高等数学二重积分详解

高等数学二重积分详解第一页，共二十一页，编辑于2023年，星期六一直角坐标系中的计算方法计算二重积分的基本思想：化为两次定积分oxyabcd

分别用平行于x轴和y轴的直线对区域进行分割，如图。ΔxΔyΔσ可见，除边缘外，其余均为矩形，其面积为可以证明：其中dxdy称为面积元素。第二页，共二十一页，编辑于2023年，星期六利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分（1）当积分区域为以下均设函数且在D上连续。如图所示：oxyabDoxyabzD相应的曲顶柱体如右图。第三页，共二十一页，编辑于2023年，星期六在区间[a，b]内任取一点x，过此点作与yoz面平行的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一个曲边梯形：底为高为x其面积为所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式，得oxyabzD第四页，共二十一页，编辑于2023年，星期六于是，得二重积分的计算公式：类似地，若积分区域为如右图所示，oxyDcd则二重积分的计算公式为第五页，共二十一页，编辑于2023年，星期六

总结：二重积分的计算就是转化为二次定积分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关键。这主要由积分区域D所确定。所谓先积线，后积点以第一种情况为例加以说明：如图：oxyabDx区间[a,b]是x的取值范围。在此区间内任取一点x，过该点自下而上作一条平行于y轴的射线，先穿过的边界是y的积分下限，第六页，共二十一页，编辑于2023年，星期六后穿过的边界是y的积分上限。第二种情形可同理讨论。对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化。如下图：oxyD1D2D3oxyD1D3D2第七页，共二十一页，编辑于2023年，星期六例1计算D为直线与抛物线所围的区域。不妨用两种情形分别进行计算，加以比较。法一先y后x。解：积分区域D如图。1oxyD将积分区域投影到x轴上，得到x的范围[0，1].在[0，1]上任取一点x，过该点作一条平行于y轴的射线，x先穿过的边界作y的积分下限，后穿过的边界作y的上限，这样就有第八页，共二十一页，编辑于2023年，星期六所以法二oxyD将积分区域投影到y轴上，得到y的范围[0，1].1在[0，1]上任取一点y，过该点作一条平行于x轴的射线，y则先穿过的边界为x的下限，后穿过的边界为x的上限，于是第九页，共二十一页，编辑于2023年，星期六所以小结：在二重积分的计算中，有时积分次序的选择显得相当重要，因而具体计算时，应注意观察积分区域的特征和被积函数的特点，选择恰当的积分次序，以便使计算尽可能简单。第十页，共二十一页，编辑于2023年，星期六例2将化成二次积分，其中D由围成。解：解方程组得这条直线和抛物线的交点为(8,4),(2,-2)，如右图。oxy1）先对y后对x积分：8得所以第十一页，共二十一页，编辑于2023年，星期六oxy2）先对x后对y积分：得如图。-24所以小结：显然1）较2）麻烦。第十二页，共二十一页，编辑于2023年，星期六例3计算其中D由围成。解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)，(0,0)，所围区域如右。oxy1先对x后对y积分：注意：若先对y后对x积分：第十三页，共二十一页，编辑于2023年，星期六的原函数无法用初等函数表示出来，因而此二重积分不能计算出来。例4交换下列二重积分的积分次序：解：这是先对y后对x的积分，积分区域为可知积分区域由所围成，如下图：第十四页，共二十一页，编辑于2023年，星期六oxy12-2故改变积分次序后得二、极坐标系中的计算方法

1直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中的二重积分如图所示的极坐标系中的积分区域D，Ao过极点O引射线和以极点为圆心的同心圆，它们将区域D分成许多第十五页，共二十一页，编辑于2023年，星期六小区域，除去含有边界点的小区域，其余小区域的面积为：Ao在圆周上任取一点，其中设其直角坐标为，它们的关系为所以第十六页，共二十一页，编辑于2023年，星期六因此此公式可将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分，其中为极坐标系中的面积元素。2化为二次积分一般均是先对r积分再对θ积分，因而主要是确定r、θ的积分上下限，分情况讨论：第十七页，共二十一页，编辑于2023年，星期六（1）极点在区域D外，如图：oAD则（2）极点在区域D的边界上，如图。oAD则第十八页，共二十一页，编辑于2023年，星期六（1）极点在区域D内，如图：oAθ则例5计算，其中D：解：积分区域是如图所示的环域，用极坐标计算方便。oxy12因而第十九页，共二十一页，编辑于2023年，星期六例6计算，其中

解：积分区域是如图所示的