线代总复习专题培训公开课一等奖市优质课赛课获奖课件

线性代数总复习一、行列式二、矩阵三、向量之间的关系四、线性方程组的解五、特征值与特征向量一、行列式1、二阶三阶行列式的计算2、n阶行列式的计算性质1行列式与它的转置行列式相等.性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．(1)利用行列式的性质计算（化为三角形）性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例计算行列式解(2)利用行列式展开计算定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即例二、矩阵1、矩阵的逆的求法（1）公式法（伴随法）（2）初等变换法行的初等变换例1

求方阵的逆矩阵.解（公式法）故（初等变换法）即初等行变换2、矩阵的秩矩阵秩的求法把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例解三、向量之间的关系1、线性组合

向量能由向量组线性表示．定义存在矩阵，使得矩阵方程有解判定线性表示能由线性表示存在矩阵，使得矩阵方程有解例设证明向量能由向量组线性表示，并求表示式。解只需证矩阵与矩阵有相同的秩。下面把矩阵化为行最简形：法一行的初等变换向量可由向量组线性表示。由最简形知，方程组的通解为从而其中为任意常数。法二设即也即其中为任意常数。解得其通解为故向量可由向量组线性表示，且其中为任意常数。定义则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．2、线性相关性定理判定例1解3、最大无关组及向量组的秩设有向量组，满足下面两个条件：如果能在中选出个向量（1）向量组线性无关；线性表示。（2）向量组中的每一个向量都能由向量组则称向量组为向量组的最大无关组。最大无关组所含向量的个数称为向量组的秩。向量组的秩的求法向量组的秩的秩矩阵最大无关组的求法且列向量组的一个最大无关组为因此四、线性方程组的解定理元线性方程组1)有唯一解2)无解3)无穷多解定理元齐次线性方程组有非零解定理设矩阵的秩，则齐次线性的解集的秩为线性方程组其中为任意实数。非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的一个特解为齐次线性方程组的基础解系为则非齐次线性方程组的解解为例求解非齐次方程组解：令则为任意常数）法1：法2：令得又原方程组对应的齐次方程组的通解是令得基础解系所以原方程组的通解是为任意常数）五、特征值与特征向量（1）如何求的特征值？解特征方程特征方程的根即为矩阵的特征值。（2）如何求属于特征值的特征向量？解齐次线性方程组其非零解即为属于特征值的特征向量1、特征值与特征向量的求法例

设求A的特征值与特征向量．解得基础解系为：使得则若存在可逆矩阵，（1）为矩阵的特征值（2）为对应于特征值的特征向量。2、方阵的对角化A能否对角化？若能对角例解解之得基础解系所以可对角化.注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．3、实对称矩阵的对角化利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.具体步骤为：例设求正交矩阵，使得为对角阵。解：当