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力学/1-7章第五章 万有引力定律[高考研读]考点要求命题视角复习策略万有引力定律及其应用Ⅱ重点是万有引力定律的应用、卫星问题，学习过程中要注意从圆周运动与牛顿第二定律出发分析天体运动规律.环绕速度Ⅱ万有引力定律及其应用和第二宇宙速度和第三宇宙人造地球卫星是本章的重速度Ⅰ点考查内容，主要以选择经典时空观和相对论时空题的形式出现.观Ⅰ[万有引力定律及应用知识体系]第1节

万有引力定律及其应用栏目

导

航1234抓知识点抓重难点课时跟踪检测抓易错点抓知识点用心研读领悟细微深处1一、开普勒三定律的内容、公式定律内容图示或公式开普勒第一定律

(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆

，太阳处在

椭圆

的一个焦点上开普勒第二定律

(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的

面积相等开普勒第三定律

(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的

三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等＝k，k是一个与行星无关的常量加深理解r的任何两个，可用

＝(1)对于环绕同一天体做圆周运动的不同天体，不管它们的质量如何，对于其中r3

T21

1T3

22

2分析求解．(2)运用开普勒行星运动定律分析求解椭圆轨道运动问题时，判断行星运动速度的变化，要分清是从近日点向远日点运动，还是由远日点向近日点运动．行星(或运动天体)处在离太阳(或所环绕的天体)越远的位置，速度越小；处在离太阳(或所环绕的天体)越近的位置，速度越大．即时突破(多选)两颗小行星都绕太阳做圆周运动，其周期分别是T、3T，则(

)它们轨道半径之比为1∶3它们轨道半径之比为1∶3

9它们运动的速度之比为3

3∶1D．以上选项都不对1

2解析：由题知周期之比T

∶T

＝1∶31T21R3

R32T22，根据

＝

，所以21＝

12R

T

3R

T

2

1

39＝

.又因为v＝2πRv12

2

1R1T2

3T

，所以v

＝R

T

＝

3，解题时要注意公式的运用及各物理量之间的关系．答案：BC二、万有引力定律1．公式F＝

，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11

N·m2/kg2，可由卡文Gm1·m2r2迪许扭秤实验测定．2．适用条件两个

质点之间的相互作用．质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r

为

两球心间的距离．一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r为

质点到球心之间的距离．3．基本应用基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．基本公式：即时突破判断正误．1．所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆．(

)2．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大．(

)3．只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Gr2m1m2计算物体间的万有引力．(

)√××4．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．(×)三、万有引力、重力和向心力的关系1．地球表面的物体自R2如果天体自转的角速度ω

很小，可以忽略自转影响，认为赤道上的物体GMm＝mg，故GM＝gR2，这是万有引力定律应用中常用到的“黄金代换”；如果自转角速度不是很小，自转影响不可忽略，则认为赤道上的物体GMmR22自＝mg＋mω

R.2．物体成为地球的卫星物体成为地球的卫星时，物体绕地球做匀速圆周运动，三者关系：重力＝万有引力＝向心力．不过此时的重力已不是地球表面的重力mg(g取9.8 m/s2)了．因为卫星距地面有一定高度，轨道各处的重力加速度g′＝GM(R＋h)2，比地面上重力加速度小了．四、经典时空观和相对论时空观1．经典时空观在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的．在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．相对论时空观同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同．经典力学有它的适用范围只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．抓重难点动手演练掌握提分技巧2重难点

1

天体质量和密度的估算估算天体质量和密度时应注意的问题利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量．区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝4

R3中的R只能是中心天体的半径．3πh，公转周期为365天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24天等．注意黄金代换式GM＝gR2的应用．例1(2015年江苏卷)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51peg

b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51peg

b”绕其中心20恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的

1

，该中心恒星与太阳的质量比约为(

)A.

1

B．1

C.5

D．10102 2

3【解析】

根据万有引力提供向心力，有G

Mm

＝m

4π

r，可得M＝

4π

r

，所以r2

T2

GT2M恒太恒星质量与太阳质量之比为

＝r3

T2恒

地M

r

T3

2地

恒＝203×

1

36542≈1，故选项B正确．【答案】

B提分秘笈中心天体质量和密度常用的估算方法使用方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体r、TMm

4π2G

r2

＝mr

T24π2r3M＝

GT2只能得到中心天体的质量r、vMm

v2G

r2

＝m

rrv2M＝

Gv、TMm

v2G

r2

＝m

rMm

4π2G

r2

＝mr

T2v3TM＝2πG使用方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用天体表面重力加速度g、Rmg＝GMmR2gR2M＝

G—密度的计算利用运行天体r、T、RMm

4π2G

r2

＝mrT2M＝ρ·4

R33π3πr3ρ＝GT2R3当r＝R时ρ＝

3πGT2利用近地卫星只需测出其运行周期跟踪训练

1

(多选)(2016届山西大学附中月考)已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M(已知引力常量G)(

)A．地球绕太阳运行的周期T1及地球到太阳中心的距离R1B．月球绕地球运动的周期T2及月球到地球中心的距离R2C．地球绕太阳运行的速度v3及地球到太阳中心的距离R3D．人造卫星在地面附近的运行速度v4和运动周期T4解析：根据万有引力提供圆周运动的向心力，可以求出中心天体太阳的质量而不可以求出环绕天体地球的质量，故A、C错误；月球绕地球做圆周运动，万有引力提供圆周运动的向心力，则GM地m月R2＝m4π2T月

22

22R

，可以求出中心天体地球的质量，故B4T4正确；已知人造地球卫星在地面附近运行的速度和运行周期，根据v

＝2πR可得轨道半径，根据GM地mR2v2R＝m

4得地球质量，故D正确．答案：BD重难点

2

天体表面重力加速度问题在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝

mM

GMG

R2

，得g＝

R2

.在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′：(R＋h)2mg′＝

GMm

，得g′＝GM(R＋h)2，

g

所以g′＝(R＋h)2R2.例2(2015年重庆卷)宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为(

)A．0B．

GM

(R＋h)2C.

GMm(R＋h)2D．GMh2【解析】

对飞船受力分析知，飞船所受到的万有引力提供其做匀速圆周运动(R＋h)2的向心力，等于飞船所在位置的重力，即G

Mm

＝mg，可得飞船所在位置的重力加速度大小g＝GM(R＋h)2，故选B.【答案】

B地球表面的物体运动规律的迁移应用在地球上所有只在重力作用下的运动形式，如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，只是当地重力加速度取值不同而已．提分秘笈跟踪训练2一未知星体的质量是地球质量的1，直径是地球直径的1，则4

4一个质量为m的人在未知星体表面的重力为(已知地球表面处的重力加速度为g)(

)A．16mg

B．4mgmgC.mg

D．

4解析：在星体表面处有GMm＝mg，因此未知星体表面的重力加速度为4g，所以R2该人在未知星体表面的重力为4mg.答案：B重难点3

双星及多星问题宇宙中两个星球相距较近而离其他星球较远，仅在相互间的万有引力作用下绕它们连线上的某一固定点做匀速圆周运动，因而不至于因引力作用而吸引在一起，这种结构叫做双星．宇宙三星模拟(1)如图甲所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动．这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡．运Gm2

Gm2转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：r2

＋(2r)2＝ma向．两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．(2)如图乙所示，三颗行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动．每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供．三颗行星转动的方向相同，周期、角速度相等．例3双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(

)n3

n3A.

k2

T

B．

kTn2C.

kTnD．

kT【解析】

如图所示，设两恒星的质量分别为M1和M2，轨道半径分别为r1和r2.根据万有引力定律及牛顿第二定律可得GM1M2r21

T1＝M r

＝M2

r2π

2

2π

2r2，解得G(M1＋M2)r2

＝

T

2π

2·(r1＋GM

2π2r2)，即r3

＝

T

①，当两星的总质量变为原来的k倍，它们之间的距离变为原来的n倍时，有GkM(nr)3＝

2π

T′2②，联立①②两式可得T′＝n3kT，故B项正确．【答案】

B解答双星问题应注意“两等”“两不等”1．双星问题的“两等”：(1)它们的角速度相等；(2)双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的．2．“两不等”双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离．由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等．提分秘笈跟踪训练3(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如右图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则(

)A．每颗星做圆周运动的线速度为B．每颗星做圆周运动的角速度为C．每颗星做圆周运动的周期为2πGm

R3Gm

R3R33GmD．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关Rcos30°

3解析：由图可知，每颗星做匀速圆周运动的半径r＝

2

＝

3

R.由牛顿第二定Gm2律得

R2

·2cos30°＝m2＝mω

r＝m4π2v2r

T2r＝ma可解得v＝Gm

R，ω＝3Gm

R3，T＝R32π

3Gm，a＝

3GmR2，故A、B、C均正确，D错误．答案：ABC抓易错点亲身体会击破薄弱环节3(多选)(2017届四川资阳一诊)2015年7月24日0时，美国宇航局宣布可能发现了“另一个地球”——开普勒—452b，它距离地球1400光年．如果将开普勒—452b简化成如图所示的模型：MN为该星球的自转轴线，A、B是该星球表面上的两点，它们与“地心”O的连线OA、OB与该星球自转轴线的夹角分别为α＝30°，β＝60°；在A、B两点放置质量分别为mA、mB的物体．设该星球的自转周期为T，半径为R，则下列说法正确的是()例1易错点

1是万有引力还是万有引力的分力提供向心力A．若不考虑该星球的自转，在A点用弹簧测力计测得质量为mA的物体的重力为F，则B处的重力加速度为FmAB．若不考虑该星球的自转，在A点用弹簧测力计测得质量为mA的物体的重力为F，则该星球的质量为FRGmAC．放在A、B两点的物体随星球自转的向心力之比为mA∶3mBD．放在A、B两点的物体随星球自转的向心力之比为3mA∶mB【解析】

若不考虑该星球的自转，在A点用弹簧测力计测得质量为mA的物体的重力为F，则在A处的重力加速度为g＝

F

，B处的重力加速度也为

F

，A正确；根mA

mAMm

FR2据重力等于万有引力，即mg＝G

R2

，可知该星球的质量M＝

GmA

，B错误；根据F＝mω2r可知，放在A、B两点的物体随星