2022年浙江省宁波市余姚梁辉中学高三数学文测试题含解析

2022年浙江省宁波市余姚梁辉中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知曲线，，则下面结论正确的是A．把曲线C1向右平移个长度单位得到曲线C2 B．把曲线C1向左平移个长度单位得到曲线C2C．把曲线C2向左平移个长度单位得到曲线C1 D．把曲线C2向右平移个长度单位得到曲线C1参考答案：D2.设其中实数满足，若的最大值为，则的最小值为 A． B． C． D．参考答案：B3.下列命题中，真命题的是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.在极坐标方程中，曲线C的方程是，过点(4,π/6)作曲线C的切线，切线长为Ａ．4

Ｂ．7

Ｃ．22

Ｄ．32

参考答案：C5.已知P是正四面体S-ABC表面SAB内任意一点，P到点S的距离为，P到直线AB的距离为，P到面ABC的距离为，有以下四个命题：①若，则P的轨迹为椭圆的一部分；②若，则P的轨迹为抛物线的一部分；③若成等差数列，则P的轨迹为椭圆的一部分；④若成等比数列，则P的轨迹为双曲线的一部分，其中正确的命题个数为（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个参考答案：C略6.设f：A?B是集合A到B的映射，下列命题中是真命题的是

A.A中不同元素必有不同的象 B.B中每个元素在A中必有原象 C.A中每一个元素在B中必有象 D.B中每一个元素在A中的原象唯一

参考答案：C略7.是虚数单位，若，则的值是（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：C8.中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（）A．3795000立方尺 B．2024000立方尺C．632500立方尺 D．1897500立方尺参考答案：D【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图为底面为侧视图是直棱柱，利用图中数据求出体积．【解答】解：由三视图可得，直观图为底面为侧视图，是直棱柱，体积为=1897500立方尺，故选D．9.已知双曲线的左、右焦点分别为,点A在双曲线上，且,则双曲线的离心率等于（

）A.2

B.3

C.

D参考答案：A10.若，则下列命题中正确的是（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：答案：D解析：用特殊值法，取ｘ＝可排除B、C，取x=可排除A，选D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线y＝a与双曲线的一条渐近线交于点P，双曲线C在左、右顶点分别为A1、A2，若，则双曲线C的离心率为

▲

参考答案：12.在区间上随机地取一个数x，若x满足的概率为，则

.参考答案：13.已知函数f（x）=，若命题“?t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命题，则实数k的取值范围是．参考答案：（，1]【考点】特称命题．【分析】由x＜1时函数的单调性，画出函数f（x）的图象，把命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命题转化为“任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立”，作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），求出切点和斜率，设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切于点（0，0），得切线斜率k=1，由图象观察得出k的取值范围．【解答】解：当x＜1时，f（x）=﹣|x3﹣2x2+x|=﹣|x（x﹣1）2|=，当x＜0，f′（x）=（x﹣1）（3x﹣1）＞0，∴f（x）是增函数；当0≤x＜1，f′（x）=﹣（x﹣1）（3x﹣1），∴f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，1）上是增函数；画出函数y=f（x）在R上的图象，如图所示；命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命题，即为任意t∈R，且t≠0时，使得f（t）＜kt恒成立；作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），则由（lnx）′=，得k=，即lnm=km，解得m=e，k=；设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）的图象相切于点（0，0），∴y′=[x（x﹣1）2]′=（x﹣1）（3x﹣1），则有k=1，由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与y=lnx（x≥1）图象相切，以及与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切时，直线恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，∴k的取值范围是（，1]．故答案为：（，1]．14.函数，且，，则的取值范围是__________．参考答案：由题得：，如图表示的可行域：则可得，又b=1,a=0成立，此时，可得15.记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为．参考答案：（﹣∞，﹣3]【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即A（﹣3，2），由x﹣a＞0，得x＞a，即B=（a，+∞），若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A?B，即a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3]【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础．16.函数的最小正周期为

，

．参考答案：17.已知则常数=_________.参考答案：1，解得。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.一个多面体的直观图和三视图如图所示：

（I）求证：PA⊥BD；（II）连接AC、BD交于点O，在线段PD上是否存在一点Q，使直线OQ与平面ABCD所成的角为30o？若存在，求的值；若不存在，说明理由．参考答案：（I）由三视图可知P-ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，

连接AC、BD交于点O，连接PO

．

………2分

因为BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，………………4分

即BD⊥PA．

………………6分（II）由三视图可知，BC＝2，PA＝2，假设存在这样的点Q，因为AC⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ为直线OQ与平面ABCD所成的角

……8分在△POD中，PD＝2，OD＝，则∠PDO＝60o，在△DQO中，∠PDO＝60o，且∠QOD＝30o．所以DP⊥OQ．

……10分所以OD＝，QD＝．所以．

…12分

19.设曲线：（），表示导函数．（I）求函数的极值；（II）数列满足，．求证：数列中不存在成等差数列的三项；（III）对于曲线上的不同两点，，，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于．参考答案：.解：（I），得当变化时，与变化情况如下表：＋0－单调递增极大值单调递减∴当时，取得极大值，没有极小值；

…………（4分）（II）∵，∴，∴

…………（6分）假设数列中存在成等差数列的三项，则，因此，数列中不存在成等差数列的三项

…………（8分）（III）（方法1）∵，∴，∴即，设，，是的增函数，∵，∴；，，是的增函数，∵，∴，∴函数在内有零点，

…………（10分）又∵，函数在是增函数，∴函数在内有唯一零点，命题成立…………（12分）（方法2）∵，∴，即，，且唯一设，则，再设，，∴∴在是增函数∴，同理∴方程在有解

…………（10分）∵一次函数在是增函数∴方程在有唯一解，命题成立………（12分）注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线不存在拐点，不给分。

略20.记函数在区间D上的最大值与最小值分别为与。设函数（），，令。（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；（2）当时，求关于的表达式；参考答案：（1）由题意

（2）当时，，，显然g(x)在上单调递减，在上单调递增，又此时故，

从而：=

21.在中，，，.（1）求的长；（2）求的值.参考答案：（1）在中，∵，∴（2）∵，∴∴，22.（本小题满分14分）已知函数（Ι）若曲线