t)11122s2s4s(s24)222222(4)L(t2)(5)L(f(t))L(s3ebte111111bbt)bt)L(ebt)L(e2222sb2sbs2b213.求下列函数的拉普拉斯逆变换.s28(2)F(s)(s24