数学归纳法及其应用论文

自学考试本科毕业论文论文题目：数学归纳法及其运用学校名称：桂林师范高等专科学校专业名称：数学教育准考证号：************* 名：***指导教师：**目录内容摘要一、数学归纳法的由来（一）数学归纳法的概念（二）数学归纳法的命名（三）归纳法的证明二、数学归纳法的步骤三、数学归纳法的几种形式（一）第一数学归纳法（二）第二数学归纳法（三）倒推归纳法（四）跳跃归纳法（五）螺旋式归纳法四、数学归纳法的应用（一）数学归纳法在生物方面的应用（二）数学归纳法在初等数学方面的应用（三）数学归纳法在几何方面的应用五、数学归纳法的变体（一）从0以外的数字开始（二）针对偶数与奇数（三）递归归纳法六、数学归纳法常见误区及注意（一）易错例题（二）数学归纳法需注意文献参考数学归纳法及其应用班级:数学教育2班姓名:何东萍指导老师：李政【内容摘要本文讲述了数学归纳法的历史由来和理论原理通过数学归纳法的基本形式的学习和理解用相应实例进行解析说明数学归纳法在各方面的具体应用最后总结了数学归纳法的常见误区和应用技巧并对未来发展的场景作出了预测在中学数学的过程中有一种很常见并且很基本的数学方法——数学归纳法。对于数学归纳法，人们常常有这样的疑问:数学归纳法的原理是什么？数学归纳法的证明过程为什么要用这样的规定格式？数学归纳法的应用前景会如何？【关键词】数学归纳法；归纳法的分类；归纳法的应用；一、数学归纳法的由来在最早的使用数学归纳法的证明出现于FrancescoMarlio的Artmtioumibido（1575年。Muoico利用递推系明出前n个奇数总是n^2，数学归法谜由此开。（一数归法的念数学归纳法有这么一个典型的例子：如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么第一张骨牌将倒下其中某一个骨牌倒了与其相邻的下一个骨牌也会倒所以我们可以由此推断出所有的的骨牌都将要倒也就能确定出这么一种递推关系只要能够满足这两个条件就会导致所有骨牌全都倒下用数学的方式可以简述:（1）第一块骨牌倒下；（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。这样，无论有多少骨,只要保证1（2）成立，就会全都倒下。关于数学归纳法，新教材是这样描述的:“从特殊的事例推出一般原理的推理方法叫做归纳法。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的命题的一种推理方法其既具有演绎法的特征又具有归纳的特征它是一种归纳公理综合运用归纳演绎推理的一种特殊的数学证明法。（二）数学归纳法的命名从表面上来看，数学归纳法似乎是属于归纳推理，事实上却不是。因为:数出P（1且P（k）到P（1是k1，2，3，有数n（n的部有明数值都有命题P（n）为真的结论。证明之所以成立是因为阿皮诺公理中的归纳原理。由此可见，数学归纳法是属于演绎。数学归纳法是演绎推理这岂不是与其名称中“归纳二字想矛盾吗？一个方面，从证明中涉及自然数n的角度看，证明第1）步是针对n=1进行的，这里的1是特殊的数所以这一步是对特殊对象进行讨论的（2步是“n=k时命题成立为出发点以此来推导“n=k+1时命题也成立k是代表“n=k到n=k+”的一般性递推。证明中对n的讨论顺序是“先特殊，后一般，符合“由易到难，由简到繁”的证明思路，同时也反映了人们发现规律的一般过程。另一个方面人们经历了无数次特殊的具体的验证性实践后总结出正整数集合的元素具有无穷次递推的后继关系并概括了这种规律得出了正整数的公理。当然实验中“验证——发现——想象对数学归纳法原理的产生是功不可没的如果没有验证性的探索和归纳就没有对后继数及其间包含递归关系的一般性认识也就没有数学归纳法原理的产生数学归纳法所完成的认识过程中经历了两千多年的坎坷发展，直到十九世纪才获得“数学归纳法”这一美称。（三）归纳法的证明（ln，，整数单道数13法地去研究关于正整数的问题那么解决问题是非常困难的探究如何对正整数集合（.r1845-1918大（.2。，1了理：①1。数a数)。③1。若a与b则a与b。设S合*若（1）1于S；（2当k于S，k（1于S则=*。，公，数数N关，学。二、数学归纳法的步骤一般地数学归纳法证明“命题P对于全体正整数成立”的步骤为（1证明P对于1成立（2证明“若P对于k成立则P对于k+1成立”当完（1）(2之后，即可推出P对于全体正整数都成立。数学归纳法的一般步骤:假设有一个与正整数有关的命题P（n（1）当n=1时命题成立（2假设n=k时命题成立借用n=k命题成立推出n=k+，该命题也成立。即这个命题对于一切正整数n都成立。三、数学归纳法的几种形式（一）第一数学归纳法在教学书中讲的数学归纳法，我们一般称为第一数学归纳法。其步骤:假设有一个与正整数有关的命题P（n（1）当n=1时，命题成立（2）假设n=k用k出1，对数n都。在1；在nk时明k1论。明证成合Q素a对1是，以a不于1，1得1为a合Q最以a-1是不属于Q，当n=a-1时，命题是成立的，既然对于a-1成立那么也对a也应该成立这与我们的假设矛盾所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。证明完毕。（二）第二数学归纳法当递推要涉及到小于k的时候，第一归纳法就要给第二数学归纳法让道了，第二数学归纳法与第一数学归纳法的区别在于证明第二步前者比后者能够更好的利用前面的命题所提供的条件所以有些命题运用第二数学归纳法进行证明更为方便。第二数学归纳法的步骤:设（n（1设（n在1（2于k数n（k*，k＞1）题P（n出P（1质P（n数n。法，推而得名的倒推归纳法是数学家柯西最先使用它证明了n个数的算术平均值大于等于这n个数的几何平均值。其步骤为：设P（n）是一个与自然数有关的命题。（1）验证对无穷多个自然数n命题P（n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1。（2设（1（k≥n）出（k，即0题P（n）数n（≥n）。0：成令M表示使题不立正数集合那么M≠0取m∈M（1）数n＞m得P（n数n为N。合M≠0数aa＞1（3（1）由a得1＞a与a是M中，。法“1若)然数12…n设k题)出P)则)数n。法体原为:题P（n，Q（n，（1证=n时P（n；0（2设P（k（o出Q（k设Q（k，出1；数n≥n，P（n，Q（n成0。四、数学归纳法的应用（一）数学在生物方面的应用例1：某生产队科学实验小组决定研究n（n2）种害虫之间的关系，然后明此n。设ai（i=2…k第i成

a1

，ak1

a2

……ak其中前一种可吞食后一种，用ai＞ak1表示可吞食，（1）当n2时，命题成立。（2）设nk时（k2，命题成立，现在我们考虑的情况在nk的情形里我们再加入一种害虫ak1。（我nk1们将k1种害虫分为两组k种害虫为第一一组，剩下的一种害虫为第二组，由假设得，第一k种害虫可排列成a1，a2……ak，使a得一种可吞食后一种，再将第二组的一种记为k1加入）有两种情况：a《1》若ak1>

a1

则可将ak1放在a1前面，即有ak1>

1

＞a2＞……＞ak。命题成立。《2》若

a1

＞ak1，再将ak1与a2放在一起比较，若ak1＞a2可将a2放在ak1前面这时有

a1

＞ak1＞a2＞……＞ak，即命题成立，若a2＞ak1将重复往下比较，11（k次）必有下列情形之一，ak1＞ak1＞ai问题解决。否则ak＞ak1即置ak1于ak之后此时必有a1＞a2

……＞ak＞ak1对从数(n2)成立。用例2明n35n能够被6除3（1）当n1时，15*16能够被6整除，命题成立。35 3（2设nk时，命题成立；即k3k能够被6整除。当nk1时，有(k)3(k1)(k33k23k)(5k5)(k35k)k(k1)5 3因为两个连续的数的乘积k(k)是偶数，33以k(k1)能够被6整除即(k3k)k(k1)6能够被6整除即nk133。用例3凸n边的n（2。，n≥3。当n＝3（2π=；设k，k边的k个（2当1图在1形A1A2~Ak-1AkAk+1中连续和一个三角形A1AkAk+1。明显的得出，k+1边形的内角和正好等于k边形的内角和与三角形的内角和。即k+1边形a1,a2,~,ak-1,ak+1的内角和等于k-2）π+π＝[（k+1）-2]π。n≥3数n凸n的n（2）。，，数学归纳法不仅贯穿我们数学的各门学科，而且在我们的日常生活中也起着重要的作用。五、数学归纳法的变体数学归纳法常常需要采取一些变化来满足实际的需求下面介绍一些常见的数学归纳法变体。（一）从0以外的数字开始如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数只是针对所有等于某个数字b的自然数那么证明的步骤需要做如下修改第一步证明当n=b时命题成立。果n出n1也。用个当n3时。数那：当n1时果nm成，出n2也。当0或2时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。（三）递归归纳法数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=，1，2，……m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，如果我们可以实现从k到k-1的递推k=，……，m的话，我们就可以应用归纳法得出对于任意的n=012题n在12，3t时成立，并对于意自数k由（k（1（k+2，P（1中t么P（n。六、数学归纳法常见误区及注意在数学归纳法的证明中我们不能缺少某一个步骤缺一不可换句话来说，数学归纳法的两个步骤都是必要的，否则将不完整，甚至会出现结果错误。（一）易错例题用数学归纳法证明等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1是否成立。证明:设n＝k时成立即2+4+6+…+2k＝k2+k+1则当n=k+1时2+4+6+…