北京市西城区高三第二次模拟考试理科数学试题(word版)

金太阳新课标资源网第4页共15页金太阳新课标资源网北京市西城区2013届高三第二次模拟考试数学（理科）2013.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集，集合，，那么（A）（B）（C）（D）2．在复平面内，复数的对应点是，的对应点是，则（A）（B）（C）（D）3．在极坐标系中，圆心为，且过极点的圆的方程是（A）（B）（C）（D）4．如图所示的程序框图表示求算式“”之值，则判断框内可以填入（A）（B）（C）（D）5．设，，，则（A）（B）（C）（D）6．对于直线，和平面，，使成立的一个充分条件是（A），∥（B）∥，（C），，（D），，7．已知正六边形的边长是，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（A）（B）（C）（D）8．已知函数，其中表示不超过实数的最大整数．若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）18．（本小题满分13分）如图，椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．（Ⅰ）若点的坐标为，求的值；（Ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求的取值范围．19．（本小题满分14分）已知函数，其中．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．20．（本小题满分13分）已知集合是正整数的一个排列，函数对于，定义：，，称为的满意指数．排列为排列的生成列；排列为排列的母列．（Ⅰ）当时，写出排列的生成列及排列的母列；（Ⅱ）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于中的排列，定义变换：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换将排列变换为各项满意指数均为非负数的排列．北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C；2．B；3．A；4．C；5．D；6．C；7．B；8．B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．；10．；11．，；12．；13．，；14．．注：11、13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得，．………………2分因为，，所以．………………3分所以．………………5分（Ⅱ）解：依题意得，．所以，………………7分．……………9分依题意得，整理得．………………11分因为，所以，所以，即．………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件，………………1分则，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为．………………4分（Ⅱ）解：随机变量的所有取值为．………………5分，，，，．………………10分所以，随机变量的分布列为:………………11分．………………13分17．（本小题满分14分）【方法一】（Ⅰ）证明：由俯视图可得，，所以．………………1分又因为平面，所以，………………3分所以平面．………………4分（Ⅱ）证明：取上一点，使，连结，．………………5分由左视图知，所以∥，．………………6分在△中，易得，所以．又，所以，．又因为∥，，所以∥，．所以四边形为平行四边形，所以∥．………………8分因为平面，平面，所以直线∥平面．………………9分（Ⅲ）解：线段上存在点，使与所成角的余弦值为．证明如下：………10分因为平面，，建立如图所示的空间直角坐标系．所以．设，其中．………………11分所以，．要使与所成角的余弦值为，则有，………………12分所以，解得或，均适合．………………13分故点位于点处，此时；或中点处，此时，有与所成角的余弦值为．………………14分【方法二】（Ⅰ）证明：因为平面，，建立如图所示的空间直角坐标系．在△中，易得，所以，因为，所以，．由俯视图和左视图可得：．所以，．因为，所以．………………2分又因为平面，所以，………………3分所以平面．………………4分（Ⅱ）证明：设平面的法向量为，则有因为，，所以取，得．………………6分因为，所以．………………8分因为平面，所以直线∥平面．………………9分（Ⅲ）解：线段上存在点，使与所成角的余弦值为．证明如下：………10分设，其中．………………11分所以，．要使与所成角的余弦值为，则有，………………12分所以，解得或，均适合．………………13分故点位于点处，此时；或中点处，此时，有与所成角的余弦值为．………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，是线段的中点，因为，，所以点的坐标为．………………2分由点在椭圆上，所以，………………4分解得．………………5分（Ⅱ）解：设，则，且． ①………………6分因为是线段的中点，所以．………………7分因为，所以． ②………………8分由①，②消去，整理得．………………10分所以，………………12分当且仅当时，上式等号成立．所以的取值范围是．………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：的定义域为，且．………………2分当时，，，所以曲线在点处的切线方程为，即．………………4分（Ⅱ）解：方程的判别式为．（ⅰ）当时，，所以在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是；最大值是．………………6分（ⅱ）当时，令，得，或．和的情况如下：↗↘↗故的单调增区间为，；单调减区间为．………………8分①当时，，此时在区间上单调递增，所以在区间 上的最小值是；最大值是．………………10分②当时，，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是．………………11分因为，所以当时，在区间上的最大值是；当时，在区间上的最大值是．………………12分③当时，，此时在区间上单调递减，所以在区间上的最小值是；最大值是．………………14分综上，当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当时，排列的生成列为；………………2分排列的母列为．………………3分（Ⅱ）证明：设的生成列是；的生成列是与．从右往左数，设排列与第一个不同的项为与，即：，，，，．显然，，，，下面证明：．………………5分由满意指数的定义知，的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数．由于排列的前项各不相同，设这项中有项比小，则有项比大，从而．同理，设排列中有项比小，则有项比大，从而．因为与是个不同数的两个不同排列，且，所以，从而．所以排列和的生成列也不同．………………8分（Ⅲ）证明：设排列的生成列为，且为中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以．………………9分进行一次变换后，排列变换为，设该排列的生成列为