知识讲解-提高-等差数列及其前n项和

等差数列及其前 n项和编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1.理解等差数列的概念， 掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式，了解等差数列与一次函数的关系；2.理解等差数列的性质， 并会用性质灵活解决问题； 体会等差数列的前 n项和公式与二次函数的关系的联系，能用二次函数的知识解决数列问题 .3.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题 .【学习策略】数列是特殊的函数，类比一次函数、二次函数等有关知识，研究等差数列的通项公式及前n项和公式的性质特点。注意方程思想的应用：等差数列的通项公式和前 n项和公式中，共涉及 a1、n、d、an、Sn五个量，已知其中任意三个量，通过解方程或者方程组，便可求出其余两个量。【要点梳理】要点一、等差数列的定义文字语言形式一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d表示。要点诠释：⑴公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数d（即公差）；符号语言形式对于数列{an},若anan1d(nN，n2,d为常数)或an1and(nN，d为常数)，则此数列是等差数列，其中常数d叫做等差数列的公差。要点诠释：定义中要求“同一个常数d”，必须与n无关。等差中项如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，即Aab.2要点诠释：①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。任意两实数a，b的等差中项存在且唯一.②三个数a,A,b成等差数列的充要条件是Aab.2要点二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式首相为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为：aa(n1)d（nN*）n1推导过程：（1）归纳法：根据等差数列定义anan1d可得：anan1d，∴a2a1da1(21)d，a3a2d(a1d)da12da1(31)d，a4a3d(a12d)da13da1(41)d，ana1(n1)d当n=1时，上式也成立∴归纳得出等差数列的通项公式为： an a1 (n 1)d（n N）。（2）叠加法：根据等差数列定义 an an1 d，有：a2 a1 d，a3 a2 d，a4 a3 d，an an1 d把这n 1个等式的左边与右边分别相加（叠加） ，并化简得 an a1 (n 1)d，ana1(n1)d.迭代法：an

an1

d

(an2

d)

d

(a2

d)

d

d a1

(n

1)dn2∴an

a1

(n 1)d.要点诠释：①通项公式由首项 a1和公差d完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定， 该等差数列就唯一确定了。②通项公式中共涉及 a1、n、d、an四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量。等差数列通项公式的推广已知等差数列{an}中，第m项为am，公差为d，则：an am (n m)d证明：∵ana1(n1)d，ama1(m1)d∴anam[a1(n1)d][a1(m1)d](nm)d∴anam(nm)d由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式ana1(n1)d可以看成是m1时的特殊情况。要点三、等差数列的性质等差数列{an}中，公差为d，则①若m,n,p,qN，且mnpq,则amanapaq，特别地，当mn2p时aman2ap.②下标成公差为m的等差数列的项ak,akm,ak2m,组成的新数列仍为等差数列，公差为md.③若数列bn也为等差数列，则anbn，kanb，（k,b为非零常数）也是等差数列.④a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,仍是等差数列.⑤数列an+b（，b为非零常数）也是等差数列.要点四、等差数列的前 n项和公式等差数列的前 n项和公式n(a1an)公式一：Sn2证明：倒序相加法Sna1a2a3an1an①Sn

an

an1

an2

a2

a1

②①+②：

2Sn

(a1

an)

(a2

an1)

(a3

an2)

(an

a1)∵a1

an

a2

an1

a3

an2

an

a12Snn(a1an)由此得：Snn(a1an)2公式二：Snna1n(n1)d2证明：将ana1(n1)d代入Snn(a1an)可得：Snna1n(n1)d22要点诠释：①倒序相加是数列求和的重要方法之一。②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及a1、n、d、an、Sn五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量。要点五、等差数列的前 n项和的有关性质等差数列{an}中，公差为d，则①连续k项的和依然成等差数列，即Sk,S2kSk,S3kS2k，成等差数列，且公差为k2d.②若项数为2n，则S2nn(anan1)，S偶S奇S奇annd，an1S偶③若项数为2n-1，则S2n1(2n1)an，S奇nan，S偶(n1)an，S奇S偶anS奇n，n1S偶要点六、等差数列中的函数关系等差数列{an}的通项公式是关于n的一次函数(或常数函数)等差数列{an}中，ana1(n1)ddn(a1d)，令a1db,则：andnb（d,b是常数且d为公差）（1）当d0时，ab为常数函数，{a}为常数列；它的图象是在直线yb上均匀排列的一群孤nn立的点。（2）当d 0时，an dn b是n的一次函数；它的图象是在直线 y dx b上均匀排列的一群孤立的点。①当d 0时，一次函数单调增， {an}为递增数列；②当d＜0时，一次函数单调减， {an}为递减数列。等差数列{an}的前n项和公式是关于 n的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）由Snan(n1)ddn2(ad)n，令Ad，Bad，则：22222SnAn2Bn（A,B为常数）（1）当d0即A0时，SnBnna1，Sn是关于n的一个一次函数；它的图象是在直线ya1x上的一群孤立的点。（2）当d0即A0时，Sn是关于n的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线Ax2Bx上的一群孤立的点。①当d0时Sn有最小值②当d 0时，Sn有最大值要点诠释：1.公差不为0的等差数列{an}的通项公式是关于n的一次函数。2.anpnq（p,q是常数）是数列{an}成等差数列的充要条件。3.公差不为0的等差数列{an}的前n项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数。4.SnAn2Bn(其中A,B为常数)是数列{an}成等差数列的充要条件.【典型例题】类型一：等差数列的定义例1.-401是不是等差数列5913的项？如果是，是第几项？【思路点拨】要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.【解析】由a15d9(5)4得an54(n1)4n1由题意知，本题是要回答是否存在正整数 n，使得：401 4n 1成立解得：n 100即 401是这个数列的第 100项.【总结升华】1.根据所给数列求得首项 a1和公差d，写出通项公式 an.2.要注意解题步骤的规范性与准确性 .举一反三：【变式1】－20是不是等差数列0，7，－7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.2【答案】由题意可知：a10,d7，∴此数列的通项公式为：an7n7,222令207n7,解得n47N，所以－20不是这个数列的项.227【变式2】求集合M{m|m7n,nN*,m100}的元素的个数，并求这些元素的和【答案】∵7n100，∴n142，∵nN*，∴M中有14个元素符合条件，7又∵满足条件的数7，14，21，，98成等差数列，即a17，d7，a1498，∴S1414(798)735.2例2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan+1＝λSn－1，其中λ为常数．(Ⅰ)证明：an+2－an＝λ(Ⅱ)是否存在 λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．【答案】(Ⅰ)见解析。(Ⅱ)存在.【解析】(Ⅰ)证明：∵anan+1＝λSn－1，an+1an+2＝λSn+1－1，an+1(an+2－an)＝λan+1an+1≠0，an+2－an＝λ．(Ⅱ)解：①当λ＝0时，anan+1＝－1，假设{an}为等差数列，设公差为 d．则an+2－an＝0，∴2d＝0，解得d＝0，∴an＝an+1＝1，∴12＝－1，矛盾，因此λ＝0时{an}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在 λ，使得{an}为等差数列，设公差为 d．则λ＝an+2－an＝(an+2－an+1)+(an+1－an)＝2d，d＝λ．2∴an1λ（）1λn，n1，an122∴λSn＝1+[1λ(n1)][1λn]＝λ2n2(λ－λ2)n2λ，22442λ 0根据{an}为等差数列的充要条件是－λ＝，解得λ＝4．202此时可得Snn2，an＝2n－1．因此存在λ＝4，使得{an}为等差数列．【总结升华】（1）证明三个数a,b,c成等差数列的方法为：证明2bac，即a,b,c成等差数列?2bac。（2）anpnq（p,q是常数）是数列{a}成等差数列的充要条件；SAn2Bn(其中A,B为nn常数)是数列{an}成等差数列的充要条件 .举一反三：【变式1】已知数列{an}的通项公式为an3n5,这个数列是等差数列吗？【答案】因为n2时，anan13n5[3(n1)5]3,所以数列{an}是等差数列，且公差为3.【变式2】已知数列{an}中，a11，an12an（n*1an2N），求证：{}是等差数列。an证明：∵an12an，∴1an211an2an12an2an∴111，∴{1}是公差为1的等差数列。an1an2an2类型二：等差数列通项公式的应用例3．已知等差数列 {an}中，a15 33，a45 153，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。【思路点拨】等差数列的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量a1、d的问题，列出a1、d的方程组。【解析】a15a114d33a123方法一：由通项公式得：a1，解得，a4544d153d4∴an234(n1)4n27（n1,nN）,∴2174n27,解得n61.方法二：由等差数列性质，得a45a1530d,即1533330d，解得d4,∴ana154(n15)，∴217334(n15),解得n61.方法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列是一些共线的点，∵点P(15,33)、Q(45,153)、R(n,217)在同一条直线上，解得n61。4515n45【总结升华】1.等差数列的关键是首项 a1与公差d；五个基本量a1、n、d、an、Sn中，已知三个基本量便可求出其余两个量；2.列方程（组）求等差数列的首项 a1和公差d，再求出an、Sn，是数列中的基本方法 .举一反三：【变式1】在等差数列{an}中，已知a510,a1231,求首项a1,与公差d.5a14d102,d5【答案】由11d解得；a112a131【变式2】等差数列{an}中,d4,an18,Sn48,求a1的值.ana1(n1)d18a14(n1)18【答案】即n(n1)dna1，Snna1482n(n1)482解得：a16a12或n.n46【变式3】已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．【答案】方法一：根据题意，设等差数列

{an}的前三项分别为

a1，a1＋d，a1＋2d，a1＋a1＋d＋a1＋2d＝21则a1＋2d，a1a1＋d＝2313a1＋3d＝21a1＝3a1＝11.即a1＋2d，解得或d＝－4a1a1＋d＝231d＝4a1＝3an＝4n－1.因为数列{an}为单调递增数列，因此，从而等差数列{an}的通项公式为d＝4方法二：由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a－d，a，a＋d，a－d＋a＋a＋d＝21于是可得aa＋d＝231，a－d3a＝21a＝7a＝7即aa2－d2＝231，解得d＝4或d＝－4.a＝7由于数列{an}为单调递增数列，因此 ，从而an＝4n－1.d＝4类型三：活用等差数列的性质解题例4.已知等差数列{an}中，若aaa12,aaa28,求{an}的通项公式。38133813【思路点拨】可以直接列方程组求解a1和d；同时留意到脚标31382，可以用性质：当mn2p时aman2ap解题.【解析】∵a3a132a8，∴a3a8a133a812即a84,a3a138a31a37代入已知，有a3a13,解得a13或a131，77当a31,a137时，da13a3713，∴ana3(n3)33n4；133105555当a37,a131时，da13a317334413310,∴ann.555【总结升华】利用等差数列的性质解题，往往比较简捷.举一反三：【变式1】在等差数列{an}中，a2a818，则a5=【答案】9【变式2】在等差数列 {an}中，a2 a5 a8 a11 20，则a6+a7=【答案】10【变式3】在等差数列 {an}中，若a1 a6 9,a4 7,则a3= , a9=【答案】∵a1a6a4a39，a47，∴a39a4972，∴da4a35，∴a9a4(94)d32.类型四：前 n项和公式及性质的运用例5．等差数列{an}前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和.【思路点拨】利用等差数列的前n项和公式Snna1n(n1)d求解；或利用性质：“等差数列的连续10项和构2成一个新的等差数列”和等差中项求解；或利用相关的函数（SnAn2Bn）等知识求解。【解析】方法一：利用等差数列的前n项和公式Snan(n1)d求解。n12Smm(m1)30ma12d102040由已知得，解得a,d，2m(2m1)d1mm2m2S2ma1002m12∴S3m3ma13m(3m1)d210。2方法二：利用等差数列前n项和公式Snn(a1an)及性质mnpq,则amanapaq求解。2m(a1am)60..............(1)m(a1a2m)100...........(2)由已知得3m(a1a3m)2S3m........(3)a3ma2ma2mam.........(4)由(3)-(2)及(2)-(1)结合(4),得S3m=210.方法三：根据性质：“已知{an}成等差数列，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,,Skn-S(k-1)n,(k2)≥成等差数列”解题。由上述性质，知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列。Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm),∴S3m=3(S2m-Sm)=210.n(n1)Sna1d方法四：由Snna1d的变形式解题，由上式知，(n1)2n2∴数列{Sn}也成等差数列，即Sm,S2m,S3m成等差数列，nm2m3m∵2S2mSmS3m，又Sm=30,S2m=100,∴S3m=210.2mm3m方法五：∵{an}为等差数列，∴设SnAn2Bn22得A2010∴Sm=am+bm=30,S2m=4ma+2mb=100,2，Bmm2S3m=9ma+3mb=210.【总结升华】方程是解决这类问题的重要方法，当然具体题目也要注意数列本身的一些性质，它往往更能起到事半功倍的效果 .举一反三：【变式1】等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4+a5=30,a6+a7+a8+a9+a10=80,则a11+a12+a13+a14+a15=___________.【答案】比较对应项可知后一段中每一项总比前段每一项多5d，故后一段和比前一段和多25d，故三段依然构成等差数列，故由等差中项公式可知:a11+a12+a13+a14+a15=2×80-30=130.【变式2】等差数列{an}中，Sm=Sn且m≠n,则Sm+n=_________.【答案】方法一：数列{an}成等差数列的充要条件是Sn=an2+bn（其中a，b为常数），Sn an2 bn.......(1)故有Sm am2 bm......(2)(2)-(1)得a(m2-n2)+b(m-n)=0,m≠n,∴a(m+n)+b=0,Sm+n=a(m+n)2+b(m+n)=(m+n)[a(m+n)+b]=0.方法二:从等差数列22Sn=an+bn去认识它是函数S(x)=ax+bx图象上的点，mn∵Sm=Sn,∴函数图象对称轴为x，22故Sm+n=S(0)=a0·＋b·0=0.【变式3】等差数列{an}前10项和为100，前20项和为10，求它的前 30项和.【答案】方法一：S1010a110(101)d10019371由已知，得2，解得da11)d，，S2020a120(201010202∴S3030a130(301)d270.2方法二：等差数列{an}中S,SS,SS，构成新的等差数列，1020103020∴2(S20S10)S10(S30S20),∴S303(S20S10)270.方法三：等差数列{an}中，设SnAn2Bn,则S10102A10B100A10B100,解得A19，B39S20202A20B400A20B10202∴S30302(19)3039270.202例6．已知两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且Sn7n1，试求a11.Tn4n27b11【思路点拨】利用前n项和公式与性质mn2paman2ap解题，或利用S2n1(2n1)an解决，或利用等差数列前n项和SnAn2Bn(AnB)n形式解题.【解析】方法一：∵a11a1a21，b11b1b21221(aa21)1(aa21)21a112121S2172114∴.b1111T21421273(b1b21)(b1b21)2122方法二：由S2n1(2n1)(a1a2n1)a1121a11S21721142(2n1)an得21b11T21421273b11方法三：由题设，令等差数列前n项和(71),，则SnnnkTn(4n27)nkanSnSn1(1k4n6)bnTnTn1k(8n23)，，a11148k4∴111k.b113【总结升华】依据等差数列的性质a1a2n12an可以得到S2n1(2n1)(a1a2n1)2(2n1)an，当已知两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、TnanS2n1时，有T2n1bn举一反三：

，am2n1S2m2m1.bn1T2n1【变式1】等差数列{an}中，若a49,则S7=_________.【答案】由S2n1(2n1)(a1a2n1)1)an，得S7a7963.(2n274【变式2】已知两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且Sn4n3，则a10=.Tn5n2b10【答案】a10S19419379.b10T19519293【高清课堂：等差数列及其前n项和379548练习5】例7．一等差数列由3个数组成，3个数之和为9，3个数的平方和为35，求这个数列。【思路点拨】本题设这三个数时，常规设法为a,ad，a2d，但不如用对称设法设为ad,a,ad。【解析】设这三个数分别为ad,a,ad，则(ad)a(ad)93,d2.(ad)2a2(ad)2，解得a35∴所求三个数分别为 1，3，5或5，3，1。【总结升华】1.三个数成等差数列时，可设其分别为 x d,x,x d；若四个数成等差数列，可设其分别为x 3d,x d,x d,x 3d.举一反三：【变式】已知四个数成等差数列，且其平方和为 94，首尾两数之积比中间两数之积少 18，求此四个数。【答案】-1，2，5，8或8，5，2，-1或-8，-5，-2，1或1，-2，-5，-8类型五：等差数列前n项和的最值问题例8．已知数列{an}是等差数列，a1 0,S9 S17，试问n为何值时，数列的前n项和最大？为什么？【思路点拨】要研究一个等差数列的前 n项和的最值问题，有两个基本途径：其一是利用 Sn是n的二次函数关系来考虑；其二是通过考察数列的单调性来解决。【解析】方法一：∵S9S17,∴9a136d17a1136d即8a1100d,∵a10，∴d2a10，25又Snn(n1)na1n(n1)(2a12a12169na12d2a1)25(n26n)(n13)a1，252525∵a10，∴当n13,Sn有最大值为169a1.25方法二：要使Sn最大，n必须使an0且an10，227ana1(n1)d25a1n25a102270即an1a1(n1)a12525a10解得25n27，∵nN，22∴n13时，Sn最大为S1313a11312