计量经济第八章

计量经济第八章IntroductoryEconometrics,LijunJia1第一页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia2LectureOutline本课提要WhatisHSK什么是异方差ConsequencesofHSK异方差的影响HSK-RobustInferenceafterOLSestimationOLS估计后的“对异方差稳健”统计推断第二页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia3TestingforHSK检验异方差TheBreuschnTest B-P检验TheWhiteTest White检验第三页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia4WeightedLeastsquares 加权最小二乘法WLSwhenHSKisknownuptoamultiplicativeconstant

当在比例意义上已知异方差时的加权最小二乘法WLSwhenHSKisofunknownform:thefeasibleGLS

当异方差具有未知形式时的加权最小二乘法：可行GLS第四页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia5WhatisHeteroskedasticity(HSK)

什么是异方差

Recalltheassumptionofhomoskedasticityimpliedthatconditionalontheexplanatoryvariables,thevarianceoftheunobservederror,u,wasconstant

同方差假定意味着条件于解释变量，不可观测误差的方差为常数

Ifthisisnottrue,thatisifthevarianceofuisdifferentfordifferentvaluesofthex’s,thentheerrorsareheteroskedastic

如果u的方差随x变化，那么误差是异方差的。第五页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia6.Educationlevelprimarysecondaryf(y|x)IllustrationofHeteroskedasticity异方差图示college..E(y|x)=b0+b1xwage第六页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia7Whydowecare?

为何关心异方差？Thestandarderrorsoftheestimatesarebiasedifwehaveheteroskedasticity.

如果存在异方差，那么估计值的标准差是有偏的。

Ifthestandarderrorsarebiased,wecannotusetheusualtstatisticsorFstatisticsorLMstatisticsfordrawinginferences. 如果标准差有偏，我们就不能应用通常的t统计量或F统计量来进行统计推断。第七页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia8TestingforHSK

检验异方差ReasonNo.1:WemayprefertoseetheusualOLSstandarderrorsandteststatisticsreportedunlessthereisevidenceofheteroskedasticity.

理由1：除非有证据显示异方差存在，我们仍会偏好于常规OLS的标准差及检验统计量。ReasonNo.2:Ifheteroskedasticityispresent,theOLSestimatorisnolongertheBLUE,thenitispossibletoobtainabetterestimatorthanOLS.

理由2：如果异方差存在，OLS不再是BLUE，那么就有可能得到比OLS更好的估计量。第八页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia9TheBreuschnTestforHSK

用B-P检验异方差

EssentiallywewanttotestH0:Var(u|x1,x2,…,xk)=s2,（8.11）whichisequivalenttoH0:E(u2|x1,x2,…,xk)=E(u2)=s2

本质上，我们想检验H0:Var(u|x1,x2,…,xk)=s2这等价于检验H0:E(u2|x1,x2,…,xk)=E(u2)=s2（因为zeroconditionalexpectation）

第九页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia10Ifweassumetherelationshipbetweenu2andxjwillbelinear,cantestitasasetoflinearrestrictions

如果我们假设u2

和xj之间具有线性关系，则可以通过一组线性约束来完成检验。

So,foru2=d0+d1x1+…+dkxk+v（8.12）

thismeanstestingH0:d1=d2=…=dk=0（8.13） 所以,对于u2=d0+d1x1+…+dkxk+v

这意味着检验H0:d1=d2=…=dk=0第十页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia11TheBreuschnTestforHSK

用B-P检验检验异方差Underthenullhypothesis,itisoftenreasonabletoassumethattheerrorvisindependentofx1,…,xk.

在零假设下，通常可以假定误差v与x1,…,xk独立

TheneitherForLMstatisticsforoverallsignificanceoftheindependentvariablesinexplainingu2canbeusedtotestHSK.

那么，如果将u2视为被解释变量，检验全部解释变量显著性的F统计量就可以用来检验异方差。Theyareasymptoticallyvalidtestsinceu2isnotnormallydistributedinthesample.

由于u2在样本中不是正态分布，这些统计量只在渐近的意义下适用。第十一页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia12TheBreuschnTestforHSK

用B-P检验异方差TheerrorcannotbeobservedbycanbeestimatedfromOLSresiduals.

不可观测的误差可以通过OLS残差进行估计。

Afterregressingtheresidualssquaredonallofthex’s,canusetheR2toformanForLMtest. 将残差平方对所有的x回归之后，可以通过R2构造F检验。(8.15)

第十二页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia13TheBreuschnTestforHSK

用B-P检验异方差第十三页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia14TheBreuschnTestforHSK

用B-P检验检验异方差第十四页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia15TheBreuschnTestforHSK

用B-P检验检验异方差第十五页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia165.然后看F和LM值的大小，或者对应的p值。如果F和LM值很大或者p值很小，则可以拒绝零假设！

第十六页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia17TheWhiteTestforHSK

用White检验检验异方差

TheBreusch-Pagantestwilldetectanylinearformsofheteroskedasticity B-P检验可以识别任意线性形式的异方差

TheWhitetestallowsfornonlinearitiesbyusingsquaresandcrossproductsofallthex’s White检验通过加入x平方项和交叉项引入了一定的非线性。

StilljustusinganForLMtotestwhetherallthexj,xj2,andxjxharejointlysignificant

仍然是用F和LM检验来检验xj,xj2,xjxh是否联合显著第十七页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia18TheWhiteTestforHSK

用White检验检验异方差Thiscangettobeunwieldyprettyquickly.

这个办法很快就会显出其笨重之处。Forexample,ifwehavethreeexplanatoryvariables,x1,x2,and

x3thentheWhitetestwillhave9restrictions:3onlevels,3onsquares,and3oncross-products.

例如，如果我们有三个解释变量x1,x2,x3那么White检验有9个约束，三个对线性项，三个对平方项，三个对交叉项。（如8.19）

Withsmallsamples,degreesoffreedomwillsoonberunoutwithmoreregressors.

在小样本情形，自由度将会随着解释变量数目增加而迅速减少。第十八页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia19AlternateformoftheWhitetest

White检验的变形

ConsiderthatthefittedvaluesfromOLS,ŷ,areafunctionofallthex’s

考虑到OLS的预测值ŷ是所有x的函数。

Thus,ŷ2willbeafunctionofthesquaresandcrossproducts.Therefore,ŷandŷ2canproxyforallofthexj,xj2,andxjxh.

因此，ŷ2是平方项和交叉项的函数。ŷ

和ŷ2可以用来替代所有的xj,xj2,xjxh第十九页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia20AlternateformoftheWhitetest

White检验的变形Regresstheresidualssquaredonŷandŷ2andusetheR2toformanForLMstatistic,将残差平方对ŷ

和ŷ2回归(8.20)， 用R2来构建F或LM统计量Nowweonlyneedtotest2restrictionsnow.现在只需要检验两个约束Page283检验过程！

第二十页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia21WhitetestKeeptheR-squaredfromthisregression，第二十一页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia22WeightedLeastSquares

加权最小二乘法

Whileit’salwayspossibletoestimaterobuststandarderrorsforOLSestimates,ifweknowsomethingaboutthespecificformoftheheteroskedasticity,wecantransformthemodelintoonethathashomoskedasticerrors–calledweightedleastsquares.

对OLS估计稳健标准差总是可能办到的，但是，如果我们知道一些关于异方差结构的信息，我们可以将原模型转化为具有同方差的新模型，这称为加权最小二乘法。第二十二页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia23WeightedLeastSquares

加权最小二乘法InsuchcasesweightedLeastsquaresismoreefficientestimatesthanOLS,anditproducestandFstatisticsthathavetandFdistributions. 在这些情况中，加权最小二乘法比OLS更为有效。对应的t和F统计量具有t和F分布。第二十三页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia24GeneralizedLeastSquares

广义最小二乘法

EstimatingthetransformedequationbyOLSisanexampleofgeneralizedleastsquares(GLS)

通过OLS估计变换后的方程可以作为广义最小二乘法（GLS）的一个例子

GLSwillbeBLUEinthiscase GLS在这种情形下为BLUEGLSisaweightedleastsquares(WLS)procedurewhereeachsquaredresidualisweightedbytheinverseofVar(ui|xi) GLS是加权最小二乘法（WLS）在权重为Var(ui|xi)倒数时的特例。第二十四页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia25WeightedLeastSquares

加权最小二乘法

WhileitisintuitivetoseewhyperformingOLSonatransformedequationisappropriate,itcanbetedioustodothetransformation

尽管对变换后的模型做OLS是直观的，但是变换本身可能很繁琐。

Weightedleastsquaresisawayofgettingthesamething,withoutthetransformation

加权最小二乘法可以完成相同的目的，但是不需要进行变换。

Ideaistominimizetheweightedsumofsquares(weightedby1/hi)

想法是最小化加权平方和（权重为1/hi）第二十五页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia26WeightedLeastSquares

加权最小二乘法第二十六页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia27FeasibleGLS

可行GLS

Moretypicalisthecasewhereyoudon’tknowtheformoftheheteroskedasticity

更典型的情形是你并不知道异方差的形式

Inthiscase,youneedtoestimateh(xi)

此时，你需要估计h(xi)Typically,westartwiththeassumptionofafairlyflexiblemodel,suchas

我们可以从一个非常灵活的方程形式入手

Var(u|x)=s2exp(d0+d1x1+…+dkxk)Sincewedon’tknowthed,mustbeestimated 由于d未知，我们必须对它进行估计。第二十七页，共二十九页，编辑于2023年，星期五IntroductoryEconometrics,LijunJia28FeasibleGLS(continued)

可行GLS

Oura