垂线段最短解决最值问题2017

初中几何的最值问题，主要是求一条或两条线段长度的最大（最小）值，三角形或四边形周长的最小值，对一些简单问题可以通过诸如“两点之间线段最短”“垂线段最短”等定理解决，综合近几年中考常见的同类考题，经常用到的解决方法主要有以下4种：1、垂线段最短2、利用轴对称3、构造三角形，巧用三角形三边关系4、巧用辅助圆5、构造函数关系。对每类问题的解决方法及规律，通过以下例题说明。一、利用垂线段最短解决问题1、如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60。得到FC，连接DF.则在点E运动过程中，DF的最小值是F二、轴对称A'、、.PA'、、.P1、（八年级上册数学课本90页第18题）如图，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥•问：（1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注：桥必须与街道垂直）（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？甲甲三、构造三角形，巧用三角形三边关系1、如图，正方形ABCD中，AB=8,O为AB的中点，P为正方形ABCD外一动点，且AP丄CP,贝U线段OP的最大值为（）A.4+4B.2C.4D.62、如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是.3、如图，E、F分别是边长为2的正方形ABCD边AD、AB上的两个动点，满足AE+AF=2,BE交CF于点P,在点E、F运动过四、巧用辅助圆1、如图，aABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,0为AC的中点，过D作0E丄OF,0E、OF分别交射线AB、BC于E、F,则EF的最小值为五、构造函数关系1、如图,正方形ABCD的边长为4,E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE丄EF.则AF的最小值是.答案一、利用垂线段最短解决问题解答：法1连接BF法2：如图，取AC的中点G,连接EG,•・•旋转角为60°,.•・ZECD+ZDCF=60。，又：乙ECD+ZGCE=ZACB=60°,AZDCF=ZGCE,：AD是等边△ABC的对称轴，.•・CD=12BC,CD=CG,又：CE旋转到CF,••・CE=CF,在△DCF和△GCE中,CE=CFZDCF=ZGCECD=CG,•••△DCF^AGCE(SAS),••・DF=EG,根据垂线段最短，EG丄AD时，EG最短，即DF最短,此时*：ZCAD=12x60°=30°,AG=12AC=12x6=3,・•・EG=12AG=12x3=1.5,••・DF=1.5.二、轴对称三、构造三角形，巧用三角形三边关系1、

连接AC、BD相交于Q,连接PQ,TABCD是正方形，•••AQ=CQ,TAP±CP,••PQ=1/2AC=4^2,TO为AB中点，••OQ=1/2BC=4,••OP<OQ+PQ=4+4^2,••当OP过Q时，OP最大=4+4^2。2、AEFDAEFD易得丄1=乩所以NAHETb取的中点6连接OHLOD・刍点（kH.D三点不共线时，OH-DHVOD刍点0、H、D三点共线时，OH-DH-OD所以OIRDH的最小宜为OD由二OH的值始终是1,取最小悽0口时,DH最小匚_匚勾股定理得OD=-jT.又OH=1所以DH的最小值=丿?-13、取BC的中点M,连接AM、PM,构造三角形APM四、巧用辅助圆1、解法两种①是过点0作0M丄AB于点M,作ON丄BC于点N,TZABC=90°,四边形OMBN是矩形，OMIIBC,ONIIAB,△AOM-△ACB,△CON-△CAB,OM：BC=OA:AC,ON：AB=OC:AC,TO为AC的中点，OM=3,MN=5,由垂线段最短，可得当OE与OM重合，即EF与MN重合时，EF最短，.EF的最小值为5.②是作辅助圆五、构造函数关系1、设BE二x,则EC=4-x,先利用等角的余角相等得到ZBAE二ZFEC,则可判断RfABE-RfECF,利用相似比可表示出FC=・,则DF=4-FC=4--=-X21x+4=(x-2)2+3,所以x=2时，DF有最小值3,而AF2二AD2+DF2,即DF最小时，AF最小，AF的最小值为-一「=5.解：设BE=x，则EC=4-x,•••AE丄EF,•••ZAEF=9O°,•••zAEB+zFEC=90°,而zAEB+zBAE=90°,•••ZBAE二zFEC,.•.RMABEsRMECF,AS4xx(4-x)•••三二