弹性力学版第二章

应力边界条件等效的方法(s

x

)y=h

=

-q=

qy

=-htxyqq平衡的方法:xsxysxl(s

)

+

m(t

)

=

f2．位移边界条件3．混合边界条件ll(txy

)s

+

m(s

y

)s

=

f

yqyo2hh2v

=

v

=

0

sx

us

=

u

=

0绝大部分问题都包含以上两种边界条件，称混合边界条件。h

/

2-h

/

2h

/

2-h

/

2xy

x=lh

/

2-h

/

2xh

/

2-h

/

2x

x=lh

/

2-h

/

2h

/

2-h

/

2x

x=lf

y

(

y)

d

y

1

=

FS

.f

(

y)

d

y

1

y

=

M

,(σ

) d

y

1

y

=fx

(

y)

d

y

1

=

FN

,(σ

) d

y

1

=(t

) d

y

1

=4.

小边界上积分的应力边界条件圣维南原理xsxytxff

yNFFSMh22hllyxydy2.

主矢量和主矩的正方向设上式中积分的应力和坐标都是正的，则积分结果也是正的。所以主矢量和主矩的正方向可由应力和应力矩的正方向而定。应（面）力的主矢量的正方向，即应力的正方向；应（面）力的主矩的正方向，即（正应力）×（正坐标）矩的方向。f

y

(

y)

d

y

=

FS.fx

(

y)

d

y

=

FN

,xy

x=l(t

) d

y

=x

x=l(σ

)

y

d

y

=-h

/

2-h

/

2x

x=lh

/

2

h

/

2(σ

) d

y

=h

/

2-h

/

2h

/

2-h

/

2h

/

2-h

/

2h

/

2-h

/

2xf

(

y)

y

d

y

=

M

,由于要弹性力学中要求解的是应力而不是面力，公式要以应力积分结果确定正负号。xsxytNFSFMh22hllyxydyxy

x=l

S(t

) d

y

1

=

F

.h

/

2-h

/

2h

/

2-h

/

2x

x=l(σ

) d

y

1

y

=

M

,h

/

2-h

/

2Nx

x=l(σ

) d

y

1

=

F

,应力（面力）的主矢和主矩均沿正的应力和应力矩方向，所以上式均取正值也可以借助材料力学的结果判断正负（1）轴力可以看做是由均布的正应力合成的（静力等效）sxFNxy(σx

)x=l

d

y

1

=

–FNh

/

2-h

/

2显然在轴力为拉力时上式取正号。sxxMy显然在图中坐标系情况下应取负号。（2）弯矩可以看做是由反对称的正应力合成的（静力等效）(σx

)x=l

y

d

y

1

=

–Mh

/

2-h

/

2txy

FSxy显然剪力沿正面的正向为正。图中情况取正号。可以看出：如果以上边界是梁的两端，其面力和材料力学中轴力、弯矩、剪力正负号是一致的。（3）剪力可以看做是由同向的切应力合成的（静力等效）h

/

2-h

/

2(txy

)x=l

d

y

1

=

–FS例：如图，为一矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力P

作用。试写出水坝的边界条件。（设l

>>h）解：（1）下边界：(u)y

=l

=

0（2）左边界：(s

x

)x=h

=

0=

0x=htxy(v)y

=l

=

0（3）右边界：(s

x

)x=-h

=

-gy=

0x=-htxy（4）用圣维南原理：h-hy(s

)

dx

=

-P

sin

ay=0h-hy(s

)

xdx

=

-P

h

sin

a2y

=0(

)h-hxyt

dx

=

P

cosay=0F

NFS试写小边界的边界条件。Nhys

dx

=

-F-hh-htxy

dx

=

FShys

xdx

=

-M-h例：悬臂梁上受线性分布荷载，如图所示。试根据材料力学中σx的表达式，用平衡微分方程导出σy和τxy的表达式。解：根据材料力学的结果，6lqx3x

=

-q

x1

x2

lM

=

-13zMy则：

s

x

=

I（1）=

-

y

/6l

12qx3

1·

h3

lh32qx3

y

=

-x梁应作为平面应力问题处理可以取单位宽度的梁研

究，任意截面的弯矩为：代入平衡微分方程：=

0+¶x

¶y¶txy¶s

x(

)(

)dy

+

f

xlh6qx2

ydy

+

f

x

=¶xyhyh¶s

x--得：

txy

=

-232利用上下面的边界条件确定f(x)2y

=–

htxy2234lh3qx2=

(4

y

-

h

)=0,代入（2）得：f

(x)=

0txy（3）(

)

（2）2

22=

(4

y

-

h

)+

f

x4lh33qxlh32qx3

ys

x

=

-将（3）代入=

0¶s

y

+

¶txy¶y

¶x得：(4

y3

-3h2

y

-

h3

)x

+

g(x)q¶x2lh3¶txy

dy

+

g(x)=

-yy-h2s

=

-h2y

=s

y

=

0由边界条件：2lh3qys

=

-lhyy=-2(s

)

=

-

x

ql(4

y3

-

3h2

y

+

h3

)xg(x)=

-

x

q可以得到同样结果应变思路：位移u，v几何方程物理方程应力代入平衡微分方程含u，v的两个微分方程§2-8

按位移求解平面问题以平面应力问题为例：¶x=

¶uxe¶y=

¶vye=

¶u

+

¶v¶y

¶xxyg代入x

yx1

-

m

2s

=

E

(e

+

me

),xy

y1

-

m

2s

=

E

(e

+

me

),txyE=

g2(1

+

m

)

xy得：2,¶x

¶y

E

¶u

¶v

+

mxs

=2

¶y

¶x

1

-

mE

¶v

¶u

+

m

,1

-

mys

=x

¶yE

¶v

+

¶u

2(1

+

m

)

¶xyt

=代入平衡微分方程得:++x

+

f

=

02

¶x¶y

E

¶2u

1-

m

¶2u

1+

m

¶2v

2

¶y21-

m

2

¶x2++y

+

f

=

02

¶x¶y

E

¶2v

1-

m

¶2v

1+

m

¶2u

2

¶x21-

m

2

¶y2将平面应力状态中的E换为1

-

m

2Em

换为1

-

mm即得平面应变状态的公式。说明：求出位移再利用几何方程就可以求出形变；代入物理方程即可求出应力。如果一组位移满足以上方程，且满足边界（包括位移、应力）条件，则就是原方程的解。此结论可用来验证试凑的位移解。例：如图所示杆件，材料容重为rg，弹性模量为E，取泊松比m

=0，试用位移法求解。解：杆的均匀拉伸可以作为一维问题处理，即v=v(y)，代入位移方程22+x+

f

=

02

¶y2

+

2

¶x¶y¶xE

¶2u

1-

m

¶2u

1+

m

¶2v

2

¶x2

+

2

¶x¶y221-

m+¶yy+

f

=

01-

mE

¶2v

1-

m

¶2v

1+

m

¶2u

可得：fx

=

0f

y

=

rgdy2d

2v

rg=

-

.Em

=

0积分可得：边界条件为：(ey

+

mex

)1-

m

2y再由：

s

=E代入（a）E=

E(-

rgy

+

A)¶y=

E

¶vv

=

-

rg

y2

+

Ay

+

B.2E(v)

y=0

=

0,(s

y

)

y=h

=

0,B

=

0;（a）EA

=

rgh思考图中增加一个约束的问题。A

=

rgh2E2E解得：v

=rg

(2hy

-y2

),yσ

=

rg(h

-

y).2EB

=

0v

=

-

rg

y2

+

Ay

+

B.§2-9

按应力求解平面问题·

相容方程u,

v,

ex

,

ey

,

gxy几何方程物理方程一个含ex

,ey

,gxy方程一个含sx

,sy

,txy的方程思路：利用三个几何方程削去两个位移分量：¶xe

=

¶uxyxy¶y

¶y

¶x=

¶v

=

¶u

+

¶ve

gy x

+¶y2

¶x2¶2e¶2e上式称为形变协调方程或相容方程，是各应变存在的必要条件。¶x¶yxy¶2g=

=

+

=

+¶3u

¶3v

¶u

¶v

¶x¶y2

¶x2¶y

¶x¶y

¶y

¶x

¶2利用平衡微分方程可将切应力消去：将y-

ms

)xxEe

=

1

(sxy

yEe

=

1

(s

-

ms

)xyg

=xyE2(1

+

m)

t代入上式：xyy

x¶x¶y¶2t¶2¶y

2

¶x2(s

x

-

ms

y

)+

(s

-

ms

)=

2(1

+

m

)¶2¶x

¶y¶s

x=

0y

¶s

y

+

¶txy

+

f¶y

¶x¶x+ +

fx

=

0

=

- -

fx¶y¶s

x¶txy

¶txy¶y=

- -

f

y¶txy

¶s

y¶x¶y2

¶x

¶y¶f¶f-

y

-

x

-

y

x¶x2xy¶x¶y¶2s¶2s2

=

-¶2t此式是平面应力问题中用应力表示的相容方程，它和两个平衡微分方程联立即可求解三个未知量。对平面应变问题相容方程变为：¶y

¶f

y

x

+1-

m

¶x1

¶f(

+

)(s

x

+s

y

)=

-¶x2

¶y2¶2

¶2

¶f¶f

y

(

+

)(s

x

+s

y

)=

-(1+

m)

x

+¶x2

¶y2

¶x

¶y

¶2

¶2可得：有了应力解后，利用物理方程即可求出形变，再利用几何方程积分求出位移。由于由应力求位移需要积分运算较为复杂，且会产生待定的积分项，所以不适合求解含位移边界条件的问题，即：采用这种方法时一般全部是应力边界条件。在小边界上，有时可以将位移边界条件化为应力边界条件：如果一组应力解满足以上平衡微分方程及相容方程，且满足全部应力边界条件（设不含位移边界条件），则对单连通体（相当于数学中的单连通域）就是原方程的解。此结论可用来验证试凑的应力解。对于多连通域，还要验证所对应的位移是否满足单值性（位移单值条件）。例如：第四章极坐标的位移解答u(r,j

)=

4Brj

+

Hr

-

I

sin

j

+

K

cosjE不满足位移单值条件。例试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在e

=Axy,

e

=By

3

,

g

=C

-Dy

2

;x

y

xyx

y

xy(c)

ex

=ey

=0,

gxy

=Cxy。(b)

e

=Ay2

,

e

=Bx

2

y,

g

=Cxy;解：应变分量存在的必要条件是满足形变相容方程，即¶x¶yy

=

xy

. x

+¶y2

¶x2¶2e

¶2g¶2e（a）相容；（b）2A+2By=C

；

须满足B

=

0, 2A=C

；（c）只有C

=0才有可能。gxy

=Cxy。x(c)

ex

=ey

=0,(b)

e

=Ay2

,xyg

=Cx