计算方法非线性方程求解

计算方法非线性方程求解第一页，共五十二页，编辑于2023年，星期五§2二分法原理：若f

C[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。abx1x2abx*2xx*第二页，共五十二页，编辑于2023年，星期五误差分析：第1步产生的有误差第k+1步产生的xk

有误差对于给定的精度,可估计二分法所需的步数k：优点：①简单;②对f(x)

要求不高(只要连续即可).缺点：①无法求复根及偶重根②收敛慢第三页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第四页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第五页，共五十二页，编辑于2023年，星期五

迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。

迭代法是一种重要的逐次逼近方法。这种方法用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。§2迭代法等价变换为的不动点由此也称为不动点迭代法，迭代法的一般形式：第六页，共五十二页，编辑于2023年，星期五,…,,….迭代公式若收敛，即存在x*使得

，且

连续，则由可知，即是的不动点，也就是f的根。从一个初值

出发，计算第七页，共五十二页，编辑于2023年，星期五xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1y=(x)y=(x)y=(x)y=(x)第八页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第九页，共五十二页，编辑于2023年，星期五(I)当x[a,b]时，(x)[a,b]；(II)0L<1使得

则任取x0[a,b]，由xk+1=(xk)得到的序列收敛于(x)在[a,b]上的唯一不动点。并且有误差估计式：(k=1,2,…)k考虑方程x=(x),(x)C[a,b],若定理1第十页，共五十二页，编辑于2023年，星期五注2注1第十一页，共五十二页，编辑于2023年，星期五②不动点唯一反证：若不然，设还有，则而③当k

时，

xk收敛到x*？令有根证明：①(x)在[a,b]上存在不动点第十二页，共五十二页，编辑于2023年，星期五④⑤⑥第十三页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第十四页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第十五页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第十六页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第十七页，共五十二页，编辑于2023年，星期五连续第十八页，共五十二页，编辑于2023年，星期五注：事实上，定理3是充分必要的，即另有结论：第十九页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第二十页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第二十一页，共五十二页，编辑于2023年，星期五两个迭代值组合的方法：第二十二页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第二十三页，共五十二页，编辑于2023年，星期五三个迭代值组合的方法：第二十四页，共五十二页，编辑于2023年，星期五xyy=xy=g(x)x*x0P(x0,y0)y0

z0P(y0,z0)第二十五页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第二十六页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第二十七页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第二十八页，共五十二页，编辑于2023年，星期五§3牛顿法引入：将非线性方程线性化——Taylor展开取x0

x*，将f(x)在x0做一阶Taylor展开:，在x0和x之间。将(x*

x0)2看成高阶小量，则有：xyx*x0（fC1，f’(x*)

0）单根情形第二十九页，共五十二页，编辑于2023年，星期五定理1（收敛的充分条件）设f

C2[a,b]，若f(a)f(b)<0；在整个[a,b]上f”不变号且f’(x)0；(3)选取x0

[a,b]使得f(x0)f”(x0)>0；则Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到f(x)在[a,b]的唯一根。第三十页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第三十一页，共五十二页，编辑于2023年，星期五定理2（局部收敛性）设f

C2[a,b]，若x*

为f(x)在[a,b]上的根，且f’(x*)0，则存在x*的邻域使得任取初值，Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到x*，且满足第三十二页，共五十二页，编辑于2023年，星期五证明：Newton’sMethod事实上是一种特殊的不动点迭代其中，则收敛由Taylor展开：只要f’(x*)0，则令可得结论。第三十三页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第三十四页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第三十五页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第三十六页，共五十二页，编辑于2023年，星期五定理3（全局收敛性定理）设f

C2[a,b]，若f(a)f(b)<0；在整个[a,b]上f’(x)0,f”(x)0；(3)则任取x0

[a,b]，Newton’sMethod产生的序列{xk}都收敛到f(x)=0在[a,b]的根x*。第三十七页，共五十二页，编辑于2023年，星期五重根情形第三十八页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第三十九页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第四十页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第四十一页，共五十二页，编辑于2023年，星期五第四十二页，共五十二页，编辑于2023年，星期五原理：若由xk得到的xk+1不能使|f|减小，则在xk和xk+1之间找一个更好的点，使得。xkxk+1第四十三页，共五十二页，编辑于2023年，星期五求复根——

Newton公式中的自变量可以是复数记z=x+iy,z0为初值，同样有设代入公式，令实、虚部对应相等，可得第四十四页，共五十二页，编辑于2023年，星期五§4第四十五页，共五十二页，编辑于20