向量和矩阵范数

定义1.一、向量和矩阵的范数12显然并且由于3例.求下列向量的各种常用范数解:4向量和矩阵范数/*NormsofVectorsandMatrices*/——为了误差的度量常用向量范数：==niixx11||||||v==niixx122||||||vpnipipxx/11||||||==v||max||||1inixx=v注：定义向量序列收敛于向量是指对每一个1in都有。可以理解为可以理解为对任何向量范数都成立。5§1NormsofVectorsandMatrices–MatrixNorms矩阵范数/*matrixnorms*/定义

Rmn空间的矩阵范数

||·||对任意满足：（正定性

/*positivedefinite*/)对任意(齐次性

/*homogeneous*/)（三角不等式

/*triangleinequality*/)(4)*||AB||||A||·||B||

（相容

/*consistent*/

当

m=n

时)Ingeneral,ifwehave||AB||

||A||·||B||,thenthe3normsaresaidtobeconsistent.Ohhaven’tIhadenoughofnewconcepts?WhatdoIneedtheconsistencyfor?Whenyouhavetoanalyzetheerrorboundof

AB–imagineyoudoingitwithoutaconsistentmatrixnorm…6例.不难验证其满足定义2的4个条件称为Frobenius范数,简称F-范数而且可以验证tr为矩阵的迹类似向量的2-范数7定义.简称为从属范数或算子范数显然，由定义不难推出8常用矩阵范数：Frobenius范数—

向量||·||2的直接推广

对方阵以及有利用Cauchy不等式可证。算子范数/*operatornorm*/

由向量范数||·||p导出关于矩阵A

Rnn

的p范数:则特别有：（行和范数）（列和范数）（2-范数/*spectralnorm*/

）矩阵ATA的最大特征根/*eigenvalue*/9例.求矩阵A的各种常用范数解:由于10特征方程为11容易计算计算较复杂对矩阵元素的变化比较敏感不是从属范数较少使用使用最广泛性质较好12注：

Frobenius范数不是算子范数。

我们只关心有相容性的范数，算子范数总是相容的。

即使A中元素全为实数，其特征根和相应特征向量/*eigenvector*/

仍可能是复数。将上述定义中绝对值换成复数模均成立。若不然，则必存在某个向量范数||·||v

使得对任意A

成立。Counterexample?谱半径/*spectralradius*/定义矩阵A的谱半径记为(A)=，其中i

为

A

的特征根。ReIm(A)13定理对任意算子范数||·||有证明：由算子范数的相容性，得到将任意一个特征根所对应的特征向量代入定理若A对称，则有证明：A对称若是A

的一个特征根，则2

必是A2

的特征根。又：对称矩阵的特征根为实数，即2(A)为非负实数，故得证。对某个

A

的特征根成立所以2-范数亦称为谱范数。14§1NormsofVectorsandMatrices–SpectralR