结构的位移计算

结构的位移计算第一页，共四十一页，编辑于2023年，星期五§6-1概述1．结构的位移（1）结构的位移结构在外因的影响下将产生变形，由于变形使结构上各截面的位置将发生变化，这种位置的变化称为位移。

（2）位移的分类及表示

位移可分为线位移Δ及角位移f，为计算方便常把线位移分解为水平及竖直两个方向，分别用ΔCx(或ΔCH)、ΔCy(或ΔCV)表示，如图6-1所示。角位移用fC(或θC)表示如图6-2所示。位移的表示符号右下方有两个脚标，其物理意义为：第一个脚标表示发生位移的截面，第二个脚标表示位移的方向(或引起位移的原因)。第二页，共四十一页，编辑于2023年，星期五位移又可分为绝对位移（如图6-1所示）及相对位移，如图6-2中C、D两截面的水平线位移ΔCx、ΔDx之和ΔCD=ΔCx+ΔDx表示C、D两截面在水平方向上的相对线位移，又如

fAB=fA+fB表示A、B两截面的相对转角。无论是绝对位移或相对位移，今后统称为广义位移，可用Δ表示。图6-1图6-2第三页，共四十一页，编辑于2023年，星期五

2．计算结构位移的目的（1）验算结构的刚度结构在外因影响下如果变形太大，同样会影响结构的正常使用，为此在各种结构的设计规范中，对结构的刚度都有一定的要求。

（2）结构在施工过程中需要计算位移结构在施工过程中，往往需要预先知道结构的变形情况，而这种变形与结构正常使用时完全不同。如图6-3为悬臂拼装架梁的示意图。在正常使用时，该简支梁的最大挠度在跨中，而在施工时悬臂端B处的挠度最大，该挠度值也成为在结构设计时的控制因素之一。图6-3

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（3）为超静定结构的计算打基础在超静定结构的计算中，除考虑平衡条件外，还必须考虑变形协调条件，因此计算结构的位移是解超静定结构的一个重要手段。

（4）结构的动力计算和稳定计算中也需要计算结构的移。

3．计算位移时的有关假定（1）结构的材料服从虎克定理。即应力与应变呈线性关系。（2）结构的变形很小，可以认为结构变形前后的几何尺寸相同，称为弹性小变形问题。（3）受弯杆件不考虑轴向变形的影响。上述假定可使位移计算得到简化，其计算精度可以满足工程要求。满足上述假定的体系其位移与荷载呈线性关系，称为线性变形体。若位移与荷载之间不呈线性关系的体系称为非线性变形体。本书只考虑线性变形体。

4．引起结构产生位移的原因除荷载外，还有温度变化、支座移动、制造误差、混凝土收缩等因素。

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1．虚功和虚功原理

（1）虚功力在其位移上做功，当力与位移彼此独立无关时，这时的功称为虚功。

（2）刚体的虚功原理理论力学中讲过刚体的虚功原理：刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，所有外力所作虚功的总和为零。

（3）变形体的虚功原理对于变形体来讲，当给体系一虚位移时，除了外力(荷载、约束反力等)在虚位移上做虚功外，内力在其相应的变形上也要做功，这个功称为变形虚功。变形体的虚功原理可表述为：变形体处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，外力所做虚功总和等于各微段的内力在其变形上所做的虚功总和。§6-2变形体系的虚功原理

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若用W表示外力虚功，WV表示变形虚功，则上述原理可写为

W=WV(6-1)

由于力与位移的独立性，为计算方便，常把力状态与位移状态分开画，在力状态所有的力(荷载与支座反力等)处于平衡状态，在位移状态中，虚位移可由其它任何原因(如另一组力系、温度变化、支座移动等)引起，但必须是约束条件所允许的微小位移。

2．变形虚功的计算在力状态取微段ds为隔离体，如图6-4(c)所示，在位移状态对应微段的变形为du、ds、df，当略去二阶微量时，ds微段的变形虚功为dWV=FNdu+FSγds+Mdf，对于整个结构则为

WV=Σ∫dWV=Σ∫FNdu+Σ∫FSγds+Σ∫Mdf(6-2)第七页，共四十一页，编辑于2023年，星期五故虚功方程为：

W=Σ∫dWV=Σ∫FNdu+Σ∫FSγds+Σ∫Mdf(6-3)图6-4第八页，共四十一页，编辑于2023年，星期五

3.虚功原理的应用

(1)虚位移原理给定力状态，虚设位移状态，利用虚功方程来求解力状态的未知力，称为虚位移原理。

(2)虚力原理给定位移状态,虚设力状态，利用虚功方程求解位移状态中的位移，称为虚力原理。本章将根据这一原理计算位移。第九页，共四十一页，编辑于2023年，星期五在利用虚力原理时，由于力状态是虚设的，故将上节所述力状态改称为“虚拟状态”，位移状态改称为“实际状态”。为了计算方便，在“虚拟状态”沿欲求“实际状态”的指定截面位移方向ΔK加一个对应的单位力，如图6-5所示。根据(6-1)、(6-3)式可得式中、、为单位力引起的内力(在虚拟状态)，上式移项后可得

(6-5)§6-3位移计算的一般公式单位荷载法

1.单位荷载法第十页，共四十一页，编辑于2023年，星期五由(6-5)式可以看出，欲求“实际状态”的某一位移如ΔK，则必须在“虚拟状态”加一个相应的单位力，然后利用虚功原理求出ΔK，故此种计算位移的方法称为单位荷载法。图6-5第十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期五

2.单位力的作法

具体计算中，欲求的位移可能是角位移、相对线位移、相对角位移，则对应的虚拟力应分别为一个单位力偶，一对指向相反的单位力或一对方向相反的力偶(见图6-6)，在桁架中由于只承受结点集中荷载，当欲求图中BC杆转角时，虚拟力则是加在BC杆两端结点垂直于杆轴线的一对集中力1/lBC，它们组成一个单位力偶m=1/lBC·lBC=1。图6-6第十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期五§6-4静定结构在荷载作用下的位移计算式(6-5)中的du、γds、dφ为“实际状态”中ds微段的变形，该变形可以由荷载引起或温度变化或支座移动等原因引起。本节先讨论荷载的影响，其它因素将在后面各节分述。当只考虑荷载的影响时，式(6-5)可写为

(a)由材力可知：

(b)式中FNP、FSP、MP为“实际状态”中荷载引起的微段内力，

第十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期五E为材料的弹性模量，I、A分别为杆件截面的惯性矩和面积，G为剪切弹性模量，k为截面上剪应力分布不均匀系数，它与截面的形状有关。如矩形截面k=6/5，圆形截面k=32/27，工字形截面k≈A/Af，Af是腹板的面积。将(b)式代入(a)式得

(6-6)在计算梁和刚架时，因剪切及轴向变形的影响比弯曲变形小得多，可以略去不计，故式(6-6)可简化为

(6-7)在桁架计算中，因只有轴力一项，且每根杆EA、、、l均为常数，故式(6-6)可写为

(6-8)第十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期五对于组合结构，受弯杆件只计弯曲变形的影响，二力杆只有轴向变形，则式(6-6)可写为

(6-9)

例6-1

试求简支梁在荷载作用下跨中C截面的竖向线位移ΔCy。EI=常数。见图6-7(a)。解：1.建立“虚拟状态”。欲求ΔCy则应在C处加一单位集中力作为虚拟力，见图6-7(b)。

2.写出、表达式。设x坐标如图所示，A为坐标原点。在虚拟状态中，由单位力引起的内力、反力均在其相应的表示符号上加一横线，AC与CB段内力表达式形式不一样，故“两种状态”中的内力应分两段写出

第十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期五AC段=ql/2·x-qx·x/2(0≤x≤l/2)=x/2(0≤x≤l/2)CB段=ql/2·x-qx·x/2(l/2≤x≤l)=x/2-1·(x-l/2)=l/2-x/2(l/2≤x≤l)图6-7第十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期五

3.代入式(6-7)计算ΔCy。

计算结果得正值说明ΔCy的方向与虚拟力方向一致，数据后面一定要注明所求位移的实际方向。例6-2

求图6-8(a)所示圆弧曲杆B点的竖向线位ΔBy。EI=常量，不计轴力及曲率的影响。解：1.建立虚拟状态如图6-8(c)所示。

2.写出、表达式。第十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期五取分离体分别如图6-8(b)、(d)所示。

=-FRsinφ=Rsinφ,且ds=Rdφ3.代入式(6-7)计算ΔBy。图6-8

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例6-3

计算图6-9(a)所示桁架下弦C结点的竖向线位移ΔCy、CD及CE两杆的相对角位移φC。各EA=3×104kN。

解:

由于桁架的杆件较多，一般多采用表格形式进行计算。本题两种状态内力均为正对称，故表6-1中只列出一半杆件内力。由式(6-8)得

ΔCy==2×(9.43+6.67)×10-4+13.33×10-4=45.53×10-4m=45.53×10-2cm(↓)φC==6.67×10-4rad(下面角度增大)，CD杆与CE杆夹角减小。图6-9第十九页，共四十一页，编辑于2023年，星期五杆件l(m)EAAD3X1040.943X10-49.43X10-400CD3X1040.943X10-4000AC43X1041.333X10-4106.67X10-400DE43X1041.333X10-4-10-113.33X10-46.67X10-4表6-1第二十页，共四十一页，编辑于2023年，星期五§6-5图乘法

1.引言在梁与刚架的位移计算中，当荷载比较复杂时，积分运算十分繁琐，但在一定的条件下，可简化为“图乘法”进行运算。

2.图乘法的三个前提条件

(1)该杆段是一直杆，

(2)在杆段内EI为一常数，

(3)在该杆段中或图至少有一个是一直线图形。

3．公式推导设图为曲线，图为一直线图形。

=x·tanα代入积分式

第二十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期五由合力矩定理可得，用yc表示图形心C所对应的图上的纵距，则4．乘积正负号的取法当Aω·yc在基线同一侧时，Aω·yc取正；二者在基线异侧时，Aω·yc取负。整个结构进行图乘运算时，则式(6-7)就可写为(6-10)图6-10第二十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期五例6-4

求图6-11(a)所示简支梁A截面的转角φA。设EI为常量。解：1.假设虚拟状态见图611(b)。

2.绘、图。

3.由于图的面积及形心较容易求出，故yc可取自图，计算如下

(顺时针转动)图6-11第二十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期五

5.常见图形的面积和形心位置

进行图乘运算时，经常见到的几种图形面积和形心位置如图6-12所示。其中标准抛物线是指该曲线顶点的切线必须与基线平行。图6-12第二十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期五

6．两个梯形图形之间的图乘在运算时还常遇到两个梯形图形进行图乘，在此推导一个便于记忆的图乘公式，由图6-13(a)

当a、b、c、d在基线同侧时乘积为正，反之为负。如图6-13(b)：

第二十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期五图6-13图6-14第二十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期五

例6-5求图6-14(a)所示悬臂梁B截面竖向线位移ΔBy。解：1.假设虚拟状态如图6-14(b)所示。2.绘、图。3.计算ΔBy。由于AC与CB段EI值不同，故图乘时应分段进行图乘，由第三章可知，AC段的MP图可看为一个梯形图形Aω3与一个标准二次抛物线图形Aω2叠加而成，具体计算如下

第二十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期五

例6-6

求图6-15(a)所示组合结构A截面的竖向线位ΔAy。已知E=2.1×104kN/m2，A=12cm2，I=3600cm4。解：1.假设虚拟状态如图6-15(c)所示。

2.绘MP

、图，计算DE杆FNP

、值，见图6-15(b)-(d)。

3.计算ΔAy。

第二十八页，共四十一页，编辑于2023年，星期五图6-15第二十九页，共四十一页，编辑于2023年，星期五§6-6静定结构温度变化时的位移计算

静定结构在温度变化的影响下，结构各截面均不产生内力，只产生变形。下面将用单位荷载法计算温度变化影响下的位移。首先推导实际状态中任意微段ds的变形dut、dφt、γtds，然后代入式(6-5)即可求得任意K截面的位移即

(6-11)

设α为材料的线膨胀系数，t1、t2表示结构外、内侧温度改变值(设t2＞t1)。并假定温度沿截面高h按直线变化。由图6-16(c)可知

(a)第三十页，共四十一页，编辑于2023年，星期五式中为杆轴线处的温度变化值。若截面对称于形心轴即h1=h2，则。

(b)式中Δt=t2-t1为杆件两侧之温差，此外由于温度变化并不引起截面的剪切变形，故γtds=0。将(a)、(b)式代入式(6-11)得(c)

图6-16第三十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期五若每根杆件沿其全长温度的改变相同，且截面高度不变，则(c)式又可写为

(6-12)式(6-12)即为静定结构由于温度变化时位移的计算公式。应注意在总和号“Σ”中每根杆件计算时的正负号，由于αtA及表示内力所做的变形虚功，故当“实际状态”由于温度变化引起的变形与“虚拟状态”虚拟力产生的内力方向一致时取正，反之取负，t及Δt在式(6-12)中就只代绝对值。受弯杆件在温度变化时，不能忽略轴向变形的影响，这是与承受荷载时的不同之处。桁架在温度改变时，其微段变形仅有dut=αtds项，故式(6-9)可写为

(6-13)第三十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期五当桁架因制造误差与设计长度不同时，若各杆长度的误差为，则位移计算公式为

(6-14)此外，在工程中混凝土收缩与徐变的性质与温度变化类似，所产生的变形相当于降温25℃，如果混凝土为分段浇筑，则取值-15℃。例6-7

求图6-17(a)所示刚架D截面的水平线位移ΔDt。各杆截面为矩形，截面高度h=60cm，刚架内侧温度上升15℃，外侧温度无变化。线膨胀系数α=0.00001。解：1.假设“虚拟状态”如图6-17(b)所示。

2.绘、图，如图6-17(c)、(d)所示。

3.计算ΔDt。Δt=15-0=+15℃，t=(0+15)/2=+7.5℃，t为正号说明杆轴线处温度是升高7.5℃，变形是沿杆轴伸长，第三十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期五由“实际状态”的温度变化Δt=+15℃可以看出刚架各杆内侧纤维伸长，虚拟力的方向可从、图中看出。利用式(6-12)可得图6-17

=α(7.5×1×6-7.5×1×6-7.5×1×6)

=α(-45-540/0.6)=-0.00945m=-0.945cm(→)第三十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期五§6-7静定结构支座移动时的位移计算

静定结构在支座发生移动时，各杆既不变形也无内力，只有刚体位移，位移计算的一般式简化为

(6-15)式中表示在“虚拟状态”中，由虚拟力引起的各支座反力，C为“实际状态”中，各支座的移动量。为反力虚功，当虚反力与实际支座移动C方向一致时，其乘积为正，反之为负。总和符号Σ前的负号，是该项移到等号右边时而得来的，计算时切勿遗漏。第三十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期五

例6-8

求图6-18(a)所示刚架在B支座发生移动时，铰C两侧截面的相对角位移φC。

解：1.假设“虚拟状态”并求虚反力，如图6-18(b)所示。

2.求。

=-(1/4×0.02)=-0.005rad(下面角度增大)图6-18第三十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期五§6-8线弹性结构的互等定理

1．功的互等定理设两组外力分别作用在同一线弹性结构上如图6-19所示。首先计算“第一状态”的外力、内力在“第二状态”相应的位移和变形上所做的虚功W12及虚变形能Wi12，并根据虚功原理W12=Wi12可得

(a)再计算“第二状态”的外力、内力在“第一状态”相应的位移和变形上所做的虚功W21和虚变形能Wi21，同理可得

(b)比较(a)、(b)两式，可以看出

F1Δ12=F2Δ21(6-16)第三十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期五式(6-16)表示“第一状态”的外力F1在“第二状态”相应位移Δ12上所做的虚功等于“第二状态”的外力