2023新教材高中数学课时分层作业45古典概型新人教A版必修第二册

课时分层作业(四十五)古典概型一、选择题1．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则第一册和第二册相邻的概率为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)C[设一部三册的小说为1，2，3，所以试验的样本空间Ω＝{(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)}，共6个样本点，事件“第一册和第二册相邻”包含4个样本点，故第一册和第二册相邻的概率为P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)．]2．某天放学后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．若他们随机依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,5)A[2位男同学和2位女同学走出教室的所有可能顺序为(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，共6种，所以第2位走出的是男同学的概率P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)．故选A．]3．(多选题)在4件产品中，有一等品2件，二等品1件(一等品与二等品都是正品)，次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是()A．两件都是一等品的概率是eq\f(1,3)B．两件中有1件是次品的概率是eq\f(1,2)C．两件都是正品的概率是eq\f(1,3)D．两件中至少有1件是一等品的概率是eq\f(5,6)BD[由题意设一等品编号为a，b，二等品编号为c，次品编号为d，从中任取2件的基本情况有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6种．对于A，两件都是一等品的基本情况有(a，b)，共1种，故两件都是一等品的概率P1＝eq\f(1,6)，故A错误；对于B，两件中有1件是次品的基本情况有(a，d)，(b，d)(c，d)，共3种，故两件中有1件是次品的概率P2＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，故B正确；对于C，两件都是正品的基本情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故两件都是正品的概率P3＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，故C错误；对于D，两件中至少有1件是一等品的基本情况有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率P4＝eq\f(5,6)，故D正确．]4．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为()A．eq\f(2,5)B．eq\f(2,10)C．eq\f(3,10)D．eq\f(3,5)C[从五个人中选取三人，则试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为eq\f(3,10)．]5．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为()A．eq\f(1,8)B．eq\f(1,4)C．eq\f(3,8)D．eq\f(1,2)C[从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m＝3，∴所求概率为P＝eq\f(3,8)．故选C．]二、填空题6．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．eq\f(1,5)[设所取的数中b>a为事件A，如果把选出的数a，b写成一数对(a，b)的形式，则试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)}，共15个，事件A包含的样本点有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个，因此所求的概率P(A)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)．]7．投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次向上的点数小于第二次向上的点数，则我们称其为正试验；若第二次向上的点数小于第一次向上的点数，则我们称其为负试验；若两次向上的点数相等，则我们称其为无效试验．则一个人投掷该骰子两次出现无效试验的概率是________．eq\f(1,6)[连续抛一枚骰子两次向上的点数记为(x，y)，则有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36个基本事件，设“出现无效试验”为事件A，则事件A包含(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，共6个基本事件，则P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)．]8．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为________．eq\f(1,3)[用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则试验的样本空间Ω＝{(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)}，共6个样本点，其中事件B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2个样本点，故所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)．]三、解答题9．月考中某班6名同学的数学、物理成绩对应如下表：数学成绩122105113127130135物理成绩116121127135130140规定成绩不低于120分的为优秀．(1)由表可知6人中有4人数学成绩为优秀，现从这6名同学中抽2人，这2人的数学成绩都为优秀的概率是多少？(2)从这6名同学中抽3人，求两科成绩均为优秀的人数恰为1人的概率？[解](1)记事件A∶2人的数学成绩都为优秀，设4位数学成绩优秀的同学为1，2，3，4；设2位数学成绩不优秀的同学为A，B．总的基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，A)，(1，B)，(2，3)，(2，4)，(2，A)，(2，B)，(3，4)，(3，A)，(3，B)，(4，A)，(4，B)，(A，B)共15种，A事件包含的基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)共6种，所以P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)．(2)由表知两科成绩均为优秀的有3人设为1，2，3；不都优秀的3人设为A，B，C．记事件B∶3人中两科成绩均优秀的人数恰为1人，基本事件有(1，2，3)，(1，2，A)，(1，2，B)，(1，2，C)，(1，3，A)，(1，3，B)，(1，3，C)，(1，A，B)，(1，A，C)，(1，B，C)，(2，3，A)，(2，3，B)，(2，3，C)，(2，A，B)，(2，A，C)，(2，B，C)，(3，A，B)，(3，A，C)，(3，B，C)，(A，B，C)共20种，B事件包含的基本事件有：(1，A，B)，(1，A，C)，(1，B，C)，(2，A，B)，(2，A，C)，(2，B，C)，(3，A，B)，(3，A，C)，(3，B，C)共9种，所以P(B)＝eq\f(9,20)．10．某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率．[解](1)由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3，2，1．(2)在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3，2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即样本点的总数为15．抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)．1．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)D[设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为eq\f(12,24)＝eq\f(1,2)．故选D．]2．(2021·全国甲卷)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8C[把3个1和2个0排成一行，共有10种排法，分别是00111，10011，11001，11100，01011，01101，01110，10101，10110，11010，其中2个0不相邻的排法有6种，分别是01011，01101，01110，10101，10110，11010，所以所求概率P＝eq\f(6,10)＝0.6．故选C．]3．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注．大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位……上面一颗珠(简称上珠)代表5，下面一颗珠(简称下珠)代表1，即五颗下珠的大小等于同组一颗上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一颗上珠，从个位、十位和百位这三组中随机往上拨2颗下珠，算盘表示的数能被5整除的概率是()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(3,4)B[由题意可知，若上珠下拨的是个位，表示5，下珠上的两个都在个位、十位、百位，这时表示的数是5＋2＝7，5＋20＝25，5＋200＝205；若上珠下拨的是十位，表示50，下珠上的两个都在个位、十位、百位，这时表示的数是算盘所表示的数是50＋2＝52，50＋20＝70，50＋200＝250；若上珠下拨的是个位，表示5，下珠上的两个分别在个位、十位、或者个位、百位，或者十位、百位，这时表示的数是5＋11＝16，5＋101＝106，5＋110＝115；若上珠下拨的是十位，表示50，下珠上的两个分别在个位、十位、或者个位、百位、或者十位、百位，这时表示的数是50＋11＝61，50＋101＝151，50＋110＝160，所以表示的数可能有7，16，25，52，61，70，106，115，151，160，205，250，其中能被5整除的有6个，故所求事件的概率为P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)．故选B．]4．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是eq\f(1,2)．(1)n＝________；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．记事件A表示“a＋b＝2”，则事件A的概率为________．(1)2(2)eq\f(1,3)[(1)由题意可知：eq\f(n,1＋1＋n)＝eq\f(1,2)，解得n＝2．(2)不放回地随机抽取2个小球的样本空间Ω＝{(0，1)，(0，21)，(0，22)，(1，0)，(1，21)，(1，22)，(21，0)，(21，1)，(21，22)，(22，0)，(22，1)，(22，21)}，共12个，事件A包含的样本点为：(0，21)，(0，22)，(21，0)，(22，0)，共4个．所以P(A)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)．]某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3