第六章方程求解与最优化问题math chap

第6章资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》代数方程与最优化问题的计算机求解高等应用数学问题的MATLAB求解（第三版）清华大学出版社2013，2008，2004CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬第6章代数方程与最优化问题的计算机求解资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》学好最优化技术可以提升研究者的水平代数方程的求解无约束最优化问题求解有约束最优化问题的计算机求解混合整数规划问题的计算机求解线性矩阵不等式问题求解多目标优化问题求解动态规划及其在路径规划中的应用6.1

代数方程的求解资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》代数方程是实际科学与工程中经常需要求解的数学问题。第4章介绍了代数方程与矩阵方程的求解方法，本节主要内容代数方程的图解法多项式型方程的准解析解法一般非线性方程数值解非线性矩阵方程求解、高精度方程求解6.1.1

代数方程的图解法资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》图解法是有局限性的，只能用于一元方程的图解法二元方程的图解法用ezplot()函数可以绘制出给定的隐函数

f(x)=0曲线，所以可以用图解法从给出的曲线和y=0

线的交点上读出所有的实数解。例6.1

图解法解一元方程用图解法求解方程：MATLAB求解命令验证：t

=0.6738资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》例6.2

图解法解二元方程用图解法求解联立方程画第一个函数画第二个函数资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》6.1.2

多项式型方程的准解析解法资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》特殊的高阶方程如多项式型方程，可以用solve函数直接解出Abel-Ruffini定理说明5阶和5阶以上的多项式型方程没有一般的解析解法一般的数值算法得出的解不精确得出高精度解的方法存在很多方程可以转换成多项式方程例6.3

图解法解方程试用图解方法求解二元方程MATLAB求解命令：显然，一个圆，一条三次曲线，两个交点问题：方程总共有多少个根？资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》求解多项式型方程的函数调用格式书上介绍的是solve函数，建议vpasolve，并建议新的调用格式与solve相比，vpasolve还运行选择初值描述方程的格式有变化方程求解的MATLAB函数资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》鸡兔同笼问题数学问题如何求解？求解线性方程直接求解资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》例6.4

高阶方程准解析求解使用solve()函数求解MATLAB求解命令方程描述资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》例6.5

三元方程解析解试求解MATLAB求解命令检验资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》最后一个式子改写成MATLAB求解命令：修改方程再求解资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》例6.6

复杂方程的准解析解试求解MATLAB求解与检验命令资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》例6.7

解含有参数的方程试求解带有参数的方程如果方程存在解析解，仍然可以使用solveMATLAB求解命令更高次带有参数的方程没有解析解资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》6.1.3

一般非线性方程数值解求多元方程的一个实数根最简求解语句一般求解语句带有附加参数资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》选择方法和修改控制精度的函数调用格式获得默认的常用变量设置控制参数直接修改或其他重要参数：TolFun,MaxIter,MaxFcnEvals等求解方程的控制参数资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》求解数值代数方程组的步骤设置变量，使等式变成如下所示按如下方式描述等式M-函数匿名函数Inline函数，不推荐使用求解方程组检验解的正确性资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》例6.8

方程的数值解数值方法求解选择变量把原始方程组变为变成矩阵形式资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》描述方程的方法M-函数匿名函数Inline函数资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》当初值选为当使用另一个搜索初始点注意：选择不同的初值可能得出不同的结果复数初值可能得出复数根在初值下搜索根资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》例6.9

方程的图解与解析解数值方法解使用solve()函数：使用图解法求初始值：资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》重新设置相关精度的控制变量所期望的精度可能过于严苛，无法达到，但能尽可能精确可以得到双精度下的最好结果控制求解精度资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》6.1.4

求解多解方程的全部解Riccati

方程（第4章）更多的非线性矩阵方程，例如，广义Riccati方程类Riccati方程还有很多很多的矩阵方程资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》多解方程求解的程序设计函数调用函数清单资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》例6.10

Riccati方程全部解求解下列Riccati方程组：其中资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》are()

函数只能能得出一个解使用MATLAB命令原方程有8个实根Ctrl-C中断求解，或等几分钟自动停止复根Riccati方程全部的根资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》例6.12

另一个方程的求解变形Riccati方程其中求出并检验全部的根资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》没有其他方法能求出所有实根、复根？给出下面求解语句原方程有16个实根，总共38个复数根变形Riccati方程求解资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》例6-12

联立方程求解求非线性方程组全部根感兴趣区间图解法资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》设定求解区间[-2*pi,2*pi]求解用图解法显示出找到的全部根能否求出所有的根？资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》例6-13

多解方程求解非线性方程组图解法求出所有根绘图资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》6.1.5

非线性方程高精度求解采用vpasolve

可以求出精确的解并允许选择初值对某些矩阵方程，可以求出其全部的根可以直接使用方程求根，也可以仿照

more_sols函数求取一般非线性代数方程的高精度数值解资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》例6-14

Riccati方程求解Riccati方程直接求解资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》得出解的提取与验证解的提取原方程的解为结构体数据，需要先转换成cell结构，然后再转换成矩阵解的验证以第5个根为例资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》非线性方程的高精度求解编写新函数资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》例6-15

非线性方程求解非线性方程求解资源共享课《现代科学运算——MATLAB语言与应用》方程求解小结资源共享课《现代