年专转本数学真题答案

7ye3x(C1cos2xC2sin2x，其中C1、C2yy02

f(x,y)dx

y2y2

f(x,y)dx 9、yxy1dxxylnxdy 11、dy1

2xlnx 121 12x 13、x1x0x1是第一类可去间断点

e21

xdx

e2xex1

dxexln(1ex 、17yetanxdxsecxetanxdxdxCelncosxsecxelncosxdxCxC 0 yx00 C0y 18、解：原式2siny2dy1ydx1cos 192xy30fbf(xx1f1)0，即3ab0，得a

2即b fx2x22f(x2x32xcy3

f(x所以c0yf(x2x3320x

f

2xf'21y

21

2xy

f''12xyx

f''22 1f2y1f26

（3）

6，Vy522

f'(x)xf(x)

f'(x)xf(x)

f''(x)xf'(x)f'(x)

f''(x)x1

f''(0)f(ab)f(b)a

f'(1 (b1ab)f(a)f(0)a

f'(2 (b2 fx(0,cfff(0)0 f(a)f(b)f(ab)24、解：设每月每套为20010x，则租出设备的总数为40x，每月的毛收入为(20010x)(40x)，成本为：20(40x).于是利润为L(x)(18010x)(40x)7200220x10x2(0xL'(x)0xx0x11x40L(11)L(0)L(40)，故为(2001011)310元时利润最大. 12、(

15、edxlnxf(x, 2ex2ex 2 、 ， (x2y2192tx1x021时t1x0t1所以fx1dx

dx

101

dx1ln(1e1)ln(e220、原式

x2y2dx4drrdr 21yecosx(x23（1）k

221arcsin2x24 ln(1x) （2）f'(x)

x22 x22 24（1）S2dx6 dy0dx2 dy（2）V2(x22x4)2dx0(6x)2dx 2dx512

x cosx，因为F( 0,2F(xsinxF(x)cosx 2

0

x

0,

F

F F(x在0,arccos2 2 2在 arccos,时，F(x)0，即表明F(x)在arccos,内单调递减 2

2

2F)0F(x在

内单调递增 2

22F(x)0C(x)250002001x C(x) C(x)0x1000（件xP(x)C(x) 1x25000200x 2x

x 20 xP(xC(x)'0x1600 xP(xC(x)167000（元 9、e2 10、 0 3 1x2

1

dx2

f(x 13、原式lim[(1x2x2

1cosxlime

14、dz1sec2xdxxsec2x 15、1x2lnx1 y

2 16、原式1cos2

d2 217y

01

td2

1t dx 19x1f(x)

sin(xsin(xx

1，limsin(x1)sin(xsin(xxx1f(x)sin(x1)的第一类跳跃间断点

x2y2)dxdy

2

2cos(1r)dr

D D21（i）切线方程：y4 2（iii）VVV422 (4xx2)dx224 2 22f(xxex2f(0)20f(1)e20f(x在0,1内连f(x在0,1内至少存在一个实数f()0fxex(1x在23、解：设圆柱形底面半径为r，h，侧面单位面积造价为l，则有 Vr yr22lr2

2 由（1）hV代入（2）yl2r21r22V r 2V V2V 令y'l5rr20，得：r ；此时圆柱高h5 3 3

时造价最低324、解：f'(x) ，f''(x) ，f'''(x) 23(4

(4

(4f(n)(x)(1)n ，(4f(0)1，f'(0)

，f''(0)

，…，f(n)(x) 收敛区间

f(x)1

x1x

25、解：对应特征方程22301、3yCexCe3x 0不是特征方程的根，设特解方程为ybxb，代入原方程，解得： yCexCe3xx1 2004 7、e8、x1yz 10、1arcsin4x411

y 2y f(x,y)dx1dy f(x,

13、间断点为xk，kZ，当x0时，limf(x) x

x0sin当xk，k0，kZ时，lim ，为第二类间断点x0sin x(tantsin x1xxlim limtanxsinxlimtanx(1sinx) 1 3x x0 15x0y(0)1y'eyxeyy0x0y1y2e2 ex (x16、因为f(x)的一个原函数 ，所以f(x) x xxf'(2x)dx1xf'(2x)d(2x)1xdf(2x)1xf(2x)1f x(2x e2

x12xf(2x)4f(2x)d(2x) 8x

C

dxt x1 dt2 dt2arctant2 t(t2 1t2 18zf'f'y 2z

f''(1)f''xf'yf

f

f2f''(xy)f''xyf'' f219、原式

sinydxdy1dyysinydx

1(1y)siny yD

01(y1)cosy101

0cosydy1 1 n(x2)20、f(x) 4x 41

x24(1)

，(2x 21、证明：令tx，0xf(sinx)dx(tf(sin(t)dt0(tf(sin 0f(sinx)dx0xf(sin 故0xf(sinx)dx20f(sinx)dx，证毕 sin sin 0x1cos2xdx201cos2xdx2arctan(cosx)022xf(x)2xfxfxxf(x2xf(0)1px q2x pdxx，epdxe2x x

，epdxe2qepdxdx

2dx2ef(x

x2

x x22Ce2f(0)1x解得C3f(x23e402(50M(402(502(x402(50M2(x402(502

，0x50x50

6（公里，唯一驻点，即为所求6 8、e 2 y f(x, 13F(xx0处连续，所以limF(x)F(0)

limF(x)limf(x)2sinxlimf(x)f(0)2f'(0)2628 F(0)a，故a814dydt dx

costcosttsin

t

d2dx2

xtt xtt

csct3tan2xtanxsecxdx(sec2x1)dsecxsec2xdsecxsecx1sec3xsecx3. 11d(1x2216、原式xarctanx001x2dx42 121ln(1x2) 1ln

17xcosxf1xycosxf122y2ycos lAB

128(x3)9y1)22(z2)0，即8x9y22z59 1 1 )19、f(x)

x2 x2 2

1

1 2

1x2 3n0

，收敛域为1x120、y y 1dx 1 y x

exdxC x x因为y(1)e，eeC，所以C0，故特解为y x21、证明：令f(xx33x1x1,1，且f(1)30f(1)f(1)0

f(1)1022yf(xf(2)4f2)3f2)0y''6xay2)0得a12y''6x y''6x12y'3x212xCy2)3，解得C9 yx36x29xC2y(2)4，解得C22yx36x29x2.23（1）S11y2dy1y310 （2）Vx

2(122x)dx(xx2 24D为：1yuyx （1）F(u)f(x)d

f(x)dy1(x1)f(x)dx （2）F'(u)(u1)f(u)，F'(2)(21)f(2)f(2) 8、f(x0) 9、1 11、exy(ysinxcosx) 13、原式

13x3x11 2x1

x yx

1t

t，d2

1t'dx '

t1t15、原式

21lnxd(1lnx) (1lnx)223 16、原式2x2dsinxx16、原式2x2dsinxx2sinx22xsinxdx2xdcos 0

2xcosx4

22cosxdx y ，令p则y'pxp'，代入得：xp'p2，分离 x dp dx，故lnxC，y p

lnx n

(1)n18、令g(x)ln(1x)，g(0)0，g(x)

xdx

n1 (1)nf(x)

n1

，1x1

4

2i3jx3y1

z. 2 3 、

f2

2xf

x(f

2xf

y)2xf

2xf

xyf2221、令f(x3xx3，x2,2，fx33x20，x1，f(1)2，f(1)2f(2)2f(2)2fmin2fmax2，故2f(x23xx32.22y'2xyy(0)0y2x2)Cexy(0)0得C2y2x22ex23（1）S2(8x2x2dx（2）V （2）V

8y)2dy 24f(x)dxdy0dx0f(x)dyt0f t tlimg(t) f(x)dx0g(tag(0)limg(t)t t t0当t0时，g'(t) f(t)0当t0g0

g(h)g(0)

hf(x)dx

limf(h)

f f(t)2007 7、ln 9、 10、2111dxx

12y5y'6y y13limexx1limexx1limex1lime

1

xtan

x

x0

ex14、解：方程exeyxyx求导数得exeyyyxy

y'

eyx0y0

x

1

d2dxd2dx

215x2exdxx2d(ex)x2ex2xexdxx2ex2xd(exx2ex2xex2exC 1x

cos2tdt116xsint，则2

x4x

2

17x2f1yf2xy2(f113f12xf2yf213f226f''(2x3y)f''xyf''f

'

y0yCx 可设原方程的通解为yC(x)x.Cx)xC(x)C(x)2007xCx2007C(x2007xCy(2007xC)x.y(1)2008，所以C1，于是所求特解为y(2007x1)x.（本题有多种解法，大家不妨尝试一下）

故所求平面方程为2(x1)y2)3(x3)0，即2xy3z50

x2y2dxdy2dd2d

2

2d

82

d6 3 （2）由题意得

(1y2dy (1y2dy.由此得(1a21(1aa

.解得a1

1)314122fx3ax22bxcfx6ax2bay ax 23DyxbDay 2x 2x 2x 2 x2a

f dxf

f dya

f

eDbf(x)e2x(exea)dxb(e3xe2xa)f(x)dxD x24、证明：令F(x)lnx ，显然，F(x)在0,上连续.由于xF'(x) x2x(x

x 于是，当0x1时，F(xF(1)0lnx(x21)lnx(x1)2

x

，又x10，故x1F(xF(1)0，即lnxx1x210，故(x21)lnxx1)2xx0时，总有(x21)lnxx1)2 2、A3、 5、A6、 9、(1,10cosx1x2

2 12、[2,2

x

)3xlim(1

lim(1

2x

y

lim(x2)3xlim(11)y61 ))dy

d2

15x

dxx31dxd(x1)dx(x2x1)dxlnx1x xx3x2 x ln

10020e0161ex2dx1ex2d(x2)210020e0

x2x2dx221ex2de22(x2

0101ex2dx010 1x ＝2e

e2dx22e2ex2

2e2e2 (－230 －2－2 2nABAC

1 f‘1

f

2z

f，＋1f

y(f’

f’ x

22

2

—x

x＝f''

f''

1f'

f''

f x

x2

x x 119xdxdydxxdydxxx D x4xx4x2xdx

xdx

0

0

eln

21x 2 x x

1x

等式两边积分得到通解 yx2lnxx

x 021F(xyxyxyFx(x0y0x2Fy(x0y00所以过曲线上任一点(xy的切线方程为：xx0yy0x1 x1X＝0时，yy

001y0y＝o时，xxx2yx0 F(xy1yx2yxF(xy的最小值x x0

0 1x1x2(

x4xy1xxxxxx

05522（1）V0

)dx

05 由题意得到等式：a(2x2x2dx1(2x2x2 化简得：ax2dx1x aa31a1 23g(x)f(xaf(xg(a)f(2af(ag(0)f(af在0，a上连续.故存在0，ag()f(a0f(24、将ex 展开得到：ex11x1x2 (1x)ex1x)(11x1x211x21x3 7、ln 3

2xz

12、lnx

1x2

2lnyy x

、lim lim 6x0xsin x01cos14、dx 1dt,dy(2t2)dt，dy(2t2)dt2(t1)21dd2y dx4(t 11

11

t22x t,x2x2 2x1dxsinttdttdcosttcostcost2x2xtcostsintC2x2x 2sin，当x0,0；当x1,42xx2xx

2sin22 cosd2

4(1cos2)d( 的法向量可取为ns0n0(3,2,1)(1,1,1)

11,2,1).又显然点(0,1,1在所求平面上，故所求平面方程为1(x1)2y1)1(z2)0x2yz0 2D42 2D42DydD

2sindd2sind

2(8csc2334

21(8cot23

f'cosxf'y

2

f'xcosxf

xyf

21

20(xe

elnx 2

x1x

x 等式两边积分得到通解 xyx2lnxx21（1）f(xRfx3x23fx0得x1f的单调增区间为(1],[1,，单调减区间为[1,1]f(1)3，极小值为f(1)1.上是凹的，点0,1)为拐点f(1)3f(1)1f(3)19f(x在闭区间[2,3f(3)19f(1)f(2)

22（1）

a22a

x2dya4.2

dy

(32a)5（2）A a

2dx2

3.A

(8a3).由AA得a 3 323、证（1）limf(xlimex1limf(xlimx1)1f(0)1 f(xx0

f(x)f(0)

ex11，

f(x)f(0)

x1

1

x

x

所以f'(0) f'(0)1.由于f'(0)f'(0)，所以函数f(x)在x0处不可导24、 f(x)4xlnxx22x ， f'(x)4lnx2x f''(x)

4242x，由于当1x2时，f''(x)0，故函数 增加，从而当1x2fxf10f(x在[121x2f(xf(1)0，即当1x24xlnxx22x 7、e

10、2

13、原式limxtan

limxtan

lim1sec2xlimtan2x1

x2tan

3x

3x 、

2ex 1ex

d2ydx

9ex15、原式1x2arctanx1x1arctanx2x2xt2

t，x

t22

，dxtdt 原式

tdt

3(t

5)dt(1t