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文档简介
近代量子力学疑难问题1第一页,共十九页,编辑于2023年,星期五[第二讲]无限深方阱中粒子动量波函数的争论
2第二页,共十九页,编辑于2023年,星期五目录一,Pauli和Landau的矛盾——“量子力学的数学是错的”?!二,无限深方阱模型及基态动量波函数1)无限深方阱模型2)两种基态动量波函数表达式三,矛盾分析与结论四,设想实验的佐证五,问题的根源[附录]3第三页,共十九页,编辑于2023年,星期五一,Pauli和Landau的矛盾——
“量子力学的数学是错的”?!
最简单的势阱束缚态模型,一种近似数学模写:势能不可能真为无限大,也不会严格的阶跃。此模型的动量波函数先由Pauli,后由Landau等人给出了不同的结果。此后,这个模型动量波函数及其衍生问题先在国外少数学者中有过讨论,接着被引进国内。近数年有过不大不小的争论,并还导致严重误解:
“中国数学家挑战物理学 量子力学逻辑自相矛盾”
——“文汇报”1997年12月10日,头版重要通讯报导。以及不少文章、著作对量子力学的否定或曲解。4第四页,共十九页,编辑于2023年,星期五5第五页,共十九页,编辑于2023年,星期五二,无限深方阱模型及基态动量波函数1)无限深方阱模型
相应的一维Schrödinger方程,
Schrödinger方程应当定义在整个x轴上。分为三个区域:第I、III区V(x)=+∞。边界条件ψ(x)=0(|x|≥a)
;求解坐标波函数只需对第II区进行。有时这种边界条件被简单地写为ψ(x)=0(|x|=a)。这时对阱外情况未作规定,提法含混。矛盾即源生于此处[7]:
坐标波函数边条件这两种不同提法,不影响求解阱内坐标波函数,但却影响阱内粒子动量波函数!6第六页,共十九页,编辑于2023年,星期五
阱中粒子能级和波函数为将正弦波函数ψn(x)用复指数表示,并近似配以exp(-iEnt/h)
仅就阱内说,阱中粒子波函数是两个反向传播的deBroglie行波叠加而成的驻波,类似于两端固定的一段弦振动。但这种说法虽然形象却是近似的!因为这两个行波仅仅存在于有限区间[-a,a]内,
有限长度光波波列不会是严格单色波([5],也见[4])。7第七页,共十九页,编辑于2023年,星期五
2)两种基态动量波函数表达式
坐标波函数边界条件设定的分歧Landau和Pauli
等人给出了不同结果。由此引发了混乱。
Pauli等人求解[1、2]。求解基态粒子的动量波函数φ1(p)时,直接采用前面n=1基态两个“单色波”的两个“动量”。表明:阱中粒子动量谱是两个(此式实际对应全实轴相向运动的)单色deBroglie波叠加而成的驻波。8第八页,共十九页,编辑于2023年,星期五
L.D.Landau等人做法[3、5]:将上面定义在全实轴上的基态坐标波函数作富里叶积分变换,便得到无限深方阱中粒子的动量波函数φ1(p):
代入ψ1(x)表达式,注意阱外ψ1(x)为零,即得阱中粒子动量概率是连续分布
两种结果很不同!那个正确?!两个都对?两个都错?
按几年来文献讨论情况,4种观点全有表述,分歧明显、争论热烈[6]。9第九页,共十九页,编辑于2023年,星期五三,矛盾分析与结论[7]按QM基本原理,波函数、动量算符及Schrödinger方程都应当定义在整个(空间)实轴上,而不是只定义在(有限空间的)势阱内。事实上,
正确的边界条件应当是 ψ(x)=0(|x|≥a);
而不是
ψ(x)=0(|x|=a)。 如果相反,认为边界条件可以用后者,并认为物理量算符可以“只”定义在势阱|x|<a
内,这不仅会给QM基本原理解释以及很多算符(比如,动量算符及相关的动能算符、轨道角动量算符等)厄密性、完备性带来许多不必要的混乱和麻烦,理论处理很烦琐;而且动量波函数的解有两种了结果!
边界条件的两种不同提法,对求解阱内坐标波函数没甚么影响,因为阱内坐标波函数是定域解;但对求解阱内粒子的动量波函数却有影响。10第十页,共十九页,编辑于2023年,星期五问题的关键是:不象坐标波函数是定域的,
动量波函数是非定域的!即
阱内动量波函数分布不仅仅依赖于阱内坐标波函数的形状,而且依赖于阱外坐标波函数的形状。换句话说,它还取决于对阱外坐标波函数的处理——坐标波函数边界条件的正确拟定。11第十一页,共十九页,编辑于2023年,星期五
Pauli错误处理了阱外坐标波函数:由于并不影响阱内坐标波函数求解,含糊的“两端点为零”边界条件被下意识地推广为“周期零点”边界条件,得到了坐标波函数的周期解。Pauli解正是此周期解的动量分布——这等于将阱内坐标波函数向全实轴作了周期性延拓。此周期解的阱外部分显然不符合现在阱外要求,其动量分布当然也就不符合阱内现在问题。
可证(见后面附录):
当比值很大(或n很大)向经典趋近时,
Landau解将逐渐演变为Pauli解。这充分说明
Pauli
解是对大阱宽、高激发态时的近似解。显然,指数上的量±πnh/2a
也不是严格的物理动量(特别当a
或n较小时)。12第十二页,共十九页,编辑于2023年,星期五四,设想实验的佐证
一块无穷大并足够厚的平板,取厚度方向为z轴,板上沿y方向开一条无限长的缝,沿x轴的缝宽为2a。电子束由板的下方入射。分离掉电子在y和z方向的自由运动,单就电子在x方向运动而言,便是一个(沿x方向)无限深方阱问题。在板上方放一接收电子的探测屏,观察狭缝穿出的电子在此探测屏上沿x方向的偏转,偏转大小将和电子在x方向的动量px数值有关。由此知:
如a值较小,必定是一个单缝衍射分布。只当a值较大向宏观过渡时,分布才逐渐过渡到两条(平行y
轴的)细线。13第十三页,共十九页,编辑于2023年,星期五五,问题的根源
无限深阱问题只是个模型而已。此模型中用到位势的突变和无穷高势垒假设。其实,物理学中许多常用的数学和物理概念,如:质点、无头无尾巴的平面波、其小无内的点、其大无外的∞,等等,都只是一些人为抽象出来的、理想化的、绝对化的概念。虽然用起来时常是简便的,但其实它们在自然界中并不真实存在,有时甚至还会惹出麻烦。
HenriPoincare说:几何点其实是人的幻想。甚至说:“几何学不是真实的,但是有用的。”[8]
14第十四页,共十九页,编辑于2023年,星期五按照他对几何学的深刻认识,我们也可以说:
V=∞不是真实的,但是有用的。从思想方法来说,全部困惑的根源正在此处:将势垒V=∞这件事看成是物理真实的了。对它过度的执着干扰了我们对实际物理问题的认识,并且带来许多不必要的困惑和烦恼。文小刚也说[9]:
理论物理中的很多概念并不代表真实。所以,每当遇到由数学简单化、绝对化带来问题的时候,注重物理、返回自然界的物理真实,再行考察。记住这点有时是很重要的。
15第十五页,共十九页,编辑于2023年,星期五[附录]当时,Landau结果趋近于Pauli结果证:利用-函数的一个表达式:由Landau结果出发(注意最后极限时):16第十六页,共十九页,编辑于2023年,星期五参考文献[1]W.Pauli,《HandbuchderPhysik》,
eds.byH.Geiger
andK.Scheel,Vol.
24/1,Springer,Berlin,1933。中译本
“Pauli物理学讲义”,第五卷:《波动力学》。洪铭熙等译,人民教育出版社,1983年。他于1956-1958年在苏黎世联邦工业大学物理学位课程两次授课中,依然如此讲法。[2]L.N.Cooper,《物理世界(上、下)》,杨基方等译,海洋出版社,1984。第184页,[3]Л.Д.朗道,E.M.栗弗席茨,《非相对论量子力学》,俄文第一版为1947年。[4]W.Pauli,“Pauli物理学讲义”,第五卷:《波动力学》。洪铭熙等译,人民教育出版社,1983年。第15页及注1。[5]
Fermi于1954年所写的《量子力学讲稿》,罗吉庭译,西安交大出版社,1984。第60-61页。
17第十七页,共十九页,编辑于2023年,星期五[6]
国内自1983.6起,见大学物理、光子学报等杂志:《一维无限深势阱内粒子的动量分布》,两篇文章,<大学物理>1994,7;《关于同一问题的不同解法》;<大学物理>《编者的话》;<大学物理>《谈谈量子力学中的动量算符》;<大学物理>《也谈正则动量算符之争》;<大学物理>《编者的话》;<大学物理>《也谈一维无限深势阱内粒子(基态)的动量概率分布》
<大学物理>,1998,7;《关于量子力学基础的一个质
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