第六讲多项式拟合与插值

第六讲多项式拟合与插值第一页，共十三页，编辑于2023年，星期五

已知离散点上的数据集求得一解析函数y=f(x)，使f(x)在原离散点xi上尽可能接近给定yi的值，这一过程叫曲线拟合.最常用的曲线拟合是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的平方和最小，即找出使下式最小的f(x):通常，在解决实际问题时先将已知数据的散点图画出，然后设计拟合的曲线类型，最后根据某种准则选定最佳的曲线.1.多项式拟合多项式拟合就是选择适当的多项式对数据集进行拟合，其命令为：格式：p=polyfit(X,Y,n).第二页，共十三页，编辑于2023年，星期五说明：求出已知数据(X,Y)的n阶拟合多项式f(x)按降幂排列的系数p，X必须是单调的.例1.对以下数据作出散点图，然后用多项式拟合：(0.5,1.75),(1,2.75),(1.5,3.81),(2,4.8),(2.5,7),(3,8.6)解：[x=0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];plot(x,y)发现：这些点大致地位于某条直线附近，故可考虑线性拟合：[x=0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];plot(x,y))ans:p=2.7937-0.1540即拟合函数为：y=2.7937x-0.154(图6.1)第三页，共十三页，编辑于2023年，星期五上述函数的拟合效果如何？我们可以通过计算误差平方和的大小进行考察（两种方法）：

(1)sum((2.7937*x-0.154-y).^2)=0.9136如果用二次函数进行拟合，则有：p=polyfit(x,y,2)p=0.56140.82871.1560即拟合函数为：此时误差平方和为：

sum((polyval(p,x)-y).^2)=0.1781根据误差平方和最小原则：二次函数优于线性函数(2)sum((polyval(p,x)-y).^2))=0.9136是否有误差等于零的多项式？有，那就是该数据点的插值多项式（五次多项式）第四页，共十三页，编辑于2023年，星期五通常，给出两点的坐标，我们可以得到一条直线；若给出三点的坐标，我们可以得到一条抛物线；…，给出n个点的坐标，我们可以得到一个n-1阶的多项式.

是否多项式的阶数越高越好呢？非也！在解决实际问题时，只要达到所需的精度，应尽量选择简单的函数.p=-1.600013.7400-44.073365.6650-42.631711.3500此时多项式在x处的函数值为：polyval(p,x)

ans=1.75002.45003.81004.80007.00008.6000例2.某种合金中的主要成分为A,B两种金属，经过试验发现：这两种金属成分之和x与合金的膨胀系数y有如下关系，建立描述这种关系的数学表达式.第五页，共十三页，编辑于2023年，星期五x3737.53838.53939.54040.54141.54242.543y3.4332.272.11.831.531.71.81.92.352.542.9解：首先作出散点图:

x=37:0.5:43;

y=[3.4,3,3,2.27,2.1,1.83,1.53,1.7,1.8,1.9,2.35,2.54,2.9];plot(x,y,’*’)发现：有点像抛物线，故选二次函数拟合.p=polyfit(x,y,2)p=0.1660-13.3866271.6231即为所求拟合曲线误差平方和：R=sum((polyval(p,x)-y).^2)=0.2523(图6.2)第六页，共十三页，编辑于2023年，星期五二.函数插值1.一维插值格式一：YI=INTERP1(X,Y,XI,'method')X,Y为原始数据，XI,YI为插值出的数值，'method'是插值所用的方法.第七页，共十三页，编辑于2023年，星期五.Availablemethodsare:'nearest'-nearestneighborinterpolation'linear'-linearinterpolation'spline'-piecewisecubicsplineinterpolation(SPLINE)'pchip'-piecewisecubicHermiteinterpolation(PCHIP)'cubic'-sameas'pchip'例4.对y=cosx的数据进行插值，比较各种插值方法x=[-2*pi:0.5*pi:2*pi];y=cos(x);xi=-2*pi:0.1*pi:2*pi;y_nearest=interp1(x,y,xi);y_linear=interp1(x,y,xi);y_spline=interp1(x,y,xi,'spline');y_cubic=interp1(x,y,xi,'cubic');第八页，共十三页，编辑于2023年，星期五plot(x,y,'o',xi,y_nearest,'-',xi,y_linear,'r*',xi,y_spline,'k:',xi,y_cubic,'k-');legend('originaldata','nearest','linear','spline','cubic')(图6.5)第九页，共十三页，编辑于2023年，星期五2.二维插值格式：ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)说明：用指定的算法method计算二维插值.返回矩阵ZI其元素对应于参量XI与YI的元素.用户可以输入行向量和列向量Xi与Yi，此时，输出向量Zi与矩阵meshgrid(xi,yi)是同型的.参量X与Y必须是单调的，且相同的划分格式，就像由命令meshgrid生成的一样.method有：‘linear’：双线性插值算法（缺省算法）.‘nearest’：最近邻插值.‘spline’：三次样条插值.‘cubic’：双三次插值.第十页，共十三页，编辑于2023年，星期五例5.下表给出了美国从1950-1990年工作年限10,20,30年的工资情况，使用插值计算1975年工作15年的工资YS10年20年30年1950150.697199.592187.6251960179.323195.072250.2871970203.212179.092322.7671980

226.505153.706426.7301990249.633

120.281598.243第十一页，共十三页，编辑于2023年，星期五years=1950:10:1990;service=10:10:30;wage=[150.697,199.592,187.625;179.323,195.072,250.287;203.212,179.092,322.767;226.505,153.706,426.730;249.633,120.281,598.243];w=interp2(service,years,wage,15,1975)结果为：w=190.6288例6.在某处测得海洋不同深处水温如下：深度(m)44671495014221634水温(℃)7.044.283.402.542.13试求在深度500米、1000米、1500米处的水温第十二页，共十三页，编辑于2023年，星期五解：h=[446,714,950,1422,1634];w=[7.04,4.28,3.40,2.54,2.13];