角平分线的性质ppt

角平分线的性质ppt第一页，共三十五页，编辑于2023年，星期五角平分线是从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线..1.什么叫角平分线？2.怎样用尺规作角的平分线？复习：第二页，共三十五页，编辑于2023年，星期五尺规作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：AＢＯＭＮＣ画法：

１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．

第三页，共三十五页，编辑于2023年，星期五画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，过P向角的两边作垂线段PD、PE，你能得出什么结论？思考AOBPEDC第四页，共三十五页，编辑于2023年，星期五你能证明吗？

将∠AOB沿OC对折，我发现PD与PE重合，即PD与PE相等.图1-26第五页，共三十五页，编辑于2023年，星期五∵

PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，

OP=OP，∴△PDO≌△PEO.∴

PD=PE.我们来证明这个结论.图1-26图1-26第六页，共三十五页，编辑于2023年，星期五用符号语言表示为：AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，

PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.C角平分线的性质定理：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．第七页，共三十五页，编辑于2023年，星期五角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BADOPEC定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。定理的作用：证明线段相等。推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。第八页，共三十五页，编辑于2023年，星期五同学甲、乙谁的画法是正确的?第九页，共三十五页，编辑于2023年，星期五B思考：如图所示OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?OAEDCPPD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等.第十页，共三十五页，编辑于2023年，星期五1、∵AD平分∠CAB,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(______________________________)ACDEB12DC=DE角平分线上的点到角的两边的距离相等2、判断题（）∵如图，AD平分∠BAC（已知）

∴

BD=DC，

()角的平分线上的点到角的两边的距离相等。×体验成功第十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期五∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BDCD（×）第十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期五∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（）

DBDC在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。√不必再证全等第十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期五例1.

如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、

CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上

∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即点P到边AB、BC、

CA的距离相等DEFABCPMN第十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期五例2.已知：在等腰Rt△ABC中，AC＝BC∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E。求证：BD＋DE＝AC

变式已知AB＝15cm,求△DBE的周长EDCBA第十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期五动脑筋角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？如图1-27，点P

在∠AOB

的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？图1-27第十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期五在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵

OP=OP，PD=PE，∴

Rt△PDO≌Rt△PEO.∵

PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.如图1-27，过点O，P作射线OC.∴∠AOC=∠BOC.∴

OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.图1-27第十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期五角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。角平分线的判定定理：AOBPDEC用符号语言表示为：∵PD⊥OA，PE⊥OB且PD=PE∴OC平分∠AOB.由此得到角平分线的性质定理的逆定理：第十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期五已知：如图在四边形ABCD中，AB＝AD，

AB⊥BC，AD⊥DC．求证：点A在∠DCB的平分线上．体验成功第十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期五举例例1如图1-28，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.

（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；（2）求证：BD是∠ABC的平分线.图1-28第二十页，共三十五页，编辑于2023年，星期五证明：在△ABC中，∵∠1=∠2，∴

BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，∴点B在∠ADC的平分线上.图1-28（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；第二十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期五图1-28证明：在Rt△BAD和Rt△BCD中，

∵

BA=BC，BD=BD，∴

Rt△BAD≌Rt△BCD.∴∠ABD=∠CBD.∴

BD是∠ABC的平分线.（2）求证：BD是∠ABC的平分线.第二十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期五例

已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.ABCPMNABCPMN练习：

已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、

BC、CA，垂足分别为D、E、FFDEDE又∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上

∴PD=PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即点P到边AB、BC、

CA的距离相等想一想，点P在∠A

的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？第二十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期五练习：如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC∴FG＝FM又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴点F在∠DAE的平分线上第二十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期五解：设要截取的长度为Ｘm,则：

练习：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该集贸市场应建在何处？（比例尺1：20000）ＳＯ公路铁路解得：Ｘ＝0.025m

＝2.5cmＡ则点Ａ即为所求的点拓展思维：若把在Ｓ区去掉，有几处A点第二十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期五解作∠AOB的角平分线，交MN于一点，则这点即为所

求作的点P.（提示：用尺规作图）练习如图，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等.P第二十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期五2.如图，在△ABC

中，AD

平分∠BAC，DE⊥AB

于点E，DF⊥AC于点F，BD=CD.

求证：AB=AC.证明∵点D在∠BAC的平分线上，

DE⊥AB，DF⊥AC，

∴

DE=DF.∴

AB=AC.在Rt△BED和Rt△CFD中，

∵

BD=CD，DE=DF，∴

Rt△BED≌Rt△CFD.∴∠B=∠C.第二十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期五动脑筋如图1-29，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF

的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？图1-29图1-29第二十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期五∵

ME⊥CD，MN⊥CA，同理可得AM是∠CAB的平分线.可以添加条件MN=ME

（或MN=MF）.∴

M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线.图1-29第二十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期五如图1-30，在△ABC

的外角∠DAC

的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.例2∴

PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB，∴

BE+PF>PB.∵

AP是∠DAC的平分线，又PE⊥DB，PF⊥AC，解图1-30举例第三十页，共三十五页，编辑于2023年，星期五利用结论，解决问题练一练

1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?第三十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期五拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()

A.一处B