高数a4微积分四总复习

多元函数积分学第一部分（按积分区域分类）积分区域定积分二重积分三重积分D曲线积分曲面积分一型：对弧长二型：对坐标二型：对坐标Stokes

公式一型：对面积Gauss公式W多元函数积分学小结积分区域推广推广推广推广一、曲线积分一、曲线积分Lf

(

x,

y)ds2

2ba=x¢(t

)

+

y¢(t

)

dt,

(a

<

b

).f

[

x(t

),

y(t

)]L

P(

x,

y)dx

+

Q(

x,

y)dy¢{P[

x(t

),y(t

)]x

(t

)

+

Q[

x(t

),

y(t

)]y

(t

)}dt¢=ba1.2.3.4.起点：t

=a

fi

终点：t

=b格林公式3.

格林公式L

Pdx

+

Qdy

=

D

(Qx

-

Py

)dsL：D的边界曲线取正向四个等价命题4.

四个等价命题Q

x

=

PyL

Pdx

+

Qdy

=

0L

Pdx

+Qdy

与路径无关du

=

Pdx

+

Qdy第一类1.

第一类第二类2.

第二类二、 曲面积分二、 曲面积分S

f

(

x,

y,

z)dS1.x

yf

[

x,

y,

z(

x,

y)]

1

+

z2

+

z2

dxdyx

y=DDx

y

:投影区域2.3.S

Pdydz

+

Qdzdx

+

Rdxdy第二类2.

第二类

=

S

F

dSz

x–

Dx

yQ[

x

,

y(

x

,

z

),

z

]dzdx

–

Da

,b

,g为锐角时取正,为钝角时取负）高斯公式3.

高斯公式S

Pdydz

+

Qdzdx

+

Rdxdy

=

W

(

Px

+

Qy

+

Rz

)dvS

:闭区域W

的边界曲面取外侧。y

zP[x(

y,

z

),

y,

z]dydzR[

x,

y,

z(

x,

y)]dxdy=

–D第一类1.

第一类应用：平面物体的面积、质量、质心、转动惯量——

二重积分空间物体的体积、质量、质心、转动惯量——

三重积分曲线形物体的弧长、质量、质心、转动惯量——第一类曲线积分变力沿曲线作功——第二类曲线积分曲面形物体的面积、质量、质心、转动惯量——第一类曲面积分流向曲面一侧的流量(通量)——第二类曲面积分D

ds

=D

的面积W

dv

=W

的体积

L

ds

=L

的弧长S

dS

=S

的面积。掌握：1，各类积分的计算方法

2，对称性3，其它性质曲线、曲面积分中注意：曲线、曲面积分中注意：1

2

3分清类别，用准公式(代入方程,注意方向)若

L

=

L1

+

L2

+

L3

,

则L

=L

+L

+L若S

=S1

+S

2

+S

3

,则S

=S1

+S

2

+S

33.

Qx

=Py

时，

L

Pdx

+Qdy

与路径无关Qx

„Py

时，利用格林公式：

L

Pdx

+

Qdy

=

D

(

Qx

-

Py

)dsD:

L

所围平面闭区域，L：闭曲线取正向（若L

非闭曲线，则加辅助线）4.当

Px

+

Qy

+

Rz

在S上连续且为较简单函数时利用高斯公式：

S

Pdydz

+

Qdzdx

+

Rdxdy

=

W

(

Px

+

Qy

+

Rz

)dvW

:S

所围空间闭区域，S：取外侧方向。（若∑非闭曲面，则加辅助面）当

Px

+

Qy

+

Rz

在S上不连续且为复杂函数

时直接在各坐标面投影，利用公式化为二重积分进行计算。(1)

设平面曲线L

为下半圆周y

=-1

-x2

,则2

2曲线积分

L

(

x

+

y

)

ds=

.∵将路径方程代入被积函数=1

，\

L

(

x

+

y

)ds

=

ds

=2

2L（下半圆周长即半个半径为1

的圆周长）例1：填空题：例

题例

题R2

-

x2(2)

设L为圆周

x2

+

y2

=

R2

,3则

L

(2

x

+

y

)

ds=

0

.L

=

L1

+

L2L1

:

y=

R2

-

x2

L2

:

y=

-3

3L

(2

x

+

y

)ds

=

(L

+

L

)(2

x

+

y

)ds1

2=R-Rx)2

dx[2

x

+(

R2

-

x2

)3

] 1

+(-+R-RR2

-

x2xR2

-

x2)2

dx[2

x

+(-

R2

-

x2

)3

] 1

+(L2

2例2：

计算

e

x

+

y

ds,

L

:

x

=

0,

y

=

0,x2

+y2

=R2

(R

>0)在第三象限所围区域的整个边界。xL

=

L1

+

L2

+

L3

,L1

:

x

=

0,

ds

=

dy,L2

:

y

=

0,

ds

=

dx,L3

:

x

=

R

cosq

,

y

=

R

sinq

,

ds

=

Rdq

,L\

ex2

+

y2-R-x03p

2pe

R

R

dqdx

+2=

2(e

R

-

1)

+

p

Re

R

.dy

+

ee-R-

yds

=0解：y-

R

0-

RI

=

L

(

x

+

y)

d

x

+

x

y

d

y例3：设(1)L:

逆时针方向绕a2

b2x2

y2+

=1

一圈Py

=1,

Qx

=y

,

利用格林公式，I

=

D

(

y

-

1)

dxdy,=

-

D

dxdy

=

-p

ab.(2)

L:

顺时针方向沿

x2

+

y2

=

1

从(0,

1)

到y0(1,0)的一段弧。加辅助线：

L1

:

x

=

0

,

L2

:

y

=

0

,1

x

L+

L1

+

L2=

—

D

(

y

-

1)

dxdy,由对称性D

y

dxdy

=0,=L+

L1

+

L2

D

(

y

-

1)

dxdy,0

1

xy(

y

-

1)

dx1

1-

y2=

-

0

dy

04

3=

p

-

1

.

1L

2

0=

0

dy

=

0,L114

3\

I

=

p

-设I

=

L

(x

+y)d

x

+x

y

d

y设I

=

L

(x

+y)d

x

+x

y

d

y2加辅助线：L1

:

y

=

0

,L2

:

x

=

0

,10=

x

d

x

=

-

1

,-(-

1

)

-

0

=

p

+

1

.2

4

6例4：求参数

p

,

使得在任何不经过

y

=

0的区域上的曲线积分yx2

p22x22

2

p+

y

)

dy+

y

)

dx

-

(

xI

=

L

y(

x与路径无关，并求当L

从点A

(1,1)到点B

(0,2)

时的值。y2解：Py=

-

x

(

x2

+

y2

)

p-1[

x2

-(2

p

-

1)

y2

],y2xQ

=

-

2

x

(

x2

+

y2

)

p-1[

y2

+

(

p

+

1)

x2

],xy令

P

=

Q2

p

=

-

1

.xx2(0,2)dyx2

+

y2dx

-y2y

x2

+

y2\I

=

(1,1)在y

=0

上，P、Q

不连续，则选择路径为：.(1,1)0

xy21dxx\

I

=L1

:

y

=

1,

L2

:

x

=

0,01x2

+

1-

210

dy10=

x2

+1=

1

-

2

.dyxy2x2x2

+

y2dx

-x2

+

y2(

x,

y)若求u(x,y)=(0,1)

y例5：设S

是z

=的下侧曲面，求(1)eSR2

-

x2

-

y2

(

R

>

0)x2

+

y2

+z2

d

S

;I

=(2)向量场

A

=

(

x3

+

y2

)i

+

(

y3

+

z2

)

j

+

(z3

+

x2

)k通过S

的通量。解:

(1)

S

:dxdyRd

S

=

1

+

z2

+

z2

dxdy

=z

=

R2

-x2

-y2

上半球面x

y2

22Dx

ye

R\

I

=

R2

-

x2

-

y2dxdyDx

y

:

x

+

y

£

R

.RR2

-

x2

-

y2R=

Re2p0dqR0R2

-

r

2r

dr

=

2

p

R2

e

R

.R2

-x2

-y2

(R

>0)的下侧曲面，

设S

是z

=2

3

232+

(z

+

x

)ky

)i

+

(

y

+

z

)

j求(2)向量场A

=(x

3

+通过S

的通量。A d

S

解:

(2)

F

=

SS=(

x

+

y

)dydz3

2+(

y3

+

z2

)dzdx

+(z3

+

x2

)dxdy利用高斯公式Px

+

Qy

+

Rz

=

3

(

x2

+

y2

+

z2

)S

1且Dx

y(03

+

x

2

)dxdy=2p0dqR0r

2

cos2

q

rdr44p=

R

;x加S1

:z

=0,取上侧。yz0=

+

F

=

S

A d

SS=(

x3

+

y2

)dydz

+(

y3

+

z2

)dzdx

+(z3

+

x2

)dxdyy

zxP

+

Q

+

R1=

3

(

x2

+

y2

+

z2

)S41加S

:z

=0,取上侧。

且

=

p

R4;利用高斯公式W3(

x2

+

y2

+

z2

)

dv

-

S

1=

-2p0=

-

3

dqp20sinj

djr

r

dr02R

24-

p

R454

20=

-

6p

R4

-

p

R4

=

-

29p

R4

.xyz0S(8

y

+

1)

x

dydz+

2(1

-

y2

)dzdx

-

4

yzdxdy

x

=

0y

-1

(1

£

y

£

3)其中S

是曲线z

=绕y

轴旋转一周所生成的曲面，它的法线向量与y

轴正向的夹角恒大于p

.1解：S

:x2

+

z2

=

y

-1

,2Px

+

Qy

+

Rz

=

1

，加

S1

:

y

=

3,

取右侧。xyz1S且zx2

(1

-

32

)

dzd

x=

D2032

)2

=

-

32

p

;=

-16p

(例6.求=d

y1xy利用高斯公式z201且SS

:

x2

+

z2

=

y

-1

,

加

S1

:

y

=

3,

取右侧。=

-

32

p

;S(8

y

+1)

x

dydz2Px

+

Qy

+

Rz

=

1

，+

2(1

-

y

)dzdx

-

4

yzdxdy=W

dv

-

S13DyDy=3131d

yp

(

y

-1)

-(-

32

p

)dzd

x

-

S

1=

2

p

+

32

p

=

34

p

.函数项级数第二部分1.

若¥a

x

在

x

=

-2

处收敛，n=0nn(A)

发散；(C)

条件收敛；(B)

绝对收敛；(D)

敛散性无法确定。x.(-2则该级数在x

=1

处(B

).若an

xn¥.n

=

0即x0

为收敛域端点，则其收敛半径R

=x0A..C.

).0

1

2在x

=x0

处条件收敛,2.

若¥在

x

=

-2

处收敛，a

(

x

-

2)nn绝对收敛；(A)

发散；

(B)(C)条件收敛；(D)

敛散性无法确定。n

=

0则该级数在x

=5

处(B

).令x

-2

=t

,t

=

-

4,t

=

3,当x

=-2,当x

=5,¥在t

=-4

处收敛，则问题转化为：若an

t

nn

=

0则该级数在

t

=

3

处

(

).处发散，3.

设¥a

(

x

-

1)

在

x

=

3nn

=

1n

1令

x

-

1

=

t在

x2

=

-

1

处收敛，则收敛半径R

=

2

.nnnna

t¥¥n

=

1n

=

1a

(

x

-

1)

=则由1¥a

t

在

t

=

x

-

1

=

2

处发散，nn

=

1

n由2

处收敛，2¥在

t

=

x

-

1

=

-a

tnn

=

1n得R

£

2得R

‡2a

xnn¥n

=

1的收敛域为

[

-

R,

R

),4.

设的则¥n

=

1nxn+1n

+

1a¥n+1n

=

1nn

+

1a

(n¥x

)¢=

an

xn

=

1且收敛半径不变。收敛半径

=

R

.5.¥n

=

12

n-12n

4

n(

x

+

5)(A)(C)(-

2,

2

)(-

7,

-

3

)(B)

(

0,

4

)(D)

(

-

9,

-

1)的收敛区间是

(

C

).

nu

+1un由42x

+

5nfi

¥fi<

1

R

=

2由

x

+

5

<

2

-

7

<

x

<

-3·=(

x

+

5)2n-12n

4n2(n

+

1)

4n+1(

x

+

5)2n+12=

4(n

+

1)

|

x

+

5

|n5.¥n

=

12n-12n

4

n(

x

+

5)(-

2,

2

)(-

7,

-

3

)(

0,

4

)(

-

9,

-

1)的收敛区间是

(

C

).(·A)(C)另外一种解法级数在x=-5收敛当x

=-3

时原级数化为¥n

=

1n22n-12n

4¥=1n

=

14n(·B)(·D)(D)¥6.

n

=

0x

3

n

的和函数是n!3n

+

1x3x

e

;x

3(1

+

3

x3

)

e

;(A)(C)x33

x3

e

;(B)(D)x

3(2

+

3

x3

)

e

.¥n

=

0x

3nn

!3n

+

1¥(n

-1)!=

3

x

3n¥+

n

=

0x

3nn

=

1(n

-1)!x

3(n

-1)¥3=

3

x

n

=

1¥+n

=

0n

!n

!(

x

3

)n(

B

).¥n

=0n

!(

x

3

)

nx

3=

e¥n=13n(-1)n

2

x2n-1S¢(

x)

=

¥3n

=

1nx2当x

„0

时，=3<

1x2由-¥42=

-

3

x

+

32

2

x

+n

=

1n

3n(-1)n

x

2n

1

1设S(x)=7.的和。¥¥(-1),

并求n

=

1n-1n

=

1

3n1nn(-1)n

x2

n=

-322

23x

+

x3

-2x2x21

+

3-

3(-

)

=

x2x-

2

x=

3

+

x2

x

<

3 (

x

„

0)0(-

3,

0)

(0，

3)\

S

(

x)

=

ln

3

-

ln(

3

+

x

2

)，

x

˛

(-

3,

3)当x

=-3

时xx¢0-

2

xS

(

x)

d

x

=S(

x)

=0

3

+

x2

d

x

=

-xd

x20

3

+

x2¥=

n=1(-1)nn(C

)¥n

=

13n3)2n(-1)n

(-n当x

=3

时¥n

=

13n3)2n(-1)n

(n¥=

n=1(-1)nn(C

)=

-

ln(3

+

x

2

)

x

=

ln

3

-

ln(3

+

x2

)3213

2x4

+S(

x)

=

-

1

x2

+\当x

=0

时，S(0)=0，2n3n(-1)n

x2n¥\

S(

x)

=

n

=

13,

3]=

ln

3

-

ln(3

+

x

)X

:[-¥¥=

n=1(-1)nn=13n3)2n(-1)n

(nn=

ln

2

.¥(-1)n-1n则知：n=1¥求n

=

1(-1)n-1n当x

=3时3)

=

ln

3

-

ln

6

=

-ln

2=

S(的和函数。nn

(2

x

+

1)2n求(-1)¥n

=

1的和函数S(t

)，nn

t

n¥n

=

1令(2

x

+1)2

=t

,先化为求(-1)注意求出后把

S(t

)

中的

t

用

(2

x

+

1)2

回代即可。8.在[-1,1]内的和函数。¥求n

=

2(n

-

1)

(n

+

1)xn¥n=

2x

n设s

(x)=n1112(

-

)

xn

-

1

n

+

1=¥(n

-1)

(n

+

1)n

=

2(12¥¥-=n

=

2n

=

2n

+

1xnn

-

1xn1221[

s

(

x)

-

s

(

x)])

=¥n

=

2n

-

1xns1

(

x)

=

¥n

=

2n

-

1xn-1=

x¥n

=

1nxn=

x=

-

x

ln

(1

-

x)x

˛

[-

1,1)x211¥n

=

2

n

+

1xns2

(

x)

=¥n

=

2xns1

(

x)

==

-

x

ln

(1

-

x)n

-

1x

˛

[-1,1)¥n

=

2x

n+1n

+

1¥=nx

nx1n

=3==

xx

((-

ln

(1

-

x)-)?x

-

2

)[-1,1)-

ln(1

-

x)

=

x

+

2

+

3

+

+

n

+x

2

x

3

xn1x2=

-

x

[

ln(1

-

x)

+

x

+

2

]

x

˛

[-1,0)

¨

(0,

1)2

x

2\

s(

x)

=

1[-

x

ln

(1

-

x)

+

1

ln(1

-

x)

+

1

+

x

]xx

„

0

1x\

s(

x)

=

1[-

x

ln

(1

-

x)

+

1

ln(1

-

x)

+

1

+

x

]2x

˛

[-1,0)

¨

(0,

1)=

+

+2当x

=0

时,¥x2

x3(n

-

1)

(n

+

1)

3

8s(

x)

=n

=

2xn显然，s(0)=0.当x

=1

时s

(1)

=¥1n

=

2(n

-

1)(n

+

1)11(12-

)=¥n

-

1

n

+

1n

=

2(1

-sn

=4+

-1

+

1

111-

)1

n

+

13

-

5

+

+

n

--

-

)=

1

(1

+1

1

12

3

21

1

12

2

n n

+

1n

fi

¥3

=

s

(1)4\

s

(

x)

=

22x

˛

[-1,0)

¨

(0,

1)x

1[-

x

ln

(1

-

x)

+

1

ln(1

-

x)

+

1

+

x

]

0x

=

0x

=

14

3展开成x

的幂级数。3

xx2

+

x

-

29.

把f

(x)=(

x

+

2)

(

x

-1)3

xf

(

x)

=1

1-

)3

x

+

2

x

-1=

3

x

-1

()1211

-

x+2(1

+

x

)=

-

x

(21¥¥n=

02n

=

0n

n

nx=

-x

[¥(-1)

(

)

+

x

]

=[n+1n

=

02n+1(-1)n+1-1

]

x12x

+

2

x

-

1但

f

(

x)

=

+n2n[¥n

=

0-

1

]

x(-1)n=更方便。收敛域：x

<

1展开成x

-2

的幂级数。x2

+

x

-

23

x9.

把f

(x)=收敛域：1

<x

<3.(

x

+

2)

(

x

-1)3

xf

(

x)

=1

1-

)？=

3

x

-1

(3

x

+

2

x

-112+x

+

2

x

-

1此时应写成

f

(

x)

=2

1=

+4

+

x

-

2 1

+

x

-

212+=1

+(

x

-

2)4

(1

+

x

-

2

)nn214+

1)(

x

-

2)(-1)

(=¥n

=

02

n+11

-

x1

+x

展开成x

的幂级数10.把f

(x)=arctan1f

(

x)

=

1

+

x

2¥n

=

0(

-

1)n

x

2

n

,=x0¥f

(

x)

=

f

¢(

x)d

x

=2

n+1,(-

1)nxn

=

0

2n

+

1？f

(

x)

-

f

(0)

=f

(

x)

-

arctan1=4p\

f

(

x)

=

+¥2n+1n

=

0(

-

1)nx2n

+

1x

˛

(-1,

1)x

=-1

时(C

),¥n

=

02n

+

1(

-

1)n收敛域：[-1,1).x0f

¢(

x)d

x11.把f

(x)=ln(2a2

+ax

-x2

)(a

>0)展开成x

的幂级数。f

(

x

)

=ln

(a

+

x

)

(2a-x)=ln

(a

+

x)

+

ln

(2a-x)a=ln

a

(1

+

x

)

+

ln

2a(1

-

x

)=ln

a

+

ln

2annna2a11¥n

=

1n

-1[

(

-

1)

-

2n

]

x+a由-1

<x

£

1,2a-1

£

x

<

1,收敛域：(-a,a

]高阶微分方程第三部分二阶线性微分方程齐次

r

2

+pr

+q

=0y

+

py

+

qy

=

0,y+

py

+

qy

=

f

(

x),

非齐次

y

=

y

+

y

*若f

(x)=elx

Pm

(x)则令y*

=xkQm

(x)elx若f

(x)=elx

[Pl

(x)cosw

x

+Pn

(x)sinw

x]则令y*

=xkelx

[R(1)(x)cosw

x

+R(2)(x)sinw

x]m

m(

A)

C1

y1

+

C2

y2

;1.

已知y1

,y2

,y3

是方程y

+p(x)y

+q(x)y

=f

(x)的三个线性无关的特解，C1

,C2

,C3

均为任意常数,则其通解是：(D

)左=(C1

+C2

)f

(x)„f

(x)C1

y1

+C2y2

+C3y3

;左=(C1

+C2

+C3

)f

(x)„f

(x)C1

y1

+C2

y2

+y3

;左=(C1

+C2

+1)f

(x)„f

(x)C1

(

y1

-

y2

)

+

C2

(

y1

-

y3

)

+

y2

.对应的二阶齐次线性微分方程的通解例题讨论例题讨论2.

方程

y¢-

2

y¢=

xe

2

x

的一个特解具有形式：(

A)

(

Ax

+

B)

e2

x

;(C

)

Axe

2

x

;

r

2

-

2r

=

0f

=

xe2

x

,(B)

x(

Ax

+

B)

e2

x

;(

D)

Ax2

e

2

x

;

r

1=

0,

r

2=

2,

l

=2

是特征方程的单根，\k

=1,

且m

=1.f

(

x)

=

Pm

(

x)elx(

B

)y*

=

xk

Qm

(

x)elx求解下列微分方程：xy

-

y

ln

y

+

y

ln

x

=

0,可降阶

y2

=

C

+

(

x

+

C

)2

.1

23.(1)(2)

1

+

y

y¢+

(

y¢)2

=

0,y

=f

(x,y

)型可降阶y

=f

(y,y

)型令

y

=

p,则y=

p

,

x

p

-

p

ln

p

+

p

ln

x

=

0x

xx

p¢=p

ln

p

齐次方程再令p

=u,则

p

=

u

+

xu

,

u

+xu

=u

ln

u

变量可分离

y

=(x

-1)ex+1

+2.令

y

=

p,dy则y¢=p

dp

,dy

1

+

yp

dp

+

p2

=

0变量可分离2常系数非齐次y

(0)

=

1,32x

.(3)

y¢+

y

=

1

cos

x,

y(0)

=

1,4(4)

x2

y¢+xy¢-4

y

=x3

.

欧拉方程

y

=

cos

x

+

sin

x

+

1

x

sin

x.r

2

+

1

=

0,

r

=

–i,

y

=

C1

cos

x

+

C2

sin

x4设

y*

=

x(a

cos

x

+

b

sin

x)

y*

=

1

x

sin

x41

2通解

y

=

y

+

y*

=

C

cos

x

+

C

sin

x

+

1

x

sin

x由初始条件得令

x

=

et

,

D(

D

-

1)

y

+

Dy

-

4

y

=

e3t

,3t

2dt

2

x-

4

y

=

e

,

y

=

C1

x

+

+

d

2

y

C2

15dtD

=

d4.

设j

为二阶可导函数，且x(x

-u)j

(u)du,求j

(x).j

(

x)

=

cos

x

-00x0xuj

(u)du,j

(u)du

+j

(

x)

=

cos

x

-

x且j

(0)=1,xj

(

x)

=

-sin

x

-

0

j

(u)du

-

xj

(

x)

+

xj

(

x)

j

(

x)

=

-cos

x

-j

(

x),\由j

(x)+j

(x)=-cos

xj

(0)=0

求j

(x).2答案：j

(

x)

=

cos

x

-

x

sin

x.

请同学们完成求解过程.5.设

y¢+

p(

x)

y¢=

f

(

x)

有一特解

1

,x对应的齐次微分方程有一特解x2

,试求：(1