专题2图象信息类问题

数学专题2

图象信息类问题图象信息问题主要考查学生收集信息和处理信息的能力．此类试题的题设条件或结论中包含有图象(表)，如：在数轴上、直角坐标系中，点的坐标，一次函数、二次函数、反比例函数的图象，实用统计图象及部分几何图形等提供的形状特征、位置特征、变化趋势等．这种题型应用知识多，是近几年各地中考的一种新题型，这类题目的图象(表)信息量大，大多数条件不是直接告诉，而是以图象(表)形式映射出来．解答这类问题时要把图表信息和相应的数学知识、数学模型相联系，要结合问题提供的信息，灵活运用数学知识进行联想、探索、发现和综合处理，准确地使用数学模型来解决问题．考查形式有选择题、填空题、解答题．b1．(2017·预测)

用

m

根火柴恰好可拼成如图

1

所示的

a

个等边三角形或2如图

2

所示的

b

个正六边形，求a＝

5

．【解析】分别根据图1，求出拼成a个等边三角形用的火柴数量，即m

与a

之间的关系，再根据图2

找到b

与m

之间的等量关系，b最后利用m

相同得出的值．由图1

可知：一个等边三角形有3

条边，a两个等边三角形有3＋2条边，∴m＝1＋2a，由图2可知：一个正六边形有6

条边，两个正六边形有6＋5

条边，a

5b

2∴m＝1＋5b，∴1＋2a

＝1＋5b，∴

＝

.【解析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73＋百位上的数×72＋十位上的数×7＋个位上的数.1×73＋3×72＋2×7＋6＝510，故选C.2．(2016·绍兴)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是(

C

)A．84

B．336

C．510

D．13263．阅读下面的情境对话，然后解答问题：根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a∶b∶c；(3)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A，B重合)，D是半圆的中点，C，D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使得AE＝AD，CE＝CB.①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．解：(1)真命题(2)在Rt△ABC

中，a2＋b2＝c2，∵c>b>a>0，∴2c2>a2＋b2，2a2<b2＋c2，∴若Rt△ABC为奇异三角形，一定有2b2＝a2＋c2，∴2b2＝a2＋(a2＋b2)，∴b2＝2a2，得b＝

2a.∵c2＝b2＋a2＝3a2，∴c＝

3a，∴a∶b∶c＝1∶2∶3(3)①∵AB

是⊙O

的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∵点

D

是半圆A︵DB的中点，∴A︵D

＝B︵D

，∴AD＝BD，∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2，∴AC2＋CB2＝2AD2.又∵CB＝CE，AE＝AD，∴AC2＋CE2＝2AE2，∴△ACE

是奇异三角形②由①可得△ACE是奇异三角形，∴AC2＋CE2＝2AE2.当△ACE是直角三角形时，由(2)可得AC∶AE∶CE＝1∶2∶3或AC∶AE∶CE＝

3∶2∶1.(Ⅰ)当AC∶AE∶CE＝1∶2∶3时，AC∶CE＝1∶3，即AC∶CB＝1∶3，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°.(Ⅱ)当AC∶AE∶CE＝

3∶2∶1

时，AC∶CE＝

3∶1，即AC∶CB＝

3∶1，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°.∴∠AOC

的度数为60°或120°4．(2017·预测)一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg，且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．(1)直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

(2)当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？解析：(1)由表格可知：销售单价每涨10元，就少销售5kg，可得y与x是一次函数关系，从而可求得答案；(2)设销售利润为w元，根据题意可得二次函数，然后求最值即可．销售单价x(元/kg)120130…180每天销量y(kg)10095…70解：(1)∵由表格可知：销售单价每涨10

元，就少销售5

kg，∴y

与x

是一次函数关系，∴y

与x

的函数关系式为y＝100－0.5(x－120)＝－0.5x＋160，∵销售单价不低于120

元/kg，且不高于180

元/kg，∴自变量x

的取值范围为120≤x≤180＝－221

1＝－2(x－200)＋7200，∵a＝－2＜0，∴当x＜200

时，y

随x

的增大而增大1∴当

x＝180

时，销售利润最大，最大利润是

w＝－2(180－200)2＋7200＝7000(元)5．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．请用含x的式子表示月销量；设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？售价(元/件)100110120130…月销量(件)200180160140…解：(1)根据所给数据猜想月销量是售价的一次函数，可设为m＝kx＋b，将(100，200)，(110，180)代入，100k＋b＝200，

k＝－2，得

解得110k＋b＝180，

b＝400，∴m＝－2x＋400.将其他各组数据代入检验，适合，∴月销量是(－2x＋400)件(2)依题意可得：y＝(x－60)(－2x＋400)＝－2x2＋520x－24

000＝－2(x－130)2＋9

800.当x＝130时，y有最大值9

800.∴售价为每件130元时，当月的利润最大，为9

800

元6．(2017·预测)某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)满足如下关系：(1)写出月产销量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间的函数关系式；

(3)若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？(4)若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销售单价最低为多少元？月产销量y(个)…160200240300…每个玩具的固定成本Q(元)…60484032…302)满足函数关系式，得

解得解：(1)由于销售单价每降低1元，每月可多售出2个，所以月产销量y(个)与销售单价x

(元)之间存在一次函数关系，不妨设y＝kx＋b，则(280，300)，(279，280k＋b＝300，

k＝－2，279k＋b＝302，

b＝860，月产销量y(个)与销售单价x

(元)之间的函数关系式为y＝－2x＋860(2)观察函数表可知两个变量的乘积为定值，所以固定成本Q(元)与月产销量my(个)之间存在反比例函数关系，不妨设Q＝

y

，将Q＝60，y＝160

代入得到m＝9600，此时Q＝9600y(3)当Q＝30

时，y＝320，由(1)可知y＝－2x＋860，所以y＝270，1

1即销售单价为270元，由于

30

＝

，∴成本占销售价的270

9

9(4)若

y≤400，则

Q≥9600

即

Q≥24，固定成本至少是

24

元，400

，400≥－2x＋860，解得x≥230，即销售单价最低为230

元从表格中读取有用信息，表格呈现的信息量大、文字少，容易归类，解题时应对信息进行分类，分步求．7．(原创题)一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点

C，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y(千米)与时间x(小时)函数关系的图象是(A)【解析】分别求出甲乙两人到达C地的时间，再结合已知条件即可解决问题．由题意，甲走了1

小时到了B

地，在B地休息了半个小时，2

小时正好走到C地乙走了5小时到

C

地，在

C

地休息了1

A.故选

A.3

3小时．由此可知正确的图象是8．(2017·预测)如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是(

C

)A．乙前4秒行驶的路程为48米B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C．两车到第3秒时行驶的路程相等D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度9．(2016·丽水)2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程s(千米)与跑步时间t(分钟)之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：求图中a的值；组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次经过C点到第二次经过C点所用的时间为68分钟．①求AB所在直线的函数解析式；②该运动员跑完赛程用时多少分钟？解：(1)a＝0.3×35＝10.5(2)①∵线段OA

经过点O(0，0)，A(35，10.5)，∴直线OA

解析式为y＝0.3t(0≤t≤35)，∴当s＝2.1

时，0.3t＝2.1，解得t＝7，∵该运动员从第一次经过C

点到第二次经过C

点所用的时间为68

分钟，∴该运动员从起点出发到第二次经过C

点所用的时间是7＋68＝75(分钟)，∴直线AB

经过(35，10.5)，(75，2.1)，设直线AB

解析式s＝kt＋b，∴35k＋b＝10.5，

k＝－0.21，75k＋b＝2.1，

b＝17.85，解得

∴直线

AB

解析式为

s＝－0.21t＋17.85②该运动员跑完赛程用的时间即为直线AB

与x

轴交点的横坐标，∴当s＝0

时，－0.21t＋17.85＝0，解得t＝85，∴该运动员跑完赛程用时

85分钟图象信息题一般通过横纵轴的意义、图象的位置、特殊点的位置、变化趋势及图形形状等来呈现信息，如将普通的行程问题用折线型图象方式来呈现．因此，根据已知图象得出正确信息是解题关键，注意一些特殊点的信息．要从图象的形状特点、变化趋势、相关位置、相关数据出发，充分发掘图象所蕴含的信息，可利用函数、方程(组)、不等式等知识去分析图象以解决问题，也可以利用几何性质如比例来解题．10．(2017·预测)

如图，O是边长为4

cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1

cm/s.设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA，OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象可以是(

A)【解析】分两种情况：①当0≤t＜4

时，作ON⊥AB

于N，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AD＝AB＝BC＝4cm，∵O

是正方形

ABCD

的中心，∴AN＝BN＝ON

1AB＝2

cm，＝22∴S＝1AP·ON1＝2×t×2＝t(cm2)；②当t≥4

时，作ON⊥AB

于N，21

1S＝△OAN

的面积＋梯形

ONBP

的面积＝2×2×2＋

(2＋t－4)×2＝t(cm2)，综上可知，面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象是过原点的线段，故选A.11．(2016·衢州)如图，在△ABC中，AC＝BC＝25，AB＝30，D是AB上的一点(不与A，B重合)，DE⊥BC，垂足是点E，设BD＝x，四边形ACED的周长为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是(D)【解析】如图，作CM⊥AB

于M.∵CA＝CB，AB＝30，CM⊥AB，∴AM＝BM＝15，CM＝

AC2－BM2＝20，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠CMB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△DEB∽△CMB，∴BD＝

DE

＝

EB

，∴

x

＝DE＝EB，∴DE＝4x，EB＝3x，BC

CM

BM

25

20

15

5

5∴四边形

ACED

的周长为

y＝25＋(25－3x)＋4x＋30－x

4x＋80.5

5

＝－5∵0＜x＜30，∴图象是D.函数图象与动点问题结合起来，直观地呈现动点运动有关时间、路程、速度以及起始关系的一系列信息，这样呈现的问题，往往是几个函数的组合，需要分类求出各段的函数解析式，结合给出的图象判断．12．(2017·预测)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2

m，剩余空地的面积为18

m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x

m，则可列方程为(C

)A．(x＋1)(x＋2)＝18B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18D．x2＋3x＋16＝0【解析】利用图形表示出剩余空地的长与宽的代数式，再利用面积公式列出方程．设原正方形边长为x

cm，则剩余空地的长为(x－1)

cm，宽为(x－2)cm，面积为

(x－1)×(x－2)＝18，故选C.13．如图，在水平地面上树立着一面墙AB，墙外有一盏路灯D，光线DC恰好通过墙的最高点B，且与地面形成37°角，墙在灯光下的影子为线段AC，并测得AC＝

5.5米．求墙AB的高度；(结果精确到0.1米，参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80)如果要缩短影子AC的长度，同时不能改变墙的高度和位置，请你写出两种不同的方法．解：(1)∵tan∠ACB＝AB，AC∴AB＝AC·tan∠ACB＝5.5·tan37°≈5.5×0.75＝4.125≈4.1，则墙AB

的高度为4.1

米(2)如果要缩短影子

AC

的长度，同时不改变墙的高度和位置，可以将路灯的电线杆加长或将路灯的电线杆向墙边靠近14．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．

现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．

(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？解：(1)∵裁剪时x

张用A

方法，∴裁剪时(19－x)张用B

方法，∴侧面的个数为6x＋4(19－x)＝(2x＋76)个，底面的个数为5(19－x)＝(95－5x)个2(2)由题意，得2x＋76＝3(95－5x)，解得x＝7，∴盒子的个数为2×7＋763＝30，则裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30

个盒子图形信息题一般是给出相关图形或通过某些图形的的变化来呈现相关信息，解决问题时要在观察图形的基础上，找出图形变化前后不变的量、数量关系以及位置关系等．15．(原创题)某公司今年如果用原线下销售方式销售一产品，每月的销售额可达100万元．由于该产品供不应求，公司计划于3月份开始全部改为线上销售，这样，预计今年每月的销售额y(万元)与月份x(月)之间的函数关系的图象如图1中的点状图所示(5月及以后每月的销售额都相同)，而经销成本p(万元)与销售额y(万元)之间函数关系的图象如图2中线段AB所示．(1)求经销成本p(万元)与销售额y(万元)之间的函数关系式；

(2)分别求该公司3月、4月的利润；(3)问：把3月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元？(利润＝销售额－经销成本)解析：(1)设p＝ky＋b，把(100，60)，(200，110)，代入即可解决问题；(2)根据利润＝销售额－经销成本，即可解决问题；(3)设最早到第x个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元，列出不等式即可解决问题．解：(1)设p＝ky＋b，把(100，60)，(200，110)代入得解得2k＝1，b＝10，1∴p＝2y＋10(2)∵x＝150时，p＝85，∴三月份利润为150－85＝65(万元)．∵x＝175时，p＝97.5，∴四月份的利润为175－97.5＝77.5(万元)(3)设最早到第x个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元．∵5月份以后的每月利润为90万元，∴65＋77.5＋90(x－2)－40x≥200，∴x≥4.75，∴最早到第5个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元16．由于国际因素的影响，国内成品油价格