数值分析总复习公开课一等奖市优质课赛课获奖课件

模型误差方法误差测量误差

舍入误差《数值分析》总复习数值代数解线性方程组的直接方法

一般的线性方程组解法：

列（全）主元素Gauss消元法

LU分解（直接三角分解法）

特殊的线性方程组解法：

平方根法（改进）对称正定矩阵

追赶法三对角方程组

矩阵表示与计算量

误差分析（条件数）：

向量、矩阵范数，

误差分析（条件数），

病态方程。右端项b的扰动对解的影响系数矩阵A的扰动对解的影响误差分析解线性方程组的迭代法方法

迭代方法：

雅可比（Jacobi）迭代法

高斯－赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法

松弛法

迭代矩阵的表示

迭代法的收敛判别：

矩阵的谱半径

迭代法的收敛定理及推论（迭代矩阵）

对系数矩阵A的三条判别原则

误差估计与停机准则雅可比(Jacobi)迭代法高斯—塞德尔（Gauss-Seidel)迭代法松弛法矩阵特征值与特征向量的计算

幂法（幂法加速）满足条件的实矩阵最大特征值及其相应的特征向量。反幂法满足条件的实矩阵最小特征值及其相应的特征向量，某一特征值及特征向量的校正。雅可比方法（旋转变换）实对称矩阵全部特征值及其相应的特征向量。

QR算法（豪斯豪尔德方法）中小型矩阵全部特征值及其相应的特征向量的最有效方法。数值逼近基本思想：基函数方法插值法函数逼近插值法

拉格朗日（Lagrange）插值及误差公式：

构造基函数

牛顿（Newton）插值及误差公式：

差商、牛顿插值公式；

差分（向前、向后、中心）、等距节

点插值公式。

埃尔米特（Hermite)插值及误差公式：

构造基函数、特殊及一般形式。

分段低次插值：

分段线性插值、分段埃尔米特插值。

样条插值构造方法

构造满足条件要求的多项式插值函数并给出截断误差（误差公式）。拉格朗日（Lagrange）插值及误差公式牛顿（Newton）插值及误差公式埃尔米特（Hermite)插值及误差公式分段低次插值龙格现象分段线性插值：分段三次埃尔米特插值：函数逼近

最佳平方逼近：

函数逼近：

法方程、正交多项式（格拉姆－施密特

方法、勒让德多项式、第一类切比雪夫、

其它正交多项式）及其误差。

数据拟合：

法方程、正交多项式（格拉姆－施密特

方法）及其误差。

函数最佳一致逼近：

近似最佳一致逼近（第一类切比雪夫性质）。

构造最佳平方逼近（法方程、正交多项式法）多项式，给出误差；法方程正交多项式平方误差为

勒让德多项式当区间为［－1,1］，权函数时，由

正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式。第一类切比雪夫多项式当区间为［－1，1］，权函数时，由序列正交化得到的正交多项式。

数值微分与数值积分

数值微分：差商型、插值型求导公式及截断误差，样条函数求数值微分（非节点处）。数值积分：牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式（对近似多项式插值函数求积，机械公式）复化求积公式(对近似分段低次插值函数求积)龙贝格（Romberg)求积公式(提高收敛速度)Gauss型求积公式(两组参数:节点{xk}、求积系数｛Ak}，最高代数精度为2n+1.Gauss点与正交多项式的关系，几种公式。)确定求积公式中的待定参数,代数精度的概念。牛顿—柯特斯型求积公式是封闭型的（区间[a,b]的两端点a,b均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,受此限制，牛顿—柯特斯型求积公式的代数精确度只能是n(n为奇数)或n+1(n为偶数)。高斯－勒让德公式高斯公式一般的高斯公式求取（由代数精确度）带权的高斯公式方程求解非线性方程解法

二分法及其条件

简单迭代法及收敛条件

如何判断简单迭代式是否收敛

Newton法

非线性方程线性化，切线法。

弦截法

用差商代替导数

抛物线法

由根的三个近似点构造函数的二次

插值多项式。收敛充分性定理收敛充分性定理(三)常微分方程数值解法

常微分方程离散化方法：差商近似导数、数

值积分、Taylor多项式展开。

Euler方法的理论解释、误差分析、收敛性。

数值稳定性概念与分析方法。

Runge-Katta方法的算法